高等数学：微分中值定理及导数应用测试题

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1、填空题 1）设时，与是同阶无穷小，则。 2）。 3）曲线的下凸区间是。 4）曲线的斜渐近线方程为。 分析： 令上式可化为，所以。 5）曲线拐点的横坐标为，则常数。2、求下列函数的极限 1） 解：原式，令因为 ，所以原式2）解：令，原式 3、求函数的单调区间和极值，并求该图形的渐近线。解： 当时，。在区间该函数是递增的，在区间该函数是递减的。处该函数取得极大值，在处该函数取得极小值。所求渐近线方程为。4、当时，证明：。证明：设当时，此时，是递增函数，而当时，此时函数是递减的；当时，此时函数是递增的，在内函数在处取得最小值，所以，当时，有。5、设在区间上连续，在上可导，证明：在内至少存在一点使证明：在区间上对函数运用拉格朗日中值定理，在内至少存在一点使得即 6、设在上具有二阶导数，其中都是非负常数，是内任一点。证明：。证明：利用泰勒公式 （1） （2）得7、已知等腰三角形的周长是（定数），求它的腰多长时其面积最大，并求最大面积。解：设此等腰三角形腰长为，则此三角形面积为当时，所以时，此等腰三角形面积最大，最大面积为。