平面向量地概念及线性运算

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1、实用标准文案 5.1平面向量的概念及线性运算1. 向量的有关概念名称定义备注既有 _又有 _的量；向量的大向量小叫做向量的 _( 或称 _)零向量长度为 _的向量；其方向是任意的单位向量长度等于 _的向量平行向量方向 _或 _的非零向量共线向量_ 的非零向量又叫做共线向量平面向量是自由向量记作 _非零向量 a 的单位向量为a|a |0 与任一向量 _或共线相等向量长度 _且方向 _ 的向量两向量只有相等或不等，不能比较大小相反向量长度 _且方向 _的向量0 的相反向量为 02. 向量的线性运算向量运算定义法则 ( 或几何意义 )运算律精彩文档实用标准文案(1) 交换律： a b求两个向量和的运

2、_.(2) 结加法合律： ( a b) c算_.求 a 与 b 的相反向减法量 b 的和的运算a b a ( b)叫做 a 与 b 的差_法则(1)|a| _；(2) 当 0 时， a 的方向( a) _；求实数与向量a与a的方向 _；当() 数乘 a的积的运算| b| ，则 ab；(2) 若 | a| | b| ，则 a 与 b 的长度相等且方向相同或相反；(3) 若 | a| | b| ，且 a 与 b 方向相同，则a b；(4) 由于零向量的方向不确定，故零向量不与任意向量平行；(5) 若向量 a 与向量 b 平行，则向量 a 与 b 的方向相同或相反； (6) 若向量 AB与向量 CD

3、是共线向量，则 A， B，C， D四点在一条直线上；(7) 起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量；(8) 任一向量与它的相反向量不相等.题型二向量的线性运算例 2 在 ABC中， D、 E分别为 BC、 AC边上的中点， G为 BE上一点，且 GB 2GE，精彩文档实用标准文案设 ABa， AC b，试用 a，b 表示 AD，AG.探究提高(1) 解题的关键在于搞清构成三角形的三个问题间的相互关系，能熟练地找出图形中的相等向量，并能熟练运用相反向量将加减法相互转化.(2) 用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧：观察各向量的位置；寻找相应的三角形或多边形；运用法则找关系；化简结果

4、.在 ABC中， E、F 分别为 AC、 AB的中点， BE与 CF相交于 G点，设 AB a， ACb，试用 a， b 表示 AG.题型三平面向量的共线问题例 3设两个非零向量a 与 b 不共线，(1)若 AB a b，BC 2a 8b， CD 3( a b) ，求证： A、 B、D三点共线；(2)试确定实数 k，使 kab 和 a kb 共线 .探究提高(1) 证明三点共线问题，可用向量共线解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线.(2) 向量 a、b 共线是指存在不全为零的实数 1， 2，使 1a 2b0 成立，若 1a2 0，当且仅当12

5、 0 时成立，则向量、b不共线 . ba如图所示， ABC中，在 AC上取一点 N，11使得 AN 3AC，在 AB上取一点 M，使得 AM3AB，在的延长线上取点，使得1 ，在的延长BNPNP2BNCM的值 .线上取点 Q，使得 MQ CM时， APQA，试确定11. 用方程思想解决平面向量的线性运算问题 1试题： (14 分 ) 如图所示，在 ABO中， OC OA，41OD 2OB， AD与 BC相交于点 M，设 OA a，OB b. 试用 a 和 b 表示向量 OM.审题视角(1) 用已知向量来表示另外一些向量是用向量解题的基本要领，要尽可能地转化到平行四边形或三角形中去.精彩文档实用

6、标准文案(2)既然 OM能用 a、 b 表示，那我们不妨设出OM ma nb.(3)利用共线定理建立方程，用方程的思想求解.规范解答解manb，设OM则 (1) .AM OM OA manbama nb1a1 .3 分AD OD OA 2OB OA2b又 A、 M、 D三点共线， AM与 AD共线 .存在实数 t ，使得 AMtAD，即( m1) a nbt 15 分a2b .1 ( m1) a nb t a 2t b.m 1 tt，消去t得， 1 2，mnn 2即 m2n 1. 7 分 11又 CM OM OC ma nb a ma nb，44 11CB OB OC b4a 4ab.10 分

