质点动力学动量动能

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1、第三章第三章 动量守恒定律和能量守恒定律动量守恒定律和能量守恒定律3 1 质点和质点系的动量定理质点和质点系的动量定理一一 冲量冲量 质点的动量定理质点的动量定理PddtF 2121ppttPddtF1212vmvmPP 由牛顿第二定律由牛顿第二定律积分得：积分得：12PPI 物体所受合外力的冲量物体所受合外力的冲量,等于物等于物体动量的增量体动量的增量质点的动量定理质点的动量定理 2. 冲量是矢量冲量是矢量,其方向为其方向为:1) 恒力的冲量与该力的恒力的冲量与该力的方向一致方向一致.2) 合外力的冲合外力的冲量的方向与物量的方向与物体动量增量的体动量增量的方向相同方向相同. 1. 冲量是力

2、对时间的累冲量是力对时间的累积效应积效应.其中力其中力 不一定不一定是合外力是合外力,但在动量定理但在动量定理中中 一定是合外力一定是合外力. FF1P2PI 21ttdtFI定义定义: 为力为力 的冲量的冲量F因此因此xxttxxmvmvdtFI1221 yyttyymvmvdtFI1221 zzttzzmvmvdtFI1221 . 直角坐标系下分量式直角坐标系下分量式二二 质点系的动量定理质点系的动量定理1F2F12F21F1011112121)(vmvmdtFFtt 2022221221)(vmvmdtFFtt 将两式相加将两式相加,得得2112FF )()()(202101221121

3、21vmvmvmvmdtFFtt iFjFijFjiF推广到由推广到由n个质点组成的系统个质点组成的系统 02121iiiittijttivmvmdtFdtF合外力合外力合内力合内力总动量总动量内力总是成对出现内力总是成对出现,且大小相等且大小相等,方向相反方向相反,其矢量和必为零其矢量和必为零.因此因此, 021iiiittivmvmdtF或或12PPI 作用于系统的合外力的冲作用于系统的合外力的冲量等于系统动量的增量量等于系统动量的增量.质点系的动量定理质点系的动量定理对于无限小的时间间隔对于无限小的时间间隔 PddtFi或或dtPdFi 3 2 动量守恒定律动量守恒定律时时当当 F i0

4、 P=恒矢量恒矢量,即即恒矢量恒矢量 nniivmvmvmvm2211动量守恒定律在直角坐标系中的分量式可表示为：动量守恒定律在直角坐标系中的分量式可表示为：常常数数时时 nxnxxixvmvmvmF2211 ,0常常数数时时 nynyyiyvmvmvmF2211 ,0*系统根本不受外力或合外力为零系统根本不受外力或合外力为零注意注意 （1） 动量守恒定律成立的条件：动量守恒定律成立的条件： （2） 系统在某一方向所受合外力为零，系统在该方向系统在某一方向所受合外力为零，系统在该方向动量守恒。（总动量不一定守恒）动量守恒。（总动量不一定守恒）常常数数时时 nznzzizvmvmvmF2211

5、,0（3） 系统的总动量不变是指系统内各物体动量的矢系统的总动量不变是指系统内各物体动量的矢量和不变，而不是指其中某一个物体的动量不变。量和不变，而不是指其中某一个物体的动量不变。（4） 在实际应用中，有时系统所受的合外力虽不为零，在实际应用中，有时系统所受的合外力虽不为零，但与系统的内力相比较，外力远小于内力，这时可但与系统的内力相比较，外力远小于内力，这时可略去外力对系统的作用，认为系统的动量的是守恒略去外力对系统的作用，认为系统的动量的是守恒的。像碰撞、打击、爆炸等问题中，重力、空气阻的。像碰撞、打击、爆炸等问题中，重力、空气阻力以及弹簧的弹性力都可略去不计。力以及弹簧的弹性力都可略去不

6、计。（5）动量定理和动量守恒定律只在惯性系中才成立，）动量定理和动量守恒定律只在惯性系中才成立， 而且各物体的动量必须都应相对于同一惯性系。而且各物体的动量必须都应相对于同一惯性系。（6）动量守恒定律是物理学最基本、最普遍的定理之）动量守恒定律是物理学最基本、最普遍的定理之一。它在宏观和微观领域中都适用。一。它在宏观和微观领域中都适用。例例、一吊车底板上放一质量为、一吊车底板上放一质量为10kg的物体，若吊车底板的物体，若吊车底板加速上升，加速度大小为加速上升，加速度大小为a=3+5t（SI），则开始），则开始2秒内吊秒内吊车底板给物体的冲量大小车底板给物体的冲量大小I= ，开始，开始2秒内，

7、物体秒内，物体动量增量的大小动量增量的大小 P= SN 356SN 160aNmgdtmadt)mgN(I2121tttt sN160dt)t53(1020 sN356160mg2Ndt20 解解: 根据质点的动量定理根据质点的动量定理sN160IP 例例:如图所示如图所示,有有m千克的水以初速度千克的水以初速度 进入弯管进入弯管,经经t秒后秒后流出时的速度为流出时的速度为 ,且且v1=v2=v,在管子转弯处在管子转弯处,水对管壁的水对管壁的平均冲力大小是平均冲力大小是 ,方向方向 .(管内管内水受到的重力不考虑水受到的重力不考虑)1v2v3003001v2vA解解: 根据题意根据题意,设管壁

