圆锥曲线总结.

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1、圆锥曲线 概念、方法、题型、及应试技巧总结1. 圆锥曲线的两个定义 ：（1）第一定义 中要重视“括号”内的限制条件：椭圆中 ，与两个定点F 1 ，F 2 的距离的和等于常数2a ，且此 常数 2a 一定要大于 F F2，当常数等于 F F时，轨迹是线段F1 F2 ，当常数小于 F F21121时，无轨迹； 双曲线中 ，与两定点 F1 ，F 2 的距离的差的绝对值等于常数2a ，且此常数2a 一定要小于| F 1 F 2 | ，定义中的 “绝对值”与2a |F1 F 2 | 不可忽视 。若 2a |F 1 F2| ，则轨迹是以F1，F2 为端点的两条射线，若2a |F 1 F 2 | ，则轨迹不

2、存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。如方程 ( x6)2y2( x6)2y28 表示的曲线是 _（答：双曲线的左支）（2）第二定义 中要注意定点和定直线是相应的焦点和准线，且“ 点点距为分子、点线距为分母”，其商即是离心率 e 。圆锥曲线的第二定义，给出了圆锥曲线上的点到焦点距离与此点到相应准线距离间的关系，要善于 运用第二定义对它们进行相互转化。如已知点 Q( 2 2,0) 及抛物线 yx 2上一动点 P（ x,y）,则 y+|PQ|的最小值是 _（答 2）42. 圆锥曲线的标准方程 （标准方程是指中心 （顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程） ：（ 1）椭圆 ：焦

3、点在x 轴上时x 2y21（ ab 0 ），焦点在y 轴上时y 2x 2a2b2a2b2 1（ ab0 ）。方程 Ax2By2C 表示椭圆的充要条件是什么？（ABC 0，且 A ，B， C 同号， A B）。如 （1）已知方程x2y 21 表 示 椭 圆 ， 则 k的取值范围为_（答：3k2k1)1 ,2) ）；( 3,(2222（ 2）若 x, yR ，且322y26xyxyx，则的最大值是 _，的最小值是 _（答：5,2）（2）双曲线 ：焦点在 x 轴上：x2y 2=1 ，焦点在 y 轴上：y 2x 20, b0 ）。a2222 1（ a方程 Ax2By2babC 表示双曲线的充要条件是什

4、么？（ABC 0，且 A， B 异号）。P(4,10)如设中心在坐标原点122 的双曲线 C 过点，O，焦点 F、F 在坐标轴上，离心率 e则 C 的方程为 _（答： x2y26）（ 3）抛物线 ：开口向右时y22 px( p0) ，开口向左时 y22 px( p 0) ，开口向上时x22 py( p0) ，开口向下时 x22 py( p0) 。如定长为 3 的线段 AB 的两个端点在y=x 2 上移动， AB 中点为 M，求点 M 到 x 轴的最短距离。 543. 圆锥曲线焦点位置的判断 （首先化成标准方程，然后再判断） ：（1）椭圆：由 x 2 , y 2 分母的大小决定，焦点在分母大的坐

5、标轴上。x 2y2y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是_ （答：如已知方程21 表示焦点在m 1m3(, 1)(1,)）（ 2）双曲线 ：由 x 2 , y 2 项系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上；（ 3）抛物线 ：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。特别提醒 ：（ 1）在求解椭圆、双曲线问题时，首先要判断焦点位置，焦点F 1 ，F 2 的位置，是椭圆、双曲线的定位条件，它决定椭圆、双曲线标准方程的类型，而方程中的两个参数a, b ，确定椭圆、双曲线的形状和大小，是椭圆、双曲线的定形条件；在求解抛物线问题时，首先要判断开口方向；（2）在椭圆中， a 最大， a2b2c2，在

6、双曲线中， c 最大， c2a2b2。4. 圆锥曲线的几何性质 ：（ 1）椭圆 （以 x 2y21（ ab0 ）为例）： 范围 ：axa,byb ； 焦a 2b2点：两个焦点(c, 0) ； 对称性 ：两条对称轴x0, y0 ，一个对称中心（0,0 ），四个顶点( a , 0), (0, b，)其中长轴长为2 a ，短轴长为 2 b ；准线 ：两条准线 xa2c； 离心率 ：e，0e1， e 越小，椭圆越圆；e 越大，椭圆越扁。ca椭圆如（ 1）若椭圆 x2y2251的离心率 e10 ，则 m 的值是 _（答： 3 或）；5m53（ 2）以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为1