7、又 C、 M、 B三点共线， CM与 CB共线 .存在实数 t，使得 CM t CB，1111 m4 a nb t 1 4a b ， m114 4t 1，消去 t 1 得， 4m n 1. 12 分tn113 1 3由得 m 7， n 7， OM 7a7b.14 分批阅笔记 (1) 本题考查了向量的线性运算，知识要点清楚，但解题过程复杂，有一定的难度 .(2) 学生的易错点是，找不到问题的切入口，亦即想不到利用待定系数法求解 .(3) 数形结合思想是向量加法、减法运算的核心，向量是一个几何量，是有“形”的量，因此在解决向量有关问题时， 多数习题要结合图形进行分析判断求解，这是研精彩文档实用标准

8、文案究平面向量最重要的方法与技巧. 如本题学生易忽视A、 M、 D共线和 B、 M、 C共线这个几何特征 .(4) 方程思想是解决本题的关键，要注意体会.方法与技巧1. 将向量用其它向量 ( 特别是基向量 ) 线性表示， 是十分重要的技能， 也是向量坐标形式的基础 .2. 可以运用向量共线证明线段平行或三点共线问题. 如 且与不共线，则ABABCDABCD CD；若 AB BC，则 A、B、 C三点共线 .失误与防范1. 解决向量的概念问题要注意两点： 一是不仅要考虑向量的大小， 更重要的是要考虑向量的方向；二是考虑零向量是否也满足条件. 要特别注意零向量的特殊性.2. 在利用向量减法时，易弄

9、错两向量的顺序，从而求得所求向量的相反向量，导致错误 .精彩文档实用标准文案 5.1平面向量的概念及线性运算(时间：60分钟)A 组专项基础训练题组一、选择题1. 给出下列命题：两个具有公共终点的向量，一定是共线向量；两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小； a 0 ( 为实数 ) ，则 必为零； ，为实数，若 ab，则 a 与 b 共线 .其中错误命题的个数为()A.1B.2C.3D.42.设P是 ABC所在平面内的一点，()BC BA 2BP，则A. PAPB 0B. PCPA 0C. PBPC 0 D. PAPB PC 03. 已知向量 ，不共线，ckab(kR) ，b. 如果c，那

10、么()a bdadA. k 1 且 c 与 d 同向B. k 1 且 c 与 d 反向C. k 1 且 c 与 d 同向D. k 1 且 c 与 d 反向二、填空题4.设 a、b 是两个不共线向量，AB2a pb，BC a b，CD a 2b，若 A、B、D三点共线，则实数 p 的值为 _.5.在平行四边形中，E和F分别是边和的中点，若 ，其中ABCDCDBCACAEAF， R，则 _.16.如图，在 ABC中， AN 3NC， P 是 BN上的一点，2 若 APmAB 11AC，则实数 m的值为 _.三、解答题精彩文档实用标准文案7.如图，以向量 OA a， OBb 为边作 ? OADB，1

11、1 BM 3BC， CN 3CD，用 a、b 表示 OM、 ON、MN.18.若 a， b 是两个不共线的非零向量，a 与 b 起点相同，则当t 为何值时， a，t b， 3( a b) 三向量的终点在同一条直线上？B 组专项能力提升题组一、选择题1. 已知 P是 ABC所在平面内的一点， 若 CB PA PB，其中 R，则点 P 一定在 ()A. ABC的内部B. AC边所在直线上C. AB边所在直线上D. BC边所在直线上2. 已知和点 满足 0，若存在实数使得 成立，则等ABCMMA MB MCmAB AC mAMm于()A.2B.3C.4D.53. O 是平面上一定点，A、 B、 C

12、是平面上不共线的三个点，动点P 满足： OPOA ABAC， 0 ， ) ，则 P 的轨迹一定通过 ABC的 | AB| AC|()A. 外心B. 内心C. 重心D. 垂心二、填空题4. 已知向量 a， b 是两个非零向量，则在下列四个条件中，能使a、 b 共线的条件是_( 将正确的序号填在横线上 ). 2a3b 4e，且 a 2b 3e；存在相异实数、 ，使 a b 0； x a y b0( 实数 x， y 满足 x y 0) ； 若四边形 ABCD是梯形，则 AB与CD共线 .精彩文档实用标准文案5. 如图所示，在 ABC中，点 O是 BC的中点 . 过点 O的直线分别交直线 AB、 AC

