Cauchy积分公式和高阶导数公式实用教案

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1、1, , 00 zzzC的正向圆周的正向圆周半径为很小的半径为很小的为中心为中心取作以取作以积分曲线积分曲线 , )( 的连续性的连续性由由zf , )( 0处的值处的值接近于它在圆心接近于它在圆心的缩小而逐渐的缩小而逐渐的值将随着的值将随着上函数上函数在在zzfC )(.d)( d)(000缩小缩小将接近于将接近于 CCzzzzfzzzzf Czzzzfd)(00).(2d1)(000zifzzzzfC 第1页/共81页第一页，共82页。22.Cauchy2.Cauchy积分(jfn)(jfn)公式 , , , , )( 0那末那末内任一点内任一点为为于于它的内部完全含它的内部完全含闭曲线闭

2、曲线内的任何一条正向简单内的任何一条正向简单为为内处处解析内处处解析在区域在区域如果函数如果函数CzDDCDzfD 0zCCauchy积分积分(jfn)公式公式 Czzzzfizf.d)(21)( 00第2页/共81页第二页，共82页。3证明：以证明：以 为心作一完全包含于为心作一完全包含于 内的圆盘内的圆盘 ，并且，并且(bngqi)记其边界为圆记其边界为圆 。在在 上，挖去圆盘上，挖去圆盘 ，余下的点，余下的点集是一个闭区域集是一个闭区域 。在。在 上上 函数解析，由柯西定理有：函数解析，由柯西定理有：在这里沿在这里沿 的纠纷是按照的纠纷是按照 区域的正向取的，沿区域的正向取的，沿 的积的

3、积分是按正向取的，即逆时针方向。分是按正向取的，即逆时针方向。以下我们证明：以下我们证明：0zD0C1C2CC0zD|:|0zzK|:|0zzCDKKDDD0)(zfdzfdzfCC00)()(CDC)(2)(00zifdzfC 第3页/共81页第三页，共82页。4 记 由柯西定理知： 是个不依赖于 的常数，从而我们证明由于和 在z0 是连续性，所以对于(duy)任意的 ，可以找到dzfIC0)(IdzfIC00)(lim)(2)(lim000zifdzfC)233(dzzffzifdzfCC0000)()()(2)()(zf0第4页/共81页第四页，共82页。5 使得(sh de)当 ， 时

4、，有从而当C2| )()(|0zff| )()(| )(2)(|0000dzzffzifdzfCC从而故于是证得 称为积分基本公式或柯西积分公式 D第5页/共81页第五页，共82页。6定理定理1 1 对于由对于由 条围线所围成的复连通区条围线所围成的复连通区域仍然有效域仍然有效(yuxio)(yuxio) （如教材（如教材6666页定理页定理1 1那样构成）那样构成）定理定理1 1从揭示解析从揭示解析(ji x)(ji x)函数的性质、表示解析函数的性质、表示解析(ji x)(ji x)函数及提供计算积分函数及提供计算积分的方法等三方面给我们以启示的方法等三方面给我们以启示定理定理1 1为我们

5、提供了计算如（为我们提供了计算如（* *）式左端的积分的方法）式左端的积分的方法这类积分的特征是：积分路径是围线，被积函数为一分式，它在积分路径内部只含一个奇点，且该奇点是使分母 为零的点，而在积分路径上无被积函数的奇点 （*）第6页/共81页第六页，共82页。7例例 1 1解解 44.d3211)2( ;dsin(1) zzzzzzzz求下列积分求下列积分 4dsin(1)zzzz , sin)( 在复平面内解析在复平面内解析因为因为zzf , 4 0内内位于位于 zz 4dsinzzzz; 0 由Cauchy积分(jfn)公式0sin2 zzi 第7页/共81页第七页，共82页。8 4.d

6、3211)2(zzzz 44d32d11zzzzzz2212 ii.6 i 例例 2 2 2.d1 zzzze计算积分计算积分解解 , )( 在复平面内解析在复平面内解析zezf , 2 1内内位于位于 zz由Cauchy积分(jfn)公式122d1 zzzzeizze.2ie 第8页/共81页第八页，共82页。9关于关于CauchyCauchy积分公式积分公式(gngsh)(gngsh)的的说明说明: : 把函数在把函数在C内部任一点内部任一点(y din)的值用它在边界上的值用它在边界上的的 值表示值表示. （这是解析(ji x)函数的一个重要特征）(2) 公式不但提供了计算某些复变函数沿