7、时，则椭圆长轴的最小值为_（答： 22 ）x2y2（ 2）双曲线 （以1（ a0,b0 ）为例）： 范围： xa 或 xa, yR ；a2b2焦点 ：两个焦点 (c,0) ； 对称性 ：两条对称轴 x0, y0，一个对称中心（ 0,0 ），两个顶点 (a,0)，其中实轴长为2 a ，虚轴长为2b ，特别地，当实轴和虚轴的长相等时，称为等轴双曲线，其方程可设为x2y2k, k0 ； 准线：两条准线 xa2ce1，等轴双； 离心率： e，双曲线cab x 。曲线e2， e越小，开口越小，e 越大，开口越大；两条渐近线 ： ya如 （1）双曲线的渐近线方程是3x2y0，则该双曲线的离心率等于_（答：

8、13 或13 ）；123（ 2）双曲线 ax2by21的离心率为5 ，则 a : b =（答： 4或）；x2y 24（ 3） 已知 F1、 F2 为双曲线1的左焦点 ,顶点为 A 1、 A2,P 是双曲线上任意一点,则分20102009别以线段 PF1、A 1A 2 为直径的两圆一定（b）A 相交B 相切C相离D以上情况均有可能（3）抛物线 （以 y22 px( p 0) 为例）：范围 ： x0, yR ；焦点：一个焦点 ( p ,0) ，其中 p 的几何意义是：焦点到准线的距离；对称性 ：一条对称轴 y02，没有对称中心，只有一个顶点（ 0,0）； 准线：一条准线 xp； 离心率 ： ec，

9、抛物线e1 。2a1如设 a0, aR ，则抛物线 y4ax2 的焦点坐标为 _（答： (0,) ）；x2y 216a1 （ab0）的关系 ：（ 1 ）点 P( x0 , y0 ) 在椭圆外5 、点 P( x0 , y0 ) 和椭圆2b2x02y02a02y021；（ 2）点 P( x0 , y0 ) 在椭圆上xP( x0 , y0 ) 在椭圆内a2b2a2b 2 1；（ 3）点x02y021a2b26直线与圆锥曲线的位置关系：（1）相交 ：0直线与椭圆相交；0直线与双曲线相交，但直线与双曲线相交不一定有0 ，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交且只有一个交点，故0 是直线与双曲线相

10、交的充分条件，但不是必要条件；0直线与抛物线相交， 但直线与抛物线相交不一定有0，当直线与抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线相交且只有一个交点，故0 也仅是直线与抛物线相交的充分条件，但不是必要条件。如（ 1）若直线 y=kx+2 与双曲线 x2 -y 2 =6 的右支有两个不同的交点，则 k 的取值范围是 _（答：(-15 ,-1) ）；3（ 2）直线 y kx 1=0 与椭圆 x2y21恒有公共点，则m 的取值范围是 _ （答： 1， 5）（ 5， +）；5m（ 3）过双曲线 x2y21的右焦点直线交双曲线于A 、 B 两点，若 AB 4，则这样的直线12有 _条（答： 3）；（2）相切：

11、0直线与椭圆相切；0线相切；（3）相离：0直线与椭圆相离；0线相离。直线与双曲线相切；直线与双曲线相离；00直线与抛物直线与抛物特别提醒 ：（ 1）直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时的位置关系有两种情形：相切和相交。如果直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交 ,但只有一个交点； 如果直线与抛物线的轴平行时,直线与抛物线相交 ,也只有一个交点； （2）过双曲线 x 2y 2 1 外一点P( x0 , y0 ) 的直线与双曲线只有一a 2b 2个公共点的情况如下： P 点在两条渐近线之间且不含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和分别与双曲线两支相切的两条切线，共四条； P 点在两条

12、渐近线之间且包含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和只与双曲线一支相切的两条切线，共四条； P 在两条渐近线上但非原点，只有两条：一条是与另一渐近线平行的直线，一条是切线；P 为原点时不存在这样的直线； （ 3）过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条平行于对称轴的直线。如（ 1）过点 ( 2,4) 作直线与抛物线y28x 只有一个公共点，这样的直线有_（答： 2）；（ 2）过点 (0,2)与双曲线 x2y21有且仅有一个公共点的直线的斜率的取值范围为_（答：9164 ,45）；33（ 3）过双曲线 x2y21的右焦点作直线 l 交双曲线于 A 、B 两点，

13、若AB4，则满足条件的2直线 l 有_条（答： 3）；（ 4）对于抛物线C： y 24x ，我们称满足y024x0 的点 M (x0 , y0 )在抛物线的内部，若点M ( x0 , y0 ) 在抛物线的内部， 则直线 l：y0 y2( xx0 ) 与抛物线 C 的位置关系是 _（答：相离）；（ 5）过抛物线 y24x 的焦点 F 作一直线交抛物线于P、Q 两点，若线段 PF 与 FQ 的长分别是 p、q ，则11_（答： 1）；pq（ 6）设双曲线 x2y21的右焦点为 F ，右准线为 l ，设某直线 m 交其左支、右支和右准线169分别于 P,Q, R，则PFR 和QFR 的大小关系为 _

