辅导讲义：弧长和扇形地面积、圆锥地侧面积和全面积

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1、比拟扇形面积计算公式与弧长计算公式，可以发现：可以将扇形面积的计算公式：S=n二、圆锥的侧面积和全面积:辅导：弧长和扇形的面积、圆锥的侧面积和全面积一、弧长和扇形的面积:活动一因为 360。的圆心角所对弧长就是圆周长C=2nR,所以1 的圆心角所对的弧长是这样，在半径为 R的圆中，n的圆心角所对的弧长I =.活动二类比弧长的计算公式可知：在半径为R的圆中，圆心角为 n的扇形面积的计算公式为：S=.活动三扇形面积的另一个计算公式n R 1氏化为S=R,从面可得扇形面积的另一计算公式：S=.180 21 圆锥的根本概念：的线段 SA SA叫做圆锥的母线,的线段叫做圆锥的高.扇形的各元素之间的关系:

2、 将圆锥的侧面沿母线I剪开，展开成平面图形，可以得到一个扇形，设 圆锥的底面半径为r，这个扇形的半径等于，扇形弧长等于.3 圆锥侧面积计算公式 圆锥的母线即为扇形的半径，而圆锥底面的周长是扇形的弧长,1这样，S 圆锥侧 =S 扇形= 2 n r I = n rl24 圆锥全面积计算公式2S圆锥全=s圆锥侧 + S 圆锥底面=n r I + n r = n r I + r三、例题讲解:例1、 2011?某某，11 , 4分母线长为2,底面圆的半径为1的圆锥的侧面积为.例2、 2011年某某省东营市，21 , 9分如图，点 A B、C、D均在圆上，AD/ BC, BD平 分/ ABC / BAD1

3、20，四边形 ABC啲周长为15. 1求此圆的半径；2求图中阴影 局部的面积.P的坐标为一4, 0，例3、 2010某某，14, 6分如图，在平面直角坐标系中，点OP的半径为2,将O P沿x轴向右平移4个单位长度得O Pi.1画出O Pi，并直接判断O P与OP的位置关系；2设O P与x轴正半轴，y轴正半轴的交点分别为 A, B,求劣弧AB与弦AB围成的图 形的面积结果保存 n四、同步练习:1、2012某某,11 , 3分如图，在边长为1的正方形组成的网格中， ABC的顶点都在格点上，将 ABC绕点C顺时针旋转60,如此顶点 A所经过的路径长为:A. 10 n B.C.n D. n33ABkz

4、-C第1题图第3题2、 2012某某,12 , 3分如图，等边 ABC的周长为6 n，半径是1的O O从与AB相切于点D的位置出发，在 ABC外部按顺时针方向沿三角形滚动，又回到与AB相切于点D的位置，如此O O自转了：A. 2周B. 3周C. 4周D 5周 3、 2012某某某某，7, 3分如图，O O的外切正六边形 ABCDE的边长为2，如此图中阴影局部的面积为.A 3 nnB.3 C 2.3fD. 234、 2012某某内江,8, 3分如图2,AB是OO的直径，弦 CDL AB / CDB= 30 , CD=2 3，如此阴影局部图形的面积为A. 4 n B . 2 n C.图2D5、 2

5、012 某某省某某市14题3分圆锥的底面直径和母线长都是10 cm，如此圆 锥的侧面积为.6、 2012 某某，题号16分值3一个圆锥的母线长为 4，侧面积为8 ，如此这个圆锥 的底面圆的半径是.7、 2012某某省某某市，17, 3分假如圆锥的底面半径为 2cm,母线长为5cm,如此此圆锥的侧面积为cn.8、 2012某某达州，11, 3分圆锥的底面半径为 4,母线长为6，如此它的侧面积是不取近似值9、 2012年某某某某市，16，3如图，矩形 OAB（内接于扇形 MON当=CO寸，/ NM啲 度数是10、 （2012某某中考试题第 15题，3分）如图6，RtAABC的边BC位于直线I上，A