7、闭路积 分的一种方法, 而且给出了解析函数的一个 积分表达式.(这是研究解析函数的有力工具)第9页/共81页第九页，共82页。10例计算例计算(j sun)(j sun)积分积分 解 首先，识别积分的类型它是具有（*）式左端积分的特征的那类积分其次，将所求积分与（*）式左端的积分比较后，知道所求积分在形式上与（*）式左端的积分相同由此想到利用（*）式计算(j sun)积分最后，经验证，所求积分满足定理1的条件，于是，由（*）式得第10页/共81页第十页，共82页。11解 首先，识别积分类型(lixng)它是具有（*）式左端积分的特征的那类积分其次，将所求积分与（*）式左端的积分比较，在形式上是

8、不一样的但是，如果将它变形为例计算例计算(j sun)(j sun)积分积分 那么(n me)，在形式上与（*）式左端的积分一样由此想到利用（*）式计算最后，经验证，所求积分满足定理4.5的条件，于是，由（*）式得第11页/共81页第十一页，共82页。12例计算例计算(j sun)(j sun)积分积分22d1zzzz 被积函数在积分路径内部含有两个奇点1z与1z211:,211:21zczc21d1d1d12222cczzzzzzzzzz作，有计算上式右端两个(lin )积分 11d11d12cczzzzzzz11 i2zzzi22d11d12cczzzzzzz11 i2zzzii2d122

9、zzzz故第12页/共81页第十二页，共82页。13观察下列观察下列(xili)等式等式 问题：问题： 解析函数的导函数一定为解析函数？解析函数的导函数一定为解析函数？ 若是，则其导函数可否若是，则其导函数可否(k fu)(k fu)用一公式来用一公式来表示呢？表示呢？ 第13页/共81页第十三页，共82页。14亦即亦即 抽象后有抽象后有 上式是必然的吗？下面的定理上式是必然的吗？下面的定理(dngl)(dngl)给予了回答给予了回答 第14页/共81页第十四页，共82页。15内解析，内解析，的在单连通区域的在单连通区域设函数设函数Dzf )( 曲线，曲线，的一条可求长的正向的一条可求长的正向

10、围绕围绕内内为为JordanzDC 0，的内部全含于的内部全含于而且它而且它D : )(0阶导数为阶导数为处的处的在在则则nzzf), 2 , 1( d)()(2!)(100)( nzzzzfinzfCnnD 0zC高阶导数公式高阶导数公式(gngsh)(gngsh)的作用的作用: : 不在于通过不在于通过(tnggu)(tnggu)积分来积分来求导求导, , 而在于通过而在于通过(tnggu)(tnggu)求导来求积分求导来求积分. .二、解析二、解析(ji x)函数的高阶导数定理函数的高阶导数定理第15页/共81页第十五页，共82页。16证 利用数学(shxu)归纳法证明该定理设 ，证上式

11、成立，即证 (1)欲证(1)式，只须证为此，设 C 的长度为 ， 在C 上满足 ，令由定理有第16页/共81页第十六页，共82页。17于是由此有故即第17页/共81页第十七页，共82页。18 设 时，题设式子(sh zi)成立，证 时，题设式子(sh zi)成立，即证D1C2Cz0C第18页/共81页第十八页，共82页。19 假设(jish)（3-3-3）当 时成立。kn 设以 为心，以 为半径的圆盘完全包含在 内，并且在这圆盘内取 使得 ，那么当 时，zd2Dhzdh |0dhzdz| ,|C第19页/共81页第十九页，共82页。20 那么(n me)dzfikhzfhzfkkk2)()()

12、()(2)!1()()(dzfikdhzfikhkk11)()(2!)()(2!1dzfikk2)()(2)!1(2112)()(2)!1()()()()(1()(2!kkkkzdfikdzhzhOhzkfihk)()(1)()(1)(2)!1(21hOdzzhzfikkk533第20页/共81页第二十页，共82页。21 由此可以证明：当 ， 的右边趋于零。于是(ysh)（3-3-3）当 时成立。证毕。0h5331 kn由与证得定理 第21页/共81页第二十一页，共82页。22定理定理2 2 对于由对于由 条围线所围成的复连通区条围线所围成的复连通区域仍然有效域仍然有效 （如教材（如教材(ji

