初中数学圆的辅助线八种作法

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1、学习资料收集于网络，仅供参考与交流中考数学圆的辅助线在平面几何中， 与圆有关的许多题目需要添加辅助线来解决。 百思不得其解的题目，添上合适的辅助线， 问题就会迎刃而解， 思路畅通， 从而有效地培养学生的创造性思维。添加辅助线的方法有很多， 本文只通过分析探索归纳几种圆中常见的辅助线的作法。下面以几道题目为例加以说明。1. 有弦，可作弦心距在解决与弦、弧有关的问题时， 常常需要作出弦心距、 半径等辅助线，以便应用于垂径定理和勾股定理解决问题。例 1如图 1, O的弦 AB、 CD相交于点 P，且 AC=BD。求证： PO平分 APD。OAPEBFDC P B图 1分析 1：由等弦 AC=BD可得

2、出等弧(= ACBD ，进一步得出(，从而可证等弦AB=CD，由同圆中=CDAB等弦上的弦心距相等且分别垂直于它们所对应的弦，因此可作辅助线 OE AB，OF CD，易证 OPE OPF，得出 PO平分 APD。证法 1：作 OE AB于 E， OFCD于 F(AC=BD = = = AB=CDACBDABCD= OE=OF OEP= OFP=90 = OPE OPF0OP=OP= OPE= OPF = PO平分 APD分析 2：如图 1-1 ，欲证 PO平分 APD，即证如有侵权，请联系网站删除学习资料收集于网络，仅供参考与交流 OPA= OPD，可把 OPA与 OPD构造在两个三角形中，证

3、三角形全等，于是不妨作辅助线即半径 OA，OD，因此易证 ACP DBP，得 AP=DP，从而易证 OPA OPD。OAPBDC P B图 1-1证法 2：连结 OA， OD。 CAP= BDP APC= DPB = ACP DBP AC=BD=AP=DPOA=OD=OPA OPD =OPA= OPD =PO平分 APDOP=OP2. 有直径，可作直径上的圆周角对于关系到直径的有关问题时，可作直径上的圆周角，以便利用直径所对的圆周角是直角这个性质。例 2 如图 2，在 ABC中， AB=AC，以 AB为直径作 O交 BC于点 D ，过 D作 O的切线 DM交 AC于 M。求证DM AC。AOA

4、.12MBDC图 2分析：由 AB是直径，很自然想到其所如有侵权，请联系网站删除学习资料收集于网络，仅供参考与交流对的圆周角是直角。 于是可连结 AD，得 ADB=Rt , 又由等腰三角形性质可得 1= 2，再由弦切角的性质可得 ADM= B，故易证 AMD= ADB=90，从而 DM AC。证明连结 AD。AB为 O的直径 = ADB=Rt=1=2AB=ACDM切 O于 D= ADM=B=1+ B=2+ ADM = AMD= ADB= Rt = DM AC说明，由直径及等腰三角形想到作直径上的圆周角。3. 当圆中有切线常连结过切点的半径或过切点的弦例 3 如图 3,AB 是 O 的直径，点

5、D 在 AB 的延长线上， BD=OB，DC切 O 于 C 点。求 A 的度数。分析：由过切点的半径垂直于切线，于是可作辅助线即半径OC，得 Rt，再由解直角三角形可得COB的度数，从而可求 A 的度数。C.DAOB图 3解：连结 OC。DC切 O于 C = OCD=90OC=OB=BD= A=1/2 COB=30=COS COD=OC/OD=1/2= COB=60说明，由过切点的半径垂直于切线想到连结半径。例 4 如图 4，已知 ABC中， 1= 2，圆 O过 A、D 两点，且与 BC切于 D点。如有侵权，请联系网站删除学习资料收集于网络，仅供参考与交流求证EF/BC 。A12OFECBD图

6、 4分析：欲证EF/BC ，可找同位角或内错角是否相等，显然同位角相等不易证，于是可连结DE，得一对内错角由圆的性质可知这两个角分别等于1 和 2，故易证 EF/BC 。BDE与 DEF，证明连结 DE。BC切 O于 D =BDE= 1 2= DEF = BDE= DEF =EF/BC 1= 2说明，由有切线且在同圆中等弧所对的圆周角相等想到连结弦。4. 当两圆相切，可作公切线或连心线例 5 已知：如图 5， O1 与 O2 外切于点 P，过 P 点作两条直线分别交O1 与 O2 于点 A、 B、 C、 D。求证 PB ?PC=PA?PD。分析：欲证由此可作辅助线PB?PC=PA?PD，即证