6、O , 3， / AC号90，/ A=30o，假如 RtABC由现在的位置向右无滑动地翻转，当点A第3次落在直线上I时，点A所经过的路线的长为 结果用含ji的式子表示.11、 2011?某某，14，3分如图，将半径为成一个圆锥的侧面，如此这个圆锥的高是.12、2012某某某某，23，10分如图，在O 于D,假如/ C=45，如此1BD的长是；5分2求阴影局部的面积 5分3cm的圆形纸片剪掉三分之一，余下局部围O 中，直径 AB=2，CA切O O于 A，BC交O O第12题图13、 2012某某省义乌市，20，8分如图，AB是O O的直径，点C D在O O上 ,D点 E 在OO外，/ EA(=Z

7、 D=60 .1求/ ABO的度数；2求证：AE是OO的切线；3当BO=4时，求劣弧AC的长14、 2012年某某省，第23题、7分.如图，在扇形OAB中 / AOB90,半径OA6 将扇形OA册过点B的直线折叠点 O恰好落在弧AB上点D处，折痕交OA于点C,求整个阴 影局部的周长和面积.15、2011某某某某，25, 9分如图，在单位长度为 1的正方形网格中，一段圆弧经过网格的交点A B、C1请完成如下操作: 以点O为原点、竖直和水平方向所在的直线为坐标轴、网格边长为单位长，建立平面直角坐标系；用直尺和圆规画出该圆弧所在圆的圆心D的位置不用写作法，保存作图痕迹，并连结AD CD2请在1的根底

8、上，完成如下问题： 写出点的坐标：C D; O D的半径=结果保存根号； 假如扇形 ADO一个圆锥的侧面展开图，如此该圆锥的底面面积为结果保存n丨； 假如E7, 0，试判断直线 EC与O D的位置关系并说明你的理由.AtTOLbhC w参考答案例1、考点：圆锥的计算。专题：计算题。分析：先计算出底面圆的周长，它等于圆锥侧面展开图扇形的弧长，而母线长为扇形的半径,然后根据扇形的面积公式计算即可.解答：解：圆锥的底面圆的半径为I,：圆锥的底面圆的周长 =2nX仁2n ,1圆锥的侧面积=X 2 n X 2=2 n .故答案为：2n.21点评：此题考查了圆锥的侧面积公式：S= lr 圆锥侧面展开图为扇

9、形，底面圆的周长等2于扇形的弧长，母线长为扇形的半径.例2、考点：扇形面积的计算；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理.专题：几何图形问题.分析：1根据条件可以证得四边形 ABCD是等腰梯形，且 ABAODC / DBC90,在直 角厶BDC中, BC是圆的直径，BG2DC根据四边形 ABCD勺周长为15,即可求得BC即可得 到圆的半径；2根据S阴影=S扇形AOB- Sa AOD即可求解.解答：解：1： AD/ BC / BAD120 . / AB(=60。.又t BD平分/ ABC / ABD/DBC/ ADB30. SS =i=fi? , / BCD60 AB=AD=DC / DBC90 又在

10、直角厶 BD3中，BC是圆的直径，BO2DC BC+-BO15： BO6此圆的半径为 3. 2设BC的中点2为O由1可知O即为圆心.连接OA OD过O作OEL AD于E.在直角 AOE中 , / AOE30 OE=OA? cos303瓦Sa ao=S扇形 AOD -SAOD603236039 jE=6 -9巧244点评：此题主要考查了扇形的面积的计算，正确证得四边形ABCD1等腰梯形，是解题的关键.例3、考点：圆与圆的位置关系；坐标与图形性质；扇形面积的计算分析：1根据题意作图即可求得答案，注意圆的半径为2首先根据题意求得扇形 BRA与厶BRA的面积，再作差即可求得劣弧 错误！未找到引用 源。

11、与弦AB围成的图形的面积.解答：解：1如图： O P与O Pi的位置关系是外切;2如图:S 扇形 BPIA=9022 = S =n , sapib=360X 2X 2=2,劣弧与弦AB围成的图形的面积为：n - 2.题目难度不大，解题的关键点评：此题考查了圆与圆的位置关系以与扇形面积的求解方法.是注意数形结合思想的应用.四、C为圆心AC为半径，圆1、【解析】 ABC绕点C顺时针旋转60,顶点A经过的路径是以心角为60的弧，根据弧长公式|n r180可求路径长为.103【答案】C【点评】考查的知识点有网格中的勾股定理求 中等难度的题型。AC，图形的旋转， 弧长公式|n r1802、【解析】三角形