13、oci)68(jioci)68页定理页定理2 2那样构成）那样构成）定理定理2 2从揭示解析函数的性质、解析函数的导函数从揭示解析函数的性质、解析函数的导函数及提供计算积分的方法等三方面给我们以启示及提供计算积分的方法等三方面给我们以启示定理定理2 2为我们提供了计算如（为我们提供了计算如（* *）式左端的积分的方法）式左端的积分的方法（*）这类积分的特征是：积分路径是围线，被积函数为一分式，它在积分路径内部只含一个奇点，且该奇点是使分母 为零的点，而在积分路径上无被积函数的奇点 第22页/共81页第二十二页，共82页。23 推论(tuln)： 若函数 在点 解析，则存在点 的一个邻域 ，使得

14、在该邻域内 有任意阶导数，其各阶导数也解析；并且在该邻域内函数 和 的各阶偏导数不仅存在而且都连续。 证明： 由函数在点 解析知：可作一圆盘使得 在该闭圆盘上解析。于是对该圆盘应用定理2。iyxvyxuzf),(),()()(zf0z0z|0zz),(yxuu ),(yxvv 0z|0zz)(zf第23页/共81页第二十三页，共82页。24例计算例计算(j sun)(j sun)积分积分解：由高阶导数(do sh)公式1134d) 1(zzzz141134)(! 2i2d) 1( zzzzzzi12第24页/共81页第二十四页，共82页。25解 首先，识别(shbi)积分的类型它是具有（*）式

15、左端积分的特征的那类积分 其次，将所求积分与（*）式左端的积分比较后，知道所求积分在形式上与（*）式左端的积分相同由此想到用（*）式计算积分 最后，经验证，所求积分满足定理2的条件，由（*）式得例计算例计算(j sun)(j sun)积分积分第25页/共81页第二十五页，共82页。26例2 （1） （2）1| 1|23) 1(zzdz1| 1|31coszzzdz1z1| 1|z0)Re(z221) 1()(zzzf1| 1|z94) 1 (2) 1()() 1(11| 1|211| 1|23iifzdzzfzdzzz解 （1） 函数 的奇点 在圆 的内部，而其它的两个奇点在左半平面 ，从而在

16、该圆的外部。于是函数 在闭圆盘 上解析，由定理2 可得：231) 1(1)(zz1)(1cos)(232zzfzzz1cos)(22zzzzf1| 1|z31cos2) 1 (21)(1cos21| 1|21| 1|3iifzdzzfzzdzzz（2）同理 其中在闭圆盘 上解析，因此第26页/共81页第二十六页，共82页。27例例 3 3.dcos)2(;d)1(1(1) 12243 zzzzzzezzz求积分求积分解解 , 1 )1(3在复平面内解析在复平面内解析函数函数 z , 2 10内内在在 zz, 3 n 243d)1(1zzzz131! 32 zzi;2 i Cnnzzzzfinz

17、fd)()(2!)( 100)(根据公式根据公式第27页/共81页第二十七页，共82页。28 12dcos)2(zzzzze , cos 在复平面内解析在复平面内解析函数函数zez , 1 00内内在在 zz, 1 n 12dcoszzzzze0)cos(! 12 zzzei0sincos2 zzzzezei.2 i 第28页/共81页第二十八页，共82页。294.4.典型(dinxng)(dinxng)例题例例 4 4.d)1(1 212 izzzz计算积分计算积分解解 )1(12zz)(1izizz izizz )(1)(zf , 21 )( 内解析内解析在在因为因为 izzf,0iz 由

18、Cauchy积分(jfn)公式 212d)1(1izzzz 21d)(1izzizizzizizzi )(122212ii . i 第29页/共81页第二十九页，共82页。30例例 5 5解解).1( ,d173)( , 3 222ifzzfyxCC 求求表示正向圆周表示正向圆周设设 根据Cauchy积分(jfn)公式知, , 内时内时在在当当Czzizf )173(2)(2),173(22 zzi),76(2)( zizf故故 , 1 内内在在而而Ci ).136(2)1( iif 所以所以第30页/共81页第三十页，共82页。31例例 6 6;211 (1): ,d14sin 2 zCzz