7、PA PB=PC PD，AC、BD，并证 AC/DB，要证平行， 需证一对内错角相等，如C= D，然后考虑到这两个角分别与弦切角有关，进而再作辅助线即两圆公切线题迎刃而解。MN，从而问AMD.PO2.O1CNB如有侵权，请联系网站删除图 5学习资料收集于网络，仅供参考与交流证明连结 AC、 BD，过 P 点作两圆的内公切线MN=APM= C， BPN= D= C=D APM=BPN= AC/DB = PA PB=PC PD = PB?PC=PA?PD说明，由需证弦平行且弦切角等于其所夹弧对的圆周角想到作公切线和作弦。例 6 已知：如图 6， O1 与 O2 内切于点 T，经过切点 T 的直线与

8、 O1 与 O2 分别相交于点 A 和 B。求证 TA TB=O1A O2B。A 21BT O1 O2图 6分析：欲证 TA TB=OA O2B，可考虑证这四条线段1所在的三角形相似，即证TO1A TO2B，于是只需连结O2O1，并延长，必过切点，则产生 TOA 和 TOB，由 1= 2= T，则 OA/ OB，易证线段比相等。1212证明连结并延长 OO21= O2O1 必过切点O 和 O内切于点 T12O1A=O1T = 1= TO= 1= 2 = O1A/ O 2B2T= O2B = 2= T=TO1A TO2B = TA TB=O1AO2B说明，由连心线必过切点可构造三角形证全等想到作

9、连心线。5当两圆相交，可作公共弦或连心线。如有侵权，请联系网站删除学习资料收集于网络，仅供参考与交流例 7 如图 7， O1与 O2相交于 A、B两点，过 A 点作 O2 的切线交 O1 于点 C，直线 CB交 O2 于点 D， DA延长线交 O1 于点 E，连结 CE。求证 CA=CE。FAEDO1 .O2BC 图 7分析：欲证CA=CE，考虑在三角形中证它们所对的角相等，即E= CAE，又由 DAF= CAE，想到弦切角 DAF 与所夹弧对的圆周角相等，故需作辅助线：公共弦AB，得 E= DBA，易证 CA=CE。证明连结 AB。CA切 O2 于 A = DAF= DBA四边形 ABCE内

10、接于 O1 = E=DBA DAF= CAE= E=CAE = CA=CE说明，由两圆相交及用到弦切角和圆内接四边形想到作公共弦。D E CMO1O2GNAFB图 8如有侵权，请联系网站删除学习资料收集于网络，仅供参考与交流例 8如图 8，在梯形ABCD中，以两腰AD、 BC分别为直径的两个圆相交于M、 N 两点，过 M、 N 的直线与梯形上、下底交于E、 F。求证： MN AB。分析：因为MN是公共弦，若作辅助线O1O2，必有 MN O1O2，再由 O1O2 是梯形的中位线，得O1O2/AB ，从而易证 MN AB。证明连结 O1O2 交 EF 于 G = MN O1O2。DO1=O1A，

11、CO=OB = O O 是梯形 ABCD的中位线 = O 1O2/AB2212= EFA=EGO=Rt = MN AB1说明，由两圆相交连心线垂直于公共弦想到作连心线。6有半圆，可作整圆AF例 9如图 9， BC为 O的直径， ADBC于 D，O(E交 BF 于 E。求证 AE=BEB.C= ,ADDBAAF分析：欲证 AE=BE，可考虑在三角形中证这两边H所对角相等。即 ABF=BAE，再考虑证这两个圆周角图 9所对的弧相等，故需补全(=易证 AE=BE.O，可证=，故有BABHBHAF ，证明补全 O，延长 AD交 O于 H，直径 BC AD = (=(BA BH(BA= AF，= = A

12、BF= BAH = AE=BE( =BH AF说明，由平分弦的直径必平分弦所对的弧想到补全圆。7相交两圆中至少有一个圆经过另一个圆的圆心，遇到这类问题，常用的辅助线是连结过交点的半径例 10如图 10， O1 与 O2 相交于A、 B 两点，且 O2 在 O1 上，点 P 在 O1 上，点 Q在 O2 上，若 APB=40，求 AQB的度数。PA如有侵权，请联系网站删除.学习资料收集于网络，仅供参考与交流分析连结 O2A、 O2B，在 O1 中利用圆内接四边形性质求得AO2B=140，在 O2 中， AQB=1/2 AO2B=70。证明过程略。说明，由同圆内同弧所对的圆周角等于所对圆心角的一半想到连结过交点的半径。几何辅助线的添加， 是几何学习的一个难点， 正确添加辅助线， 是沟通题设和结论的桥梁， 也是解题的重要手段。 学生在做几何题时， 明知需要引辅助线， 但又不知如何引，而是乱加辅助线，反而使图形复杂，影响思路与问题的解决。因此，恰当添加辅助线，使问题迎刃而解，从而调动学生积极性，激发学习兴趣，开发智力，掌握解题技能与技巧，提高解题效率，培养思维能力。如有侵权，请联系网站删除