12、的周长恰好是圆周长的三倍，但是圆在点A B C处分别旋转了一个角度，没有滚动，在三个顶点处旋转的角度之和是三角形的外角和360。所以O O自转了 4圈。【答案】C【点评】此题最容易出错的地方就是在顶点处的旋转，难度较大。如果学生能动手操作一下，正确答案就出来了。3、【解析】 图中阴影局部的面积等于：三角形AOB面积一扇形 AOB面积，不难知道，？ AOB=2 / CDB= 60，所以 0C= si n60S阴影=S扇形co= 1 n 6 BED所以B为等边三角形，可求出？ AOBi AB上的高是,3，扇形AOB圆心角/ 0= 60 ，半径OA=、3 , 从而阴影局部的面积是 1 x 2x x

13、3 - 60一（ 初 =.3 ，应当选A.23602【答案】A【点评】此题着重考查了扇形面积的计算与解直角三角形的知识，以与转化、数形结合思想,有一定综合性，难度中等.4、【解析】如如下图所示，取 AB与CD的交点为E,由垂径定理知 CE=3，而/ COB互 =2, 0E= !0C= 1接下来发现 0E= BE可证 0C阵 2【答案】【点评】圆的有关性质是中考高频考点，而图形面积也是多数地方必考之处，将它们结合可谓珠联璧合.解答此题需在多处转化： 一是将阴影面积转化为扇形面积问题解决；二是 由圆周角度数求出圆心角度数；三是发现图中存在的全等三角形，这一点是解题关键.105、【分析】S侧=n r

14、l =n x 10=50 n .【解答】50 n21【点评】圆锥的侧面积S侧=-2n r -l = n rl其中r是圆锥底面圆的半径，I是母线的长.26、【解析】此题考查圆锥展开图与侧面积计算公式.设半径为r,圆锥侧面积即展开图扇形11的面积，根据S扇二丄IR,即8n=丄x 2 n x 4，得r=2.【答案】222【点评】在解决圆锥的计算问题时，要把握好两个相等关系：圆锥侧面展开图扇形的半 径R等于圆锥的母线长，扇形的弧长I等于圆锥的底面周长 2 r几乎所有圆锥计算问题都是从这两个对应关系入手解决的.7、【解析】根据圆锥的侧面积公式=n rl计算，此圆锥的侧面积 =nx 2 x 5=10 n

15、答案】10n【点评】此题综合考查有关扇形和圆锥的相关计算.解题思路：解决此类问题时要紧紧抓住两者之间的两个对应关系：圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径；圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长正确对这两个关系的记忆是解题的关键.8、 解析：圆锥的侧面积可由公式来求，这里R=6, l=8 n,因此S=24n。答案：24 n点评：此题考查了圆锥的侧面展开与其侧面积的求法，初步考查学生的空间观点，注意此题不要与全面积相混淆。9、 分析：首先连接 0B由矩形的性质可得 BO（是直角三角形，又由 OE=ON2OC / BOC 的度数，又由圆周角定理求得/NMB勺度数.解答：解：连接 OB =CQ O咅O

16、N=2OC T四边形 OAB（是矩形，二/ BCO90,. cosOC 11/ BOC一，/ BOC6O。，./ NMB / BOC3O。.故答案为：30.OB 22点评：此题考查了圆周角定理、矩形的性质以与特殊角的三角函数值.此题难度适中，注意辅助线的作法，注意数形结合思想的应用.10、思路导引：确定路线长度，由于路线是圆弧，因此确定旋转角，与旋转半径是解决问题的关键，.3 + 3解析：计算斜边长度是2,第一次经过路线长度是120 2180第二次经过路线长度是90.31202180 180第三次经过路线长度与第二次经过路线长度一样，也是903 1202180 180所以当点A三次落在直线l上