19、zC其中其中计算积分计算积分解解 2112d14sin)1(zzzz 211d114sinzzzzz114sin2 zzzi;22i 第31页/共81页第三十一页，共82页。32例例 6 6;211 (2): ,d14sin 2 zCzzzC其中其中计算积分计算积分 2112d14sin)2(zzzz 211d114sinzzzzz114sin2 zzzi;22i 解解第32页/共81页第三十二页，共82页。33 22d14sin)3(zzzz由复合(fh)闭路定理, 得例例 6 6. 2 (3): ,d14sin 2 zCzzzC其中其中计算积分计算积分解解 22d14sinzzzz 211

20、2d14sinzzzz 2112d14sinzzzzii 2222.2 i 第33页/共81页第三十三页，共82页。34例例 7 7解解 CzCzzezzzrzC.d)1()2(;d)1(cos)1( . 1 : ,225为正向圆周为正向圆周其中其中计算下列积分计算下列积分 , 1 )1(cos )1(5处不解析处不解析内内在在函数函数 zCzz , cos 内处处解析内处处解析在在但但Cz Cnnzzzzfinzfd)()(2!)( 100)(根据公式根据公式 Czzzd) 1(cos51)4()(cos)!15(2 zzi;125i 第34页/共81页第三十四页，共82页。35 , )1(

21、 )2(22处不解析处不解析内的内的在在函数函数izCzez 1C2Cxyo iCi , 1CiC为中心作一个正向圆周为中心作一个正向圆周内以内以在在 , 2Ci为中心作一个正向圆周为中心作一个正向圆周以以 , , )1( 2122围成的区域内解析围成的区域内解析在由在由则函数则函数CCCzez 根据复合(fh)闭路原理 Czzzed)1(22 21d)1(d)1(2222CzCzzzezze第35页/共81页第三十五页，共82页。36 1d)1(22Czzze 1d)()(22Czzizizeizzizei 2)()!12(2,2)1( iei1C2Cxyo iCi 2d)1( 22Czzz

22、e同理可得同理可得,2)1( iei Czzzed)1( 22 2)1(iei 2)1(iei于是(ysh)(1(2iiieei )1sin1(cos)1(22 i).1cos1(sin i第36页/共81页第三十六页，共82页。37例例 8 8解解) (.d 1为整数为整数求积分求积分nzzeznz , 0)1( n , 1 上解析上解析在在 zzenz由Cauchy 积分(jfn)定理得 1; 0dznzzze, 1)2( n由Cauchy积分(jfn)公式得 1dznzzze0)(2 zzei;2 i 第37页/共81页第三十七页，共82页。38, 1)3( n Cnnzzzzfinzf

23、d)()(2!)( 100)(根据公式根据公式 1dznzzze0)1()()!1(2 znzeni.)!1(2 ni第38页/共81页第三十八页，共82页。39例例4 4解解. 31)2(; 23)1(:.d)2(1 32 zzCzzzC其中其中求积分求积分 , 0 2 )2(1 32 zzzz和和有两个奇点有两个奇点函数函数, 23)1( z 2, z仅包含奇点仅包含奇点,1)( 3zzf 取取 Czzzd)2(1 32 Czzzd)2(1 23231! 12 zzi;83 i 第39页/共81页第三十九页，共82页。4031)2( z , 0 2 内内都含在都含在和和两个奇点两个奇点Cz

24、z 2, 0 21和和分别包含分别包含和和作简单闭曲线作简单闭曲线CC , 21互不包含且互不相交互不包含且互不相交和和CC根据复合闭路(b l)原理和高阶导数公式, Czzzd)2(1 32 21d)2(1d)2(1 3232CCzzzzzz第40页/共81页第四十页，共82页。41 21d)2(1d)2(1 2332CCzzzzzz23021! 12)2(1 ! 22 zzzizi8383ii . 0 第41页/共81页第四十一页，共82页。421. 调和函数的概念调和函数的概念(ginin)2. 解析解析(ji x)函数与调和函数的函数与调和函数的关系关系3. 计算计算(j sun)实例