13、于不同的两点、，若 ， ，则M NABmAM AC nANm n 的值为 _. 16. 在 ABC中，已知 D是 AB边上一点，若 AD 2DB， CD3CACB，则 _.7. 已知直线 x y a22 4交于 A、 B 两点，且 ，其中 O与圆 xy| OA OB| | OA OB|为坐标原点，则实数a 的值为 _.三、解答题8. 已知点 G是 ABO的重心， M是 AB边的中点 . (1) 求 GA GB GO；11(2) 若 PQ过 ABO的重心 G，且 OA a， OB b， OP ma，OQ nb，求证： 3.m n精彩文档实用标准文案答案要点梳理1. 大小方向长度模 零0 1个单位

14、相同相反方向相同或相反平行 相等相同相等相反2. 三角形 平行四边形 (1) b a(2) a( b c)三角形(1)| a|(2) 相同相反0 aa a a b3. b a基础自测1.14. 2 5.AOS 2. b a 3. 2题型分类深度剖析例1 变式训练1 解(1)不正确，因为向量只讨论相等和不等，而不能比较大小.(2) 不正确，因为向量模相等与向量的方向无关.(3)正确 .(4) 不正确，因为规定零向量与任意向量平行 .(5)不正确，因为两者中若有零向量， 零向量的方向是任意的 .(6)不正确，AB CD.(7) 正确 .(8) 不正确，因为零向因为 AB与 CD共线，而 AB与 C

15、D可以不共线即量可以与它的相反向量相等 .例 2 解1 11； () AD 2ABAC2a2b2 1 21 AG AB BG AB3BE AB3( BA BC) 3AB 3( AC AB) 111 3AB 3AC 3a3b. 变式训练 2 解 AG AB BG1 ABBE AB 2 ( BA BC) 1 2 AB 2 ( ACAB) (1 ) AB 2 AC (1 ) a又 AGAC CGAC mCF2 b.精彩文档实用标准文案 m AC2( CA CB)m m (1 m) AC 2AB 2a (1 m) b，m1 22，解得 m 3，1 m 211 AG3a 3b.例 3(1) 证明 AB

16、a b， BC 2a8b， CD3( a b) ， BDBC CD 2a 8b 3( a b) 2a8b 3a3b 5( ab) 5AB. AB、BD共线，又它们有公共点B，A、B、D三点共线 .(2) 解 kab 与 a kb 共线，存在实数 ，使 kab ( akb) ，即 kab akb. ( k ) a( k 1) b. a、 b 是不共线的两个非零向量， k k1 0， k2 1 0. k 1.1变式训练3课时规范训练A 组21.C2.B3.D4. 1435. 3 6.117. 解 BA OAOB a b， 111BM 6BA 6a 6b，1 5 OMOB BM6a 6b. 又 OD

17、 a b，111 ONOC 3CD2OD 6OD精彩文档实用标准文案22 3OD 3( a b).22151 1 MNON OM3a 3b 6a6b 2a 6b.1522即 OM a b，ON a b，6633 11MN 2a 6b.8.解 设 ，t b，1(ab) ，OAaOBOC 321 ACOC OA3a 3b， AB OB OA t ba.要使 A、 B、 C三点共线，只需 ACAB.21即 3a 3bt b a.223 ，?3，有11t ，t .321当 t 2时，三向量终点在同一直线上.B 组1.B2.B3.B4. 5.226. 37. 28.(1)解 GA GB2GM，又2GM GO， GAGB GO GO GO 0.1(2)证明显然 OM2( ab).因为是的重心，GABO精彩文档实用标准文案21所以 OG 3OM 3( a b).由 P、G、 Q三点共线，得 PG GQ，所以，有且只有一个实数 ，使 PG GQ.1而 PGOG OP3( a b) ma11 3 m a 3b， 1GQ OQ OG nb3( a b) 1a n 1 b，3311所以3 m a3b11 3a n 3b .又因为 a、 b 不共线，1 13 m 3所以，113 n3消去 ，整理得 3mn m n，1 1故3. m n精彩文档实用标准文案精彩文档