8、对水设管壁对水的平均冲力为的平均冲力为 ,它是水对它是水对管壁平均冲力的反作用力管壁平均冲力的反作用力.根据动量原理根据动量原理F12vmvmtF分量式为分量式为x: Fx t = mvcos300 mvcos300=0 y: Fy t = mvsin300 mv(-sin300)=mvxymv/t垂直向下垂直向下例：例：船长船长L=4m，质量，质量M=150kg，静止浮在水面，有，静止浮在水面，有质量质量m=50kg的人从船头走到船尾。的人从船头走到船尾。求：求：人和船对岸各移动的距离（水阻力不计）。人和船对岸各移动的距离（水阻力不计）。解解： 与与 分别表示任一时刻分别表示任一时刻船和人相

9、对于岸的速度，船和人相对于岸的速度，水平方向（水平方向（x）动量守恒）动量守恒Vv0 MVmv0dd00 tttVMtvmLSsMSms ,;)(1 mLmMmS 可得：可得：OXYVLx2x0 x1Ss)(3 mSLs 例例: 如图如图,矿砂从传送带矿砂从传送带A落到另一传送带落到另一传送带B,已知已知v1=4m/s,v2=2m/s.若传送带的运送量若传送带的运送量qm=2000kg/h,求矿砂作用在传求矿砂作用在传送带送带B上的力的大小和方向上的力的大小和方向(不计相对传送带静止的矿砂不计相对传送带静止的矿砂).v1v2300150BA解解: 研究对象研究对象: 时间时间内落到内落到B上的

10、矿砂上的矿砂t m 根据质点的动量定理的根据质点的动量定理的微分形式微分形式, 12vmvmt)mgF( )vv(q)vv(tmF12m12 N21. 275cosvv2vvqF0212221m 49. 0F/75sinvqsin02m 029 2mvq1mvqF150300 由牛顿第三定律由牛顿第三定律,所求力的大小为所求力的大小为2.21N,方向偏离竖直方向方向偏离竖直方向10向右上向右上. 力对质点所作的功是力对质点所作的功是:力在质点位移方向的分量与位移大力在质点位移方向的分量与位移大小的乘积小的乘积.恒力的功恒力的功SFcosFSW S变力的功：变力的功：3 3 动动 能能 定定 理

11、理一一 功功ordF abr,r在线元在线元 上变力上变力 对质点所作的元功为对质点所作的元功为rdFrdFdW 变力变力 将质点由将质点由 a 移动移动 到到b, 所作的所作的总功总功F?Wab cosrdFba dScosFba baabrdFW1. 在直角坐标系中在直角坐标系中此式为变力作功的一般表达式此式为变力作功的一般表达式.kFjFiFFzyx ,kdzjdyidxrd bardFW bababazzzyyyxxxdzFdyFdxF2. 若有几个力同时作用在质点上若有几个力同时作用在质点上,合力合力 iFFFF21 rdFFFrdFWi)(21 rdFrdFrdFi21 iWWWW

12、21即即合力对质点所作的功合力对质点所作的功,等于各分力所作的功的代数和等于各分力所作的功的代数和3. 功率功率vFdtrdFdtdWP 二二. 质点的动能定理质点的动能定理abFdr dSFdW cosdtdvmmaF cosmvdvdSdtdvmdW 1v2v2122212121mvmvmvdvWvv 质点的动能质点的动能,用用 Ek 表示表示,则上式为则上式为合外力对质点所作的功合外力对质点所作的功,等于质点动能的增量等于质点动能的增量.10 功是能量变化的量度功是能量变化的量度,动能是质点具有作功的本领动能是质点具有作功的本领.30 动能定理只适用于惯性系动能定理只适用于惯性系.2mv

13、21 将将 称作称作20 功是力对空间的累积效应功是力对空间的累积效应,其中的力其中的力 不一定是合外力不一定是合外力, 但动能定理中一定是合外力的功但动能定理中一定是合外力的功. F12kkEEW 3 4 保守力与非保守力保守力与非保守力 势能势能一一 万有引力、重力、弹性力作功的特点万有引力、重力、弹性力作功的特点1. 万有引力作功万有引力作功rrMmGF2 drrMmGrdrrMmGdW22 )r1r1(GMmdrr1GMmWabrr2ba 万有引力作的功只取决于质点万有引力作的功只取决于质点m的起始和终点的位置的起始和终点的位置,而与所经过的路径无关而与所经过的路径无关.abFMmra

14、rbr2. 重力作功重力作功mgFy bayymgdyW)(abyymgW 重力作的功只取决于质点重力作的功只取决于质点m的的起始和终点的位置起始和终点的位置,而与所经过的路径无关而与所经过的路径无关.3. 弹性力弹性力)( kxFx axbxx0F作功作功)(2122abxxxxkkxdxWba 弹性力作的功只取决于质点弹性力作的功只取决于质点m的起始和终点的位置的起始和终点的位置,而与所经过的路径无关而与所经过的路径无关.x0ymgab二二 保守力与非保守力保守力与非保守力 保守力作功的数学表达式保守力作功的数学表达式1. 保守力作功的特点保守力作功的特点: 保守力作功只与物体的始、末位保