25、实例 由定理2，在区域D内解析函数的实部函数和虚部函数在D内必有各阶连续偏导数。下面研究其实部函数和虚部函数的二阶偏导数之间的关系。三、三、解析解析函数的实部和虚部与调和函数函数的实部和虚部与调和函数第42页/共81页第四十二页，共82页。43调和函数的概念(ginin)定义定义(dngy). ),( 0 ),( 2222内的调和函数内的调和函数为区域为区域则称则称方程方程且满足且满足有二阶连续偏导数，并有二阶连续偏导数，并内具内具在区域在区域如果二元实变函数如果二元实变函数DyxyxLaplaceDyx 工程中的许多问题，如平面上的稳定温度场、静电场和稳定流场等都满足(mnz)Laplace

26、方程. 2222yx也可用Laplace算子简记为0第43页/共81页第四十三页，共82页。44 下面简单推导平面稳定温度(wnd)(wnd)场中温度(wnd)(wnd)函数是一个调和函数. .DDD 设所考虑物质的导热性能在某一区域 内是均匀且各向同性的，导热系数是常数，且 内没有热源，这样，在 内就形成一个稳定的温度场. 设 表示其温度分布函数，在 内任取一条其内部属于 的简单闭曲线 C C，以表示其内部. . D),(yxTD Y C D ds n O X 第44页/共81页第四十四页，共82页。45其中 n 表示外法线方向(fngxing). 因此，通过整个曲线 C 流出的热量应是dx

27、dyyTxTkdsynyTxnxTkdsnTkCC )( ),cos(),cos(2222dsnTk 根据物理学中的FourierFourier定律，在单位时间内, , 通过C C上一个小弧段 自C C的内部流出的热量是ds第45页/共81页第四十五页，共82页。46即温度分布(fnb)(fnb)函数是一个调和函数. . 因为内各点的温度不随时间改变，并且没有热源存在，所以(suy)应有0)(2222 dxdyyTxT 由于(yuy)C的任意性，有02222 yTxT第46页/共81页第四十六页，共82页。472. 解析(ji x)函数与调和函数的关系. )()( )1(上的解析函数上的解析函

28、数区域区域仍是仍是上的解析函数，则上的解析函数，则是区域是区域设设DzfDzf 在不影响整体结构的前提下，本小节先引入解析函数区别(qbi)于一般实函数的两个重要结论：。上上，则在区域，则在区域上，上，内的一条线段内的一条线段且在且在上的解析函数，上的解析函数，是区域是区域设设)()( )()( )(),( )2(zgzfDzgzfDDzgzf 第47页/共81页第四十七页，共82页。48定理定理(dngl) 任何(rnh)在区域 D 内解析的函数,它的实部和虚部都是 D 内的调和函数.证明证明(zhngmng)内的一个解析函数，则内的一个解析函数，则区域区域为为设设Dyxivyxuzfw),

29、(),()( . , xvyuyvxu 根据解析函数的导数仍是解析函数, 因此 , ),( ),(数数具有任意阶的连续偏导具有任意阶的连续偏导与与yxvyxu第48页/共81页第四十八页，共82页。49yxvxyv 22 , 0 2222 yuxu得得, 0 2222 yvxv同理同理 . ),( 是调和函数是调和函数因此因此yxu. , 222222yxvyuxyvxu 求导求导分别关于分别关于yxxvyuyvxu, , 再由二阶导函数(hnsh)的连续性 .),(是调和函数是调和函数因此因此yxv第49页/共81页第四十九页，共82页。50内是否为解析函数？内是否为解析函数？在在、内的两个

30、调和函数内的两个调和函数任给区域任给区域 ),(),( ),(),( DyxivyxuyxvyxuD 即：区域(qy) D (qy) D 内解析函数的虚部为实部的共轭调和函数. .人们(rn men)常常要问：xyiyxzf2)(22 例如：例如：的的称为称为函数函数内构成解析函数的调和内构成解析函数的调和在在们把使们把使我我内给定的调和函数内给定的调和函数为区域为区域设设 ),( ),( , ),( yxuyxvDivuDyxu 共轭调和函数. .第50页/共81页第五十页，共82页。51现在(xinzi)会提出如下问题： 或者已知调和函数 v(x,y) 时，是否存在调和函数 u(x,y)

