南通市如皋市高一上期末数学试卷(有答案)

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1、江苏省南通市如皋市高一（上）期末数学试卷一、填空题（共 14 小题，每小题 5 分，满分 70 分）1（5 分）设全集 U= 1， 2， 4 ，集合 A= 1， 4 ，则 ?UA=2（5 分）已知函数 y=2sin（x+）（0）的最小正周期为，则 =3（5 分）已知幂函数的图象过点（2，4），则它的单调递减区间是4（5 分）设函数 f（x） =，则 f f （） 的值为5（ 5 分）在 ABC中，向量 =（1，cosB）， =（sinB，1），且 ，则角 B 的大小为6（5分）（ log2 3+log227）（ log44+log4）的值为7（ 5 分）将函数 f（x）=sin（2x+）（0）

2、的图象向左平移个单位后得到函数 y=g（ x）的图象，若 y=g（ x）是偶函数，则 =8（5分）已知函数 f（x）=mx22x+m 的值域为 0，+），则实数 m 的值为9（5分）已知 sin（ ） = ，则 sin（2+）的值为10（5 分）已知 sin（+） = ， sin（ ） =，则的值为11（5 分）在平面直角坐标系xOy 中，点 P（1，4）是角 终边上一点，将射线OP 绕坐标原点 O 逆时针方向旋转（0）角后到达角的终边，则 tan =12（5 分）已知函数 f（ ），若关于x的方程2+2a=0 有三个不同的x =f（x） a实数根，则实数a 的取值范围是13（5 分）已知函数

3、 f（x） =cosx（x 0，2 ）与函数 g（x）=tanx 的图象交于 M ，N 两点，则|+| =14（5 分）如图，在 ABC中，已知 AB=2，AC=3，BAC=60，点 D，E 分别在边 AB，AC上，且=2，=3，点 F 位线段 DE 上的动点，则?的取值范围是（）二、解答题（共 6 小题，满分90分.解答时写出文字说明，证明过程或演算步骤）15（14 分）已知集合 A= x| f（ ）（ ），集合x+a，x0 x=lg x 1 +B= y| y=2（1）若 a= ，求 AB；（2）若 A B=?，求实数 a 的取值范围16（14 分）已知函数f（ x） =Asin（ x）（其

4、中 A， 为常数，且 A 0，0）的部分图象如图所示（1）求函数 f （x）的解析式；（2）若 f（+） =，f（+）=，且 ，（ 0，），求 +的值17（14 分）若 | =1，| =m，|+ |=2（1）若|+2 | =3，求实数m 的值；（2）若+与的夹角为，求实数m 的值18（16 分）如图，经过村庄围成的直角区域内建一工厂A 有两条互相垂直的笔直公路AB 和 AC，根据规划拟在两条公路P，为了仓库存储和运输方便，在两条公路上分别建两个仓库M，N（异于村庄 A，将工厂 P 及仓库 M ，N 近似看成点，且 M ，N 分别在射线 AB，AC上），要求MN=2，PN=1（单位： km），P

5、N MN（1）设 AMN= ，将工厂与村庄的距离PA表示为 的函数，记为 l（ ），并写出函数 l（）的定义域；（2）当 为何值时， l（ ）有最大值？并求出该最大值19（16 分）已知函数 f（ x）=m（sinx+cosx） 4sinxcosx，x 0， ， mR（1）设 t=sinx+cosx，x 0， ，将 f（x）表示为关于 t 的函数关系式 g（t），并求出 t 的取值范围；（2）若关于 x 的不等式 f（ x） 0 对所有的 x 0， 恒成立，求实数m 的取值范围；（3）若关于 x 的方程 f（x） 2m+4=0 在 0， 上有实数根，求实数m 的取值范围20（16 分）（1）已