17、时，经过的路线长度是120 218090、3180120 2180 + 2X -3+ 33点评：解答旋转问题，确定旋转中心、旋转半径以与旋转角度是前提，另外计算连续的弧长问题，注意旋转规律，进展屡次循环旋转的有关弧长之和的计算11、考点：圆锥的计算。专题：计算题。分析：算出围成圆锥的扇形的弧长，除以2n即为圆锥的底面半径，禾U用勾股定理即可求得圆锥的高.1360(1 -)3解答：解：围成圆锥的弧长为3=4n cm二圆锥的底面半径为 4 n180十2 n =2cm二圆锥的高为 寸32 22 =icm 故答案为1cm点评：考查圆锥的计算；得到圆锥的底面半径是解决此题的突破点；用到的知识点为：圆锥的

18、底面周长等于侧面展开图的弧长.12、 解析： 1由 CA切O O于 A,得/ A=90，再结合/ C=45，得/ B=45 .连接 AD 如此由直径 AB=2，得/ ADB90 .故 BDABx cos45 =2X cos45 =J2 ; 2运用代换得到 阴影局部的面积等于 ACD勺面积解：1填 2 ;2由1得，AD=BD弓形BD的面积=弓形AD的面积，故阴影局部的面积 = ACD勺面积AA CDAD=BD= 2CDK A=- x 2 x V2 =1，即阴影局部的面积是 1.22点评：此题主要考查了圆的性质，切线的性质，等腰直角三角形的性质以与割补法，解法较多，有利于考生从自己的角度获取解题方

19、法，中等偏下难度13、 【解析】1根据相等的弧长对应的圆周角相等，得/ABC/ D =60 。2直径对应的圆周角为直角，如此由三角形内角和为 180，得出/ BAC的大小，继而得出/BAE的大小为90,即AE是OO的切线。3由题意易知， OBC是等边三角形，如此由劣弧 AC对应的圆心角可求出劣弧 AC的长。20.解：1/ ABC与/ D都是弧AC所对的圆周角/ ABC/D =60 2 分2T AB是OO的直径/ AC号90 3分 / BA(=30 / BAE=/ BAGF/ EAC30 + 60 =90 4分即BAL AE. AE是OO的切线 5分3 如图，连结 OUOB=OC/ ABC60.

20、A OB（是等边三角形OB=BC=4 , Z BOC60./ AOC120 7分劣弧AC的长为12048 8分1803【点评】此题考查圆弧的长与其对应的圆心角、圆周角的关系，与三角形的内角和为 180相等的弧长对应的圆周角、圆心角相等.14、【解析】阴影局部的周长包括线段 AGCBDB的长和弧AB的长由折叠的性质可知，AGCD=O/=6; DB=OB=6.故周长可求求面积需要连接OD证明 ODB是正三角形，得到ZCBO30。，求出OC的长，阴影局部的面积 =S扇形aob 2Sobc.【答案】 解：连接ODOB=ODOB=BD.A ODB是等边三角形Z DBO60：Z OBCZ CBD30AA在

21、 Rt OCB, OC=OBtar30 =2 3 S*BC -OC OB - 2 3 6 6 3-36 2 6 3422$阴影部分=S扇形aob 2 SOBC912 3有图可知，CD=OCDB=OBL阴影部分=弧 ABHA(+Ct+DB=2X 6+6=12+6【点评】此题考查了折叠的性质、扇形面积公式、弧长公式以与直角三角形的性 质此题难度适中，注意数形结合思想的应用，注意辅助线的作法.15、考点：垂径定理；勾股定理；直线与圆的位置关系；圆锥的计算；作图一复杂作图分析：1根据表示，利用正方形的网格即可作出坐标轴；2利用1中所作的坐标系，即可表示出点的坐标； 在直角厶OAD中，利用勾股定理即可求得半径长； 可以证得/ ADC90,利用扇形的面积公式即可求得扇形的面积; 利用切线的判定定理，证得/ DCE90即可.解答：解：1建立平面直角坐标系找出圆心2【 C6, 2； D2, 0 2 ,5错误！未找到引用源。 n 7分 直线EC与O D相切证cD+cE=dE=25或通过相似证明得/ DCE90直线EC与O D相切.nDCE是直角三角形是难点.故答案为：C6, 2； D2, 02 5错误！未找到引用源。点评：此题主要考查了垂径定理，圆锥的计算，正确证明