31、，使得(sh de) f (z)=uiv 是D上的解析函数? 已知 u(x,y)是区域D上的调和函数，是否存在u(x,y)的共轭调和函数 v(x,y)，使得(sh de)函数 f (z)=uiv是D上的解析函数?回答是肯定的，以下用举例的方法加以说明.第51页/共81页第五十一页，共82页。523. 3. 计算(j sun)(j sun)实例解解例例 1 . 3),( 23解析函数解析函数函数，并求以其实部的函数，并求以其实部的为全平面上的调和为全平面上的调和证明证明yxyyxu ,6 xyxu 因为因为,6 22yxu ,33 22xyyu ,6 22yyu , 0 2222 yuxu于是于

32、是 . ),( 为调和函数为调和函数故故yxu第52页/共81页第五十二页，共82页。53,6 xyxuyv 因为因为 yxyvd6),(32xgxy ),(32xgyxv yuxv 又又,3322xy )(32xgy ,3322xy xxxgd3)(2,3cx ) ( 为任意常数为任意常数c,3),(23cxyxyxv 得解析(ji x)函数).3( 32323cxyxiyxyw 这个函数(hnsh)可以化为).()(3czizfw 第53页/共81页第五十三页，共82页。54,6 xyxu 因为因为,33 22xyyu yuixuzf )(ixyxy)(3622 0 y上式中，令上式中，令

33、23 )(ixxf ，则，则换为换为将上式中将上式中zx).()(3czizfw )( )(3cxixf 注：此处用到解析(ji x)函数的唯一性定理。另一方法(fngf)第54页/共81页第五十四页，共82页。55例例 2 . 1)0( ,)( , )sincos(),( fivuzfyxyxyyeyxvx使使求一解析函数求一解析函数和函数和函数为调为调已知已知解解, 1)sinsincos( yyxyyexvx, 1)cossin(cos yxyyyeyvxyvxu 由由, 1)cossin(cos yxyyyex xyxyyyeuxd 1)cossin(cos 得得第55页/共81页第五

34、十五页，共82页。56),()sincos(ygxyyyxeux , 得得由由yuxv 1)sinsincos( yyxyyex),()sincossin(ygyyyyxex ,)( cyyg 故故,)sincos( cyxyyyxeux 于是于是, 1)( yg第56页/共81页第五十六页，共82页。57,)1(czizez , 1)0( f由由, 1 c得得所求解析(ji x)函数为. 1)1()( zizezfzivuzf )(ciiyixeiyeexeiyxiyx )1()1(第57页/共81页第五十七页，共82页。58解解xyivvzf )(1)sinsincos( yyxyyeix

35、1)cossin(cos yxyyyex, 1)sinsincos( yyxyyexvx, 1)cossin(cos yxyyyeyvx0 y上式中，令上式中，令 )(xfixex 1)1( )(xf.)1(cxixex )(zf.)1(czizez , 1)0( f由由, 1 c得得所求解析(ji x)函数为. 1)1()( zizezfz另一方法(fngf)第58页/共81页第五十八页，共82页。59例例 3 3. )()0(arctan ivuzfxxyv 部的解析函数部的解析函数为虚为虚以调和函数以调和函数求求解解xviyvzf )( 因为因为2222yxyiyxx 0 y上式中，令上

36、式中，令xxf1)( cxxf ln)(czzf ln)(第59页/共81页第五十九页，共82页。60解解例例 4 .)( ),(2)4)( 22ivuzfyxyxyxyxvu 试确定解析函数试确定解析函数已知已知, 2)42)()4(22 yxyxyxyxvuxx两边同时(tngsh)求导数, 2)24)()4(22 yxyxyxyxvuyy , , xvyuyvxu 且且上两式分别(fnbi)相加减可得, 23322 yxvy,6xyvx xyivvzf )(xyiyx623322 23)(2 xxf )(xfcxx 23 )(zf.23czz 第60页/共81页第六十页，共82页。61例

37、1 已知 在右半平面(pngmin) 是调和函数，求在该半平面(pngmin) 解析的函数 使得 且)(22yxxu0Rezviuzf)()(22yxxu21)1 (iif22222)(xyxyux222)(2xyxyuy222)(2xyxyvx22222)(xyxyvy)()(222222ygyxydxyxxyv由 积分得xv解：求偏导数(do sh)得解法(ji f)1 由CR条件得：第61页/共81页第六十一页，共82页。62两边对 求导，并且(bngqi)与上面所得的 比较有yyv2222222222)()( )(xyxyygxyxyvy于是得 即 , 0)( yg,)(cyg cyx