6、知函数 f （x）=2x+（x0），证明函数 f（ x）在（ 0，）上单调递减，并写出函数 f（x）的单调递增区间；| x|x（2）记函数 g（x）=a +2a （a1）若 a=4，解关于 x 的方程 g（x）=3；若 x 1，+），求函数 g（ x）的值域江苏省南通市如皋市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（共14 小题，每小题 5 分，满分 70 分）1（5 分）设全集 U= 1， 2， 4 ，集合 A= 1， 4 ，则 ?UA= 2【解答】 解：全集 U= 1，2，4 ，集合 A= 1，4 ，则?UA= 2 故答案为： 2 2（5 分）已知函数 y=2sin（x+）（0）

7、的最小正周期为，则 = 3【解答】 解：由题意可得：最小正周期T=，解得： =3故答案为： 33（5 分）已知幂函数的图象过点（ 2，4），则它的单调递减区间是 （， 0） 【解答】 解：设幂函数的解析式为 y=x，其函数图象过点（ 2，4），则 4=2，解得 =2，所以 y=x2，所以函数 y 的单调递减区间是（，0）故答案为：（， 0）4（5 分）设函数 f（x） =，则 f f （）的值为 4 【解答】 解： f（ x）=，f（）=2=2=2，f f（） =f（ 2） =22=4故答案为：45（5 分）在 ABC中，向量=（1，cosB），【解答】 解： ，? =sinB+cosB=0?

8、=（sinB，1），且 ，则角 B 的大小为tanB= 1， B（ 0，）， B= 故答案为：6（5 分）（ log2 3+log227）（ log44+log4）的值为0【解答】 解：原式 =log281log41=0，故答案为：07（ 5 分）将函数 f（x）=sin（2x+）（0）的图象向左平移个单位后得到函数y=g（ x）的图象，若 y=g（ x）是偶函数，则 = 【解答】 解：图象向左平移 得到 f（ x+）=2sin（2x+），g（x） =2sin（2x+），g（x）为偶函数，因此+=k+，又 0，故 = 故答案为：8（5 分）已知函数 f（x）=mx22x+m 的值域为 0，+）

9、，则实数 m 的值为 1 【解答】 解： f （x）=mx22x+m 的值域为 0，+），解得 m=1故答案为： 19（5 分）已知 sin（ ） =，则 sin（2+）的值为【解答】 解： sin（ ） =，sin（ 2+）=cos（ 2+） =cos（ 2）=cos 2（） =12sin2（）=12（）2=故答案为：10（5 分）已知 sin（+） =， sin（ ） =，则的值为3【解答】 解： sin（ +）=sin cos+cossin =， sin（ ） =sin coscossin =， sin cos=， cossin =，则=3，故答案为： 311（5 分）在平面直角坐标系

10、xOy 中，点 P（1，4）是角 终边上一点，将射线 OP 绕坐标原点 O 逆时针方向旋转 （0）角后到达角 的终边，则 tan = 【解答】 解：由题意可得， +=，tan =4， tan（+） = 1，即=1，即= 1，求得 tan =，故答案为：（分）已知函数f（x） =，若关于x的方程2+2a=0 有三个不同的12 5f（x） a实数根，则实数a 的取值范围是0a1 或 1 a 2【解答】 解：由题意，关于 x 的方程 f（ x） a2+2a=0 有三个不同的实数根，则 f （x）=a22a 有三个不同的交点，f（ x） =， 1a2 2a0，0a1 或 1 a2，故答案为 0a1 或

11、 1 a 213（5 分）已知函数 f（x） =cosx（x 0，2 ）与函数 g（x）=tanx 的图象交于 M ，N 两点，则|+| = 【解答】 解：由题意， M ，N 关于点（， 0）对称，|+| =2 =，故答案为 14（5 分）如图，在 ABC中，已知 AB=2，AC=3，BAC=60，点 D，E 分别在边 AB，AC上，且=2，=3，点 F 位线段 DE上的动点，则?的取值范围是 ， （）【解答】解：设=，；则?=+=，当 =0时， f （） =最大为，当时， f （） =最小为；则?的取值范围是 ，故答案为：，二、解答题（共6 小题，满分 90 分.解答时写出文字说明，证明过程

