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1、圆锥曲线的方程与性质1椭圆（1）椭圆概念平面内与两个定点F1、 F2的距离的和等于常数2 a （大于 | F1F2 |）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离2c 叫椭圆的焦距。若M 为椭圆上任意一点，则有|MF1|MF2 |2a 。椭圆的标准方程为：x2y21（ ab0 ）（焦点在x轴上）或y2x21（ ab0 ）（焦点在 y 轴a2b2a 2b 2上）。注：以上方程中a,b 的大小 ab0 ，其中 b2a2c2 ；在 x2y21 和 y2x2 1 两个方程中都有 ab0 的条件，要分清焦点的位置，只要看x2 和 y2的分a2b2a2b2母的大小。例如椭圆x2y21 （
2、m 0 ， n0 ， mn ）当 m n 时表示焦点在x 轴上的椭圆；当 mn 时mn表示焦点在y 轴上的椭圆。（2）椭圆的性质x2y21 知 | x | a ， | y |b ，说明椭圆位于直线xa ， yb 所围成的矩形里；范围：由标准方程2b2ay 代替 y 方程不变，所以若点(x, y) 在曲线上时，点( x, y) 也在曲线上，对称性：在曲线方程里，若以所以曲线关于x 轴对称，同理，以x 代替 x 方程不变，则曲线关于y 轴对称。若同时以x 代替 x ，y 代替 y方程也不变，则曲线关于原点对称。所以，椭圆关于x 轴、 y 轴和原点对称。这时，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是对称中心，椭
3、圆的对称中心叫椭圆的中心；顶点：确定曲线在坐标系中的位置，常需要求出曲线与x 轴、 y 轴的交点坐标。在椭圆的标准方程中，令x 0 ，得 yb ，则 B1 (0,b) ， B2 (0,b) 是椭圆与 y 轴的两个交点。同理令y0 得 xa ，即 A1 (a,0) ，A2 (a,0) 是椭圆与 x 轴的两个交点。所以，椭圆与坐标轴的交点有四个，这四个交点叫做椭圆的顶点。同时，线段 A1 A2 、 B1B2 分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别为2a 和 2b ， a 和 b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。由椭圆的对称性知： 椭圆的短轴端点到焦点的距离为a；在| OB2| b |OF2 |
4、c | B2 F2 | aRt OB2 F2，中，且 |OF2 |2 | B2F2 |2| OB2 |2 ，即 c2a2b2 ；离心率：椭圆的焦距与长轴的比ecac 0，0e 1，且 e 越接近1， c 就叫椭圆的离心率。a越接近 a ，从而 b 就越小，对应的椭圆越扁；反之，e 越接近于 0 ， c 就越接近于0 ，从而 b 越接近于 a ，这时椭圆越接近于圆。当且仅当ab 时， c0，两焦点重合，图形变为圆，方程为x2y2a2 。2双曲线（ 1）双曲线的概念平面上与两点距离的差的绝对值为非零常数的动点轨迹是双曲线（| PF1 | | PF2 | 2a ）。注 意 ： 式 中 是 差 的 绝
5、 对 值 ， 在 0 2a | F1F2 | 条 件 下 ； | PF1 | PF2 | 2a 时 为 双 曲 线 的 一 支 ；| PF2 | | PF1 | 2a 时为双曲线的另一支（含F1 的一支）；当 2a| F1F2 |时， | PF1 | PF2 | 2a 表示两条射线；当 2a| F1F2|时， | PF1 | | PF2 |2a 不表示任何图形；两定点F1, F2 叫做双曲线的焦点， | F1F2 |叫做焦距。椭圆和双曲线比较：椭圆双曲线定义|PF1| |PF2|2a(2a | F1 F2 |)| PF1 | | PF2 |2a(2a| F1F2 |)方程x2y21x 2y 2
6、1x 2y21y2x 21a2b 2b 2a 2a 2b 2a 2b 2焦点F (c,0)F (0, c)F (c,0)F (0,c)注意：如何用方程确定焦点的位置！（ 2）双曲线的性质范围：从标准方程x 2y21 ，看出曲线在坐标系中的范围：双曲线在两条直线xa 的外侧。即a 2b2x2a2 ， xa 即双曲线在两条直线xa 的外侧。对称性：双曲线x 2y21关于每个坐标轴和原点都是对称的，这时，坐标轴是双曲线的对称轴，原点a 2b 2是双曲线 x 2y 21的对称中心，双曲线的对称中心叫做双曲线的中心。a 2b 2x2y 2顶点：双曲线和对称轴的交点叫做双曲线的顶点。在双曲线1的方程里，对
7、称轴是x, y 轴，所a 2b2x 2y 2以令 y0 得 xa ，因此双曲线和x 轴有两个交点 A (a,0) A2 ( a,0)，他们是双曲线1 的顶点。a 2b 2令 x0，没有实根，因此双曲线和y 轴没有交点。1）注意：双曲线的顶点只有两个，这是与椭圆不同的（椭圆有四个顶点），双曲线的顶点分别是实轴的两个端点。2）实轴：线段 A A2 叫做双曲线的实轴，它的长等于2a, a 叫做双曲线的实半轴长。虚轴：线段B B2 叫做双曲线的虚轴，它的长等于2b,b 叫做双曲线的虚半轴长。渐近线：注意到开课之初所画的矩形，矩形确定了两条对角线，这两条直线即称为双曲线的渐近线。从图上看，双曲线x2y2
8、1的各支向外延伸时，与这两条直线逐渐接近。a 2b2等轴双曲线：1）定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线。定义式：ab ；2）等轴双曲线的性质： （ 1）渐近线方程为：yx；（ 2）渐近线互相垂直。注意以上几个性质与定义式彼此等价。亦即若题目中出现上述其一，即可推知双曲线为等轴双曲线，同时其他几个亦成立。xy(0)x3ab ，则等轴双曲线可以设为：22，当0 时交点在轴，）注意到等轴双曲线的特征当0时焦点在 y 轴上。注意 x 2y 21与 y2x21 的区别：三个量a,b, c 中 a,b 不同（互换） c 相同，还有焦点所在的坐标169916轴也变了。3抛物线（1）抛物线的概念平面内
9、与一定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线 (定点 F 不在定直线 l 上 )。定点 F 叫做抛物线的焦点，定直线 l 叫做抛物线的准线。方程 y 22 px p 0 叫做抛物线的标准方程。注意：它表示的抛物线的焦点在x 轴的正半轴上，焦点坐标是F（ p ,0 ），它的准线方程是 xp；22（ 2）抛物线的性质一条抛物线，由于它在坐标系的位置不同，方程也不同，有四种不同的情况，所以抛物线的标准方程还有其他几种形式： y22 px ， x22 py ， x 22 py.这四种抛物线的图形、标准方程、焦点坐标以及准线方程如下表：标准方程y22 pxy22 pxx22 pyx22 py( p0)( p0)( p0)( p0)图形焦点坐标准线方程范围对称性顶点离心率ylo Fxp(,0)px2x 0x 轴(0,0)e1ylFoxl(p ,0)2px2x 0x 轴(0,0)e1yFox(0, p)(0,p)22ypyp22y0y0y 轴y 轴(0,0)(0,0)e1e1说明：（1）通径：过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦称为通径；点，一个焦点，一条准线，一条对称轴，无对称中心，没有渐近线；的距离。（ 2）抛物线的几何性质的特点：有一个顶（ 3）注意强调 p 的几何意义：是焦点到准线
圆锥曲线知识点总结(绝对物超所值).
