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1、资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除平面几何中线段相等的证明几种方法平面几何中线段相等的证明看似简单， 但方法不当也会带来麻烦， 特别是在有限的两个小时考试中。恰当选用正确的方法，可取得事半功倍的效果。一、利用全等三角形的性质证明线段相等这种方法很普遍， 如果所证两条线段分别在不同的三角形中， 它们所在三角形看似全等，或者，通过简单处理 ( 添加辅助线 ) ，它们所在三角形看似全等，可考虑这种方法。例 1如图，C是线段 AB上一点， ACD和 BCE是等边三角形。 求证：AE=BD。注 : 如果有两个形状相同的图形（一般是等腰三角形、等边三角形或正方形），那么可能要用到旋转全等或相似例 2如
2、图，已知 ABC中， AB=AC，点 E 在 AB上，点 F 在 AC的延长线上，且BE=CF，EF 与 BC交于 D，求证： ED=DF。注：添加辅助线，构造全等三角形二、利用等腰三角形的判定（等角对等边）证明线段相等如果两条所证线段在同一三角形中，证全等一时难以证明，可以考虑用此法。例 1如图，已知在 ABC中， AD是 BC边上的中线， E 是 AD上的一点，且BE=AC，延长 BE交 AC于 F。求证： AF=EF。注：辅助线是中线倍长法例 2如图，已知 ABC中， AB=AC，DFBC于 F，DF与 AC交于 E，与 BA的延长线交于 D，求证： AD=AE。word 可编辑资料收集
3、于网络，如有侵权请联系网站删除三、利用平行四边形的性质证明线段相等如果所证两线段在一直线上或看似平行，用上面的方法不易，可以考虑此法。例 1如图， ABC中， C=90， BAC=30，分别以 AB、 AC为边在 ABC 的外侧作正 ABE和正 ACD， DE与 AB交于 F，求证： EF=FD。（辅助线是过E 作 EGAB，连接 DG）注：构造平行四边形例 2如图， AD是 ABC的中线，过 DC上任意一点 F 作 EG/AB，与 AC和 AD 的延长线分别交于 G和 E， FH/AC，交 AB于点 H。求证： HG=BE。注：构造平行四边形，利用平行线分线段成比例转化证明： 延长 AD到
4、A，使 D A =AD，又 BD=CD 四边形 BACA是平行四边形 BA=AC由题设可知 HFGA也是平行四边形 HF=AG HF/AC，又，HF=AG， BA=A Cword 可编辑资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除 BH=EG四边形 BEGH是平行四边形四、利用中位线证明线段相等如果已知中含有中点或等边等，用上面方法较难，可以考虑此法。例 1如图，以 ABC的边 AB、AC为斜边向外作直角三角形ABD和 ACE，且使 ABD=ACE， M是 BC的中点。证明： DM=EM。注：辅助线取斜边中点例 2如图所示 , ABC中, 中线 BD、CE相交于 O,F、G分别为 OB、OC的中点
5、.求证：四边形 DEFG为平行四边形 .五、利用“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”证明线段相等。如果所证两线段所在的图形能构成直角三角形， 并且可能构成斜边及斜边上的中线，用上面方法一时证不出来，可以考虑此法。例 1 已知：在 ABC 中， M 是 BC 的中点， CE AB ， BF AC 。求证： EM FMword 可编辑资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除AEFBMC例 2 如图，正方形 ABCD 中， E、F 分别为 AB 、BC 的中点， EC 和 DF 相交于 G，连接 AG ，求证： AG=AD 。六、利用 等腰三角形顶角的平分线或底边的高平分底边如果所证线段在一条直线
6、上相邻，且在一个等腰三角形中，不妨用此法例如图， ABC中，AD是中线， AE是角平分线， CFAE于 F，AB=5，AC=3，则 DF的长为 _word 可编辑资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除七、线段垂直平分线上任意一点到线段两段距离相等如果两条线段在一个三角形中证明相等，且第三边有垂直或中点，用此法例已知如图， 在 ABC 中， BC=8 ，AB 的中垂线交 BC 于 D，AC 的中垂线交 BC 与 E，则 ADE 的周长等于 _ 注： 1、补充 2016 年安徽中考解答题第23 题第 2 小问是中垂线的性质2 、三角形三条中垂线交于一点八、角平分线上任一点到角的两边距离相等适用于有