14、(填大于、小于或等于) （答：等于）；（ 7）求椭圆7x 24y 228 上的点到直线 3x2y160的最短距离（答：8 13）；（ 8）直线 yax1与双曲线 3 22 1交于 A 、 B 两点。当13ya为何值时， A 、 B 分别在双曲x线的两支上？当a 为何值时，以 AB 为直径的圆过坐标原点？（答：3, 3； a1 ）；7、焦半径 （圆锥曲线上的点P 到焦点 F 的距离） 的计算方法 ：利用圆锥曲线的第二定义，转化到相应准线的距离，即焦半径red ，其中 d 表示 P 到与 F 所对应的准线的距离。如（ 1）已知椭圆 x2y21上一点 P 到椭圆左焦点的距离为 3，则点 P 到右准线

15、的距离为 _（答：251635）；3（ 2）已知抛物线方程为 y28x，若抛物线上一点到y 轴的距离等于 5，则它到抛物线的焦点的距离等于 _；（ 3）若该抛物线上的点M 到焦点的距离是 4，则点 M 的坐标为 _（答： 7,(2, 4)）；（ 4）点 P 在椭圆 x2y21上，它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍，则点P 的横坐标25925为 _（答：）；12（ 5）抛物线 y22x 上的两点 A 、B 到焦点的距离和是 5，则线段 AB 的中点到 y 轴的距离为 _（答： 2）；（ 6）椭圆 x2y21内有一点 P(1,1) ，F 为右焦点，在椭圆上有一点M，使 MP2 MF43之值最小

16、，则点 M 的坐标为 _（答： (26, 1)）；38、焦点三角形（椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形）问题：Sb2 tanc | y0 | ，2当 | y0 |b 即 P 为短轴端点时， Smax 的最大值为 bc；对于双曲线 Sb 2。 如 （ 1）短轴长为5 ，tan22离心率 e的椭圆的两焦点为F1、F2，过 F1作直线交椭圆于A、B 两点，则ABF2 的周长为3_（答： 6）；（ 2）设 P 是等轴双曲线x2y2a2a0)右支上一点，F 、F 是左右焦点，若PF2 F1F20，1 2(|PF1|=6，则该双曲线的方程为（答： x2y24）；x2y2（ 3）椭圆41 的焦点为

17、F1 、F2，点 P 为椭圆上的动点，当 PF2PF1 0)上异于原点的两点，OA OB 0 ，点 C 坐标为（ 0，2p）（1）求证： A,B,C 三点共线；（2）若 AM BM （R）且 OMAB0 试求点 M 的轨迹方程。（1）证明：设x12x22，由 OA OB0 得A( x1 , 2 p ), B( x2 , 2 p )x1x2x12 x220, x1 x24 p2 ，又AC ( x1,2 p x12 ), AB ( x2x1, x22x12 )2 p 2 p2 p2px1x 2x 2(2 px 2) ( x2x1 ) 0AC / AB ，即 A,B,C 三点共线。211，2p2p（

18、2）由（ 1）知直线 AB 过定点 C，又由 OMAB0及AM BM（R）知 OMAB，垂足为 M ，所以点 M 的轨迹为以 OC 为直径的圆， 除去坐标原点。 即点 M 的轨迹方程为 x2+(y-p)2 =p2(x 0，y 0)。15.圆锥曲线中线段的最值问题：例 1 、 (1)抛物线C:y2 =4x上一点 P到点 A(3,42 ) 与到准线的距离和最小,则点 P 的坐标为_(2) 抛物线 C: y2=4x 上一点 Q 到点 B(4,1) 与到焦点 F 的距离和最小 ,则点 Q 的坐标为。分析：（ 1） A 在抛物线外，如图，连 PF，则 PHPF ，因而易发现，当A 、AHQPBP、 F

19、三点共线时，距离和最小。F（ 2）B 在抛物线内，如图，作 QR l 交于 R，则当 B 、Q、R 三点共线时，距离和最小。解：（ 1）（ 2，2 ）（ 2）（ 1 ,1 ）4点评：这是利用定义将“点点距离”与“点线距离”互相转化的一个典型例题，请仔细体会。x2y2例 2、F 是椭圆1的右焦点， A(1,1) 为椭圆内一定点， P 为椭圆上一动点。43（1） PAPF 的最小值为yAPH（2） PA2 PF 的最小值为F 0 Fx分析： PF 为椭圆的一个焦半径，常需将另一焦半径PF 或准线作出来考虑问题。解：（ 1） 4-设另一焦点为5F ，则 F (-1,0)连 A F ,P FPAPFPA2aPF2a( PFPA )2aAF45当 P 是 F A 的延长线与椭圆的交点时,PAPF 取得最小值为 4-5 。（ 2） 3作出右准线 l，作 PH l 交于 H ，因 a2=4，b2=3，c2 =1， a=2， c=1，e= 1 ，2 PF1 PH ,即2 PFPH2 PA2PF PAPHa 2当 A 、 P、H 三点共线时，其和最小，最小值为xA 4 1 3c