38、yv22从而)(zfcizciyxyix122于是21)1 (iif. 0c进一步由条件 可得 )(zfz1最后结果有第62页/共81页第六十二页，共82页。63解法(ji f)2 在该右半平面 内取点 ，由式（3.1）得 )0 , 1 (),(00yxcdyyxudxxuyxvyxxy),() 0 ,(),(01cyxy22第63页/共81页第六十三页，共82页。64 某区域内的调和函数是否必是该区域某个(mu )解析函数的实部或虚部？当区域是连通(lintng)时，回答是肯定的。注意：当 在 D内是 的共轭调和函数时，在D内 不一定是 的共轭调和函数。),(yxv),(yxu),(yxu)

39、,(yxv第64页/共81页第六十四页，共82页。65 讨论下面定理4的反问题，即已知 是区域内的调和函数，利用函数在 内解析的充分必要条件，求出解析函数 ，使得其实部或者虚部在 内为 。 由于多连通区域用割线可以分成一个或者几个单连通区域，因此(ync)我们只讨论 为单连通区域情形。 讨论在单连通区域 内已知解析函数的实部 ，求其虚部调和函数 。由由于 在单连通区域 内调和，可得),(yxDDDiyxvyxuzf),(),()(),(yxDD),(yxu),(yxvv dydxdyvdxvdvxyyx),(yxuDyxyx 第65页/共81页第六十五页，共82页。66因此由本章(bn zhn

40、)命题2 可以直接求出 为其中 为任意实常数，该积分在 内与积分路径无关。可在 内取定点 和平行于坐标轴的路径来计算。如取从点 到点 再到点 的折线段可得 同理在单连通区域 内已知解析函数的虚部 ，可求其实部调和函数),(yxv),(),(00),(yxyxyxvcdydxxycDD),(yxv),(),(00),(yxyxyxucdydxxy ) 1 . 3()2 . 3(cdyyxdxyxyxvyyxxxy),(),(),(000D),(00yx),(00yx),(0yx),( yx)1 . 3(第66页/共81页第六十六页，共82页。67 本章主要(zhyo)内容有向曲线有向曲线(qxi

41、n)(qxin)复积分复积分(jfn)(jfn)积分存在的积分存在的条件及计算条件及计算积分的性质积分的性质Cauchy积分定理积分定理原函数原函数的概念的概念复合复合闭路闭路定理定理Cauchy积分公式积分公式高阶导数高阶导数公式公式积分公式积分公式及计算及计算第67页/共81页第六十七页，共82页。68注意(zh y)1. 复积分(jfn)的基本定理；2. 柯西积分(jfn)公式与高阶导数公式; 3. 复合闭路定理与复积分的计算.第68页/共81页第六十八页，共82页。69第三章第三章 完完第69页/共81页第六十九页，共82页。701642.12.25生于伍尔索普，I. Newton 简

42、介(jin ji) 1661年进入剑桥大学(jin qio d xu)三一学院，自己研究Descartes, Copernicus, Kepler, Galileo, Barrow 等的著作。1665年剑桥闹鼠疫回乡两年，微积分、万有引力、光谱分析等发明(fmng)都萌芽于此。1667年获硕士学位，1669年接替Barrow担任教授。1671年发布“流数术”小册子，1687年出版自然哲学的数学原理等著作，1703年皇家学会会长，17 05 年授予爵士称号；晚年研究神学，1727.3.20去世。第70页/共81页第七十页，共82页。711646.7.1生于莱比锡；G. W. Leibniz 简介

43、(jin ji) 1661年入莱比锡大学学法律；1663年论个体原则方面的形而上学争论获学士学位；1664年论法学(fxu)之艰难获哲学硕士；1665年提交博士论文论身份，1667年获阿尔特多夫大学博士学位。1671年开始外交官生涯；1672年出使法国、英国等。结识了惠更斯、巴罗等，对数学、力学(l xu)等产生兴趣；1684年发表了第一篇“微积分”方面的论文；在1714年微分学的历史与起源中给出了关于他自己思想的记载； 1716.11.14去世。第71页/共81页第七十一页，共82页。72P. S. Laplace (拉普拉斯)简介(jin ji)1749.3.23生于法国(f u)、诺曼底