12、或演算步骤）15（14 分）已知集合 A= x| f （x） =lg（ x1）+ ，集合 B= y| y=2x+a，x0 （1）若 a= ，求 AB；（2）若 A B=?，求实数 a 的取值范围【解答】 解：（1）由 f（ x）=lg（x1）+可得， x 1 0 且 2x0，解得 1 x2，故 A= x| 1x2 ； （2 分）若 a=，则 y=2x+，当 x0 时， 02x1， 2x+，故 B= y|y ； （5 分）所以 A B= x| 1x （ 7 分）xx（2）当 x0 时， 02 1，a2 +aa+1，故 B= y| aya+1 ， （9 分）即 a2 或 a 0，所以实数 a 的取

13、值范围为 a2 或 a0 （ 14 分）16（14 分）已知函数f（ x） =Asin（ x）（其中 A， 为常数，且 A 0，0）的部分图象如图所示（1）求函数 f （x）的解析式；（2）若 f（+） =，f（+）=，且 ，（ 0，），求 +的值【解答】（本题满分为 14 分）解：（1）据函数 y=f（x）的解析式及其图象可知A=2， （2 分）且T=（） =，其中 T 为函数 y=f（x）的最小正周期，故T=2， （4 分）所以=2，解得 =1，所以 f（x）=2sin（x） （6 分）（2）由 f（+） =，可知 2sin（）=，即 sin = ，因为 （ 0，），所以 cos= （ 8

14、 分）由 f （+）=，可知 2sin（） =，即 sin（x+） =，故 cos=，因为 （ 0，），所以 sin=， （ 10 分）于是 cos（ +）=coscossin sin = = （ 12 分）因为 ， （ 0，），所以 +（ 0，），所以 += （ 14 分）17（14 分）若 | =1，| =m，|+ | =2（1）若 |+2 | =3，求实数 m 的值；（2）若+ 与 的夹角为，求实数 m 的值【解答】 解：（1）因为 |+ | =2，所以 |即以2+2+2? =4， （2 分）+ | 2=4又| =1，| =m，所以 （3 分）由| +2 | =3，所以所以 | +2 |

15、 2=9即以 2+4 2+4 ? =9，所以 1+4+4m2=9，解得 m= 1， （ 6 分）又| | 0，所以 m=1 （7 分）（2）因为， | | =1， | | =m，所以 |2=2+22? =1 2+m2=2m22，| = （9 分）又因为+ 与的夹角为，所以（+ ）?（）=以22=|+ | cos即，所以 1m2，解得， （13分）=2m=又| 0，所以 m= （14 分）18（16 分）如图，经过村庄A 有两条互相垂直的笔直公路AB 和 AC，根据规划拟在两条公路围成的直角区域内建一工厂 P，为了仓库存储和运输方便，在两条公路上分别建两个仓库 M，N（异于村庄 A，将工厂 P

16、及仓库 M ，N 近似看成点，且 M ，N 分别在射线 AB，AC上），要求MN=2，PN=1（单位： km），PN MN（1）设 AMN= ，将工厂与村庄的距离 PA表示为 的函数，记为 l（ ），并写出函数 l（）的定义域；（2）当 为何值时， l（ ）有最大值？并求出该最大值【解答】 解：（1）过点 P 作 PD AC，垂足为 D，连结 PA在 Rt MAN 中， sin = =，故 NA=2sin，在 Rt PND中， PND=，sin = =， cos= =，故 PD=sin，ND=cos在 Rt PDA中， PA=，所以 l（）=，函数 l（）的定义域为（ 0，）（2）由（ 1）可