7、角平分线和垂直的图形例 如图 , AOP=BOP=15 ,PC OA交 OB于 C,PDOA垂足为 D,若 PC=4,则 PD=.注： 1、补充 2013 年安徽省中考解答题第23 题第 3 小问2 、三角形三条角平分线交于一点九、圆的性质和定理同圆（或等圆）中半径相等，等弧所对的弦或与弦心距相等的两弦或等圆心角、圆周角所对的弦相等， 圆内垂直于直径的弦被直径分成的两段相等，圆外一点引圆的两条切线的切线长相等word 可编辑资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除例 1 如图， O中，弦 AB与 CD相交于点 E，且 AB=CD. 求证： AE=CE.注：辅助线 AC不一定经过 OAEOCDB例
8、 2 如图所示， ABAC，AB为 O的直径， AC、BC分别交 O于 E、D，连结ED、BE试判断 DE与 BD是否相等，并说明理由；十、等积法面积相等，等底或等高可以转化例 如图 , 在平行四边形 ABCD中,E 是 CD上一点 ,F 是 AD上一点 , 且 CF=AE,AE交 CF于点 O.求证： OB平分 AOC.十一、长度相等：测量法适用于选择题或填空题，解答题必须求出其具体长度或都是某条线段的倍数十二、等量转化： 等于同一线段的两条线段相等以上都可以用证明线段的比例式或等积式的方法证明线段的比例式或等积式成立， 往往要添加辅助线， 以构造一对或多对相似三角形。一、添加平行线（ 1）
9、 添加三角形内的平行线段添加的方法是过端点或内分点做平行线， 利用“平行于三角形的一边，并且和其他两边或其延长线相交的直线， 所截得的三角形的三边与原三角形的三边对word 可编辑资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除应成比例”的性质证明线段成比例。在几何命题中，如果出现一组（或两组）相比线段重叠在一条直线上时，可考虑添加三角形内的平行线。例 1、如图，已知 AD是 ABC的外角平分线， AD与 BC的延长线交于 D。求证： BD:CD=AB:ACFAADFBCDECB例 2、如图，点 D 在 ABC的 AC边上，且 AD=BE。求证 : EFAC .FDBC例 3、如图，已知 BD:DC=5
10、:3,E 为 AD的中点，求 BE:EF的值 .AFECBD(2) 添加三角形外的平行线添加的方法是过端点作平行线例 1、如图，已知在 ABC中， AD平分BAC ，求证： ABBD .ACDCAAEFBDCBDC例 3、已知 ABC中， AD为中线， E、F 分别在 AB、AC上，且 AE=AF,EF交 AD于 G，求证： GE AC . （过 B、C分别作 EF的平行线）GF AB二、利用三角形相似的性质例 1、如图，已知 ABC中，ACB900 ，DF是 AB的中点，过 D 作 AB的垂线交 AC于 E，交 BC 的延长线于 F，求证： DC 2=DEDFCword 可编辑EBAD资料收
11、集于网络，如有侵权请联系网站删除AFEGCBDH例 2、如图，在 ABC中， AD、BE分别是 BC、AC边上的高，过 D作 AB边上的垂线交 AB于 F，交 BE于 G，交 AC的延长线于 H.求证： DF 2=GFHF三、利用面积比求比例关系（ 1）相似三角形性质面积比等于相似比的平方例如图 1，点 C 将线段 AB 分成两部分，如果 ACBC ，那么称点 C 为线段ABACAB 的黄金分割点。某数学兴趣小组在进行课题研究时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线将一个面积为S的图形分成两部分，这两部分的面积分别为 S1、 S2 ，如果 S1S2，那么称SS1直线为该图形的黄金分割线 .（ ）如图，在 ABC 中， A 36， ABAC ，C 的平分线交 AB 于12点 D ，请问点 D 是否是 AB 边上的黄金分割点，并证明你的结论；（ 2）若 ABC 在（ 1）的条件下，如图（ 3），请问直线 CD 是不是 ABC 的黄金分割线，并证明你的结论；（ 2）word 可编辑资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除（ 3） 非相似三角形用等底或等高转化例 如图 ABC中 D为 BC上任一点， E 为 AD或延长线上一点。（4）S求证 : (1)ABES(2)SABCEBCADEDCB四、利用长度关系求比例word 可编辑
初中线段相等、比例关系的证明方法教案资料