44、1827. 3. 5卒于法国(f u)、巴黎在球状物体的引力理论与行星形状中得到位势(wi sh)方程。与Lagrange、Legendre并称为巴黎 “3L”。我们知道的，是很微小的；我们不知道的，是无限的。我们知道的，是很微小的；我们不知道的，是无限的。第72页/共81页第七十二页，共82页。731789.8.21生于法国(f u)、巴黎1857.5.23卒于法国(f u)、斯科A. L. Cauchy(柯西)简介(jin ji)数学分析(sh xu fn x)严格化的开拓者复变函数论的奠基人弹性力学理论的建立者在方程、群论、数论、几何、光学、天体力学等也有出色贡献。多产的科学家(800多

45、篇论文)，分析大师。第73页/共81页第七十三页，共82页。74Riemann(黎曼)简介(jin ji)1826.9.17生于德国、汉诺威1866.7.20卒于意大利除博士论文外，生前发表(fbio)10篇论文，遗作10多篇，对现代数学影响最大的数学家之一。开创了复变函数论、代数函数论、常微分方程(wi fn fn chn)解析理论、解析数论。实分析、级数理论、几何学、数学物理等重大突破。第74页/共81页第七十四页，共82页。751793.7.14生于诺丁汉，1841.5.31卒于剑 桥G. Green (格林) 简介(jin ji) 童年在父亲的磨坊干活；同时自修数学、物理(wl)；32

46、岁，出版了小册子数学分析在电磁学中的应用，其中有著名的Green公式。父亲(f qn)去世后，1833年以自费生的身份进入剑桥大学科尼斯学院学习，1837年获学士学位，1839年聘为剑桥大学教授。在数学物理方面有出色成就。他是第一个沿欧洲大陆的研究方法前进英国数学家，其工作开创了庞大的剑桥物理学派。Stokes, Thomson, Maxwell等第75页/共81页第七十五页，共82页。76.d42)1cos(21001zzzzzz 练习(linx)：计算以下积分计算以下积分沿指定路径沿指定路径23: izC CCzzzzezzz.d)1()2(;d)1(1)1(22.10,d)1(3光滑曲线

47、光滑曲线的闭的闭与与是不经过是不经过其中其中计算计算CzzzeCz 第76页/共81页第七十六页，共82页。77解解222442zzzz , 1124 1 z当 时,. 0d42)1cos(21001 zzzzzz解答(jid)第77页/共81页第七十七页，共82页。78 利用柯西积分利用柯西积分(jfn)公式公式,11)(121内解析内解析在在Czzf ,)(1)(22内解析内解析在在Cizzzf CCCzzzzzzzzz12d)1(1d)1(1d)1(1222 21d)(1d)1(12CCzizizzzzz)(2)0(221iiffi 2122ii. i 第78页/共81页第七十八页，共8

48、2页。79由复合闭路定理有由复合闭路定理有则则及及为半径作圆为半径作圆以以为圆心为圆心及及以以分别分别及及内有两个奇点内有两个奇点在在,41,00)1()2(212CCizzizzCzzez CCCzzzzzzezzzezzze12d)1(d)1(d)1(222,1)(121内解析内解析在在Czezfz ,)()(22内解析内解析在在Cizzezfz 因此(ync)由柯西积分公式得第79页/共81页第七十九页，共82页。80 CCCzzzzzzezzzezzze12d)1(d)1(d)1(222 21d)(d)1(2CzCzzizizzezzze)(2)0(221iiffi 222ieii).

49、1cos2(1sin i)2(iei 第80页/共81页第八十页，共82页。81感谢您的观赏(gunshng)！第81页/共81页第八十一页，共82页。NoImage内容(nirng)总结1。任意阶导数(do sh)，其各阶导数(do sh)也解析。工程中的许多问题，如平面上的稳定温度场、静电场和稳定流场等都满足Laplace方程.。因为内各点的温度不随时间改变，并且没有热源存在，所以应有。当区域是连通时，回答是肯定的。2. 柯西积分公式与高阶导数(do sh)公式。3. 复合闭路定理与复积分的计算.。1667年获硕士学位，1669年接替Barrow担任教授。1665年提交博士论文论身份，1667年获阿尔特多夫大学博士学位第八十二页，共82页。