17、知， l（）=，即 l（）=，又 （ 0，），故 2（，），所以当 2=，即 =时， sin（2）取最大值1，l（）max=1+答：当 =时， l（）有最大值，最大值为1+19（16 分）已知函数 f（ x）=m（sinx+cosx） 4sinxcosx，x 0， ， mR（1）设 t=sinx+cosx，x 0， ，将 f（x）表示为关于 t 的函数关系式 g（t），并求出 t 的取值范围；（2）若关于 x 的不等式 f（ x） 0 对所有的 x 0， 恒成立，求实数 m 的取值范围；（3）若关于 x 的方程 f（x） 2m+4=0 在 0， 上有实数根，求实数 m 的取值范围【解答】解：（

18、1）因为 t=sinx+cosx=，x 0， ，所以 t 1， ，sinxcosx= （2 分）所以 g（t ）=mt 4?=2t2+mt+2 （ 5 分）（2）因为关于 x 的不等式 f（ x） 0 对所有的 x0， 恒成立，据（ 1）可知 g（t ）=2t2+mt+20 对所有的 t 1， 恒成立， （ 6 分）所以，得 m所以实数 m 的取值范围是 ， +） （ 10 分）（3）因为关于 x 的方程 f（ x） 2m+4=0 在 0， 上有实数解，据（ 1）可知关于 t 的方程 2t2+mt+22m+4=0 在 t 1， 上有实数解，即关于 t 的方程 2t2 mt+2m6=0 在 t

19、1， 上有实数解， （ 11 分）所以 =m216（ m3） 0，即 m4 或 m12令 h（t ）=2t2 mt+2m 6，开口向上，对称轴 t= ，当 m12 时，对称轴 t3，函数 h（t ）在 t 1， 上单调递减，故，解得 m 不存在 （ 13 分）当 m4 时，对称轴 t 1，函数 h（ t）在 t 1， 上单调递增，故，解得 2+m 4 （ 15 分）综上所述，实数 m 的取值范围是 2+，4 （16 分）20（16 分）（1）已知函数 f （x）=2x+（x0），证明函数 f（ x）在（ 0，）上单调递减，并写出函数 f（x）的单调递增区间；（2）记函数 g（x）=a| x|

20、+2ax（a1）若 a=4，解关于 x 的方程 g（x）=3；若 x 1，+），求函数 g（ x）的值域【解答】（ 1）证明：设 x1，x2 是区间（ 0，）上的任意两个实数，且x1 x2，则 f （x1） f（x2） =2（x1 x2）+（）=，因为 0 x1x2，所以 x1 x20，0x1x2，故 2x1x210，所以 f（x1） f（ x2） 0，即 f（ x1） f（x2），所以函数 f （x）在（ 0，）上单调递减，函数 f（x）的单调递增区间为（，+）（2）解：当 a=4 时， 4| x|+2?4x，=3（）当 x0时， 4x+2?4x，即x ，所以；=34 =1x=0（）当 x0

21、时， 4 x+2?4x=3，即 2?（4x）23?4x+1=0，解得： 4x=1 或 4x= ，所以 x=或 0；综上所述，方程g（x）=3 的解为 x=0 或 x=；（）当 x0 时， g（x）=3ax，其中 a1，所以 g（x）在 0，+）上单调递增， g（x）min （ ），=g 0 =3所以 g（x）在 0，+）上的值域为 3，+）；（）当 x 1，0）时， g（ x）=ax+2ax，其中 a1，令 t=ax，则 t ，1）， g（ x） =2t+=f（t ），（）若 1a，则，据（ 1）可知， f（t） =2t+在，1）上单调递增，所以 f（ ） f（ t） f（1），且 f（）=a+ ，f（ 1）=3，此时， g（ x）在 1， 0）上的值域为 a+ ，3）；（）若 a ，则，据（ 1）可知， f（t） =2t+在，）上单调递减，在（，1）上单调递增，所以 f（t ）min=f（）=2，又 f（）=a+ ，f（1）=3，当 f （ ） f（1）时， g（x）在 1，0）上的值域为 2，a+ ，当 f （ ） f（1）时， g（x）在 1，0）上的值域为 2，3）；综上所述，当 1 a时，函数 g（x）在 1，+）上的值域为 a+， +；当 a 时，函数 g（x）在 1，+）上的值域为 2， +）