15、守力作功只与物体的始、末位置有关置有关,与路径无关与路径无关.如重力、弹性力和万有引力等如重力、弹性力和万有引力等. 2. 保守力作功的数学表达式保守力作功的数学表达式ab保守力将质点由保守力将质点由 a 沿任意路径移动到沿任意路径移动到 b 再由再由 b 沿任意路径移回到沿任意路径移回到 a 点点, 0rdFW保3. 作功与路径有关的力叫做非保守力作功与路径有关的力叫做非保守力.如摩擦力等如摩擦力等.三三 势能势能由于保守力作功只与物体的始、末位置有关由于保守力作功只与物体的始、末位置有关,为此为此,引入引入势能概念势能概念.把与物体位置有关的能量称作物体的势能把与物体位置有关的能量称作物体

16、的势能.重力势能重力势能mgyEp 引力势能引力势能rMmGEp 弹性势能弹性势能221kxEp ppapbabEEEW )(保守力对物体作的功等保守力对物体作的功等于物体势能增量的负值于物体势能增量的负值.势能的定义：势能的定义：PElfdd Flfdcos ldlfld lEfPldd 保守力沿某一给定保守力沿某一给定l 方向的分量等于与方向的分量等于与此保守力相应的势能函数沿此保守力相应的势能函数沿l 方向的空方向的空间变化率的负值。间变化率的负值。&由势能求保守力由势能求保守力)(d0PPEErf lEfPldd （1）引力势能：取）引力势能：取l方向为质点的矢径方向方向为质点的矢径方

17、向r, 则引力沿则引力沿 方向的分量为方向的分量为rrMmGEP rEfPrdd 2rMmG （2）弹性势能：取）弹性势能：取l方向为伸长方向方向为伸长方向x, 则引力沿则引力沿x方方向的分量为向的分量为xEfPxdd 221kxEP kx kzEjyEixEfPPPdddddd 一般来说：一般来说：讨论讨论: (1) 势能的相对性势能的相对性,势能的值与势能零点的选取有势能的值与势能零点的选取有 关关.势能零点可以任意选取势能零点可以任意选取,但在上述势能的表达式中但在上述势能的表达式中,引引力势能的零点在无限远处力势能的零点在无限远处,弹性势能的零点取在弹簧原弹性势能的零点取在弹簧原长时物

18、体的位置长时物体的位置.注意注意:任意两点的势能差具有绝对性任意两点的势能差具有绝对性. (2) 当势能的零点确定后当势能的零点确定后(例如在例如在 b 点点),质点在任一位置质点在任一位置(设为设为 a 点点)的势能的势能,等于把质点由该位置移到势能为零的等于把质点由该位置移到势能为零的参考点的过程中保守力所作的功参考点的过程中保守力所作的功.因为因为)(papbbaabEErdFW papaEE )0(3) 势能是属于系统的势能是属于系统的.例如例如,重力势能是属于地球和物体重力势能是属于地球和物体组成的系统的组成的系统的,常说物体的重力势能只是为叙述上的方便常说物体的重力势能只是为叙述上

19、的方便.3 6 功能原理功能原理 机械能守恒定律机械能守恒定律一一 质点系的动能定理质点系的动能定理设一系统内有设一系统内有n个质点个质点,作用于各质点的力所作的功分别作用于各质点的力所作的功分别为为W1,W2,使各质点由初动能使各质点由初动能Ek10,Ek20变为末动能变为末动能Ek1,Ek2,由质点的动能定理可得由质点的动能定理可得W1=Ek1-Ek10W2=Ek2-Ek20将各将各式相式相加得加得 0kikiiEEWW外外+W内内系统动能系统动能即即 0kikiEE质点系的动能的增量等于作用于质点系的外力的功与内力质点系的动能的增量等于作用于质点系的外力的功与内力的功之和的功之和 - 质

20、点系的动能定理质点系的动能定理二二 质点系的功能原理质点系的功能原理W内内=W保内保内+W非保内非保内)EE(0pipi )EE()EE(0pi0kipiki动能和势能动能和势能统称机械能统称机械能 pikiEEE 0pi0ki0EEE初机械能初机械能:末机械能末机械能:W外外+W内内W保内保内W外外+W非保内非保内质点系的机械能的增量等于外力与非保守内力作功之和质点系的机械能的增量等于外力与非保守内力作功之和. 质点系的功能原理质点系的功能原理:W外外+W非保内非保内=E E0三三 机械能守恒定律机械能守恒定律则有则有0EE 当作用于质点系的外力和非保守内力不作功时当作用于质点系的外力和非保

21、守内力不作功时,质点系质点系的总机械能保持不变的总机械能保持不变.-机械能守恒定律机械能守恒定律(1) 质点系机械能守恒条件质点系机械能守恒条件:(2) 机械能守恒是指质点系内的动能和势能之和保持不机械能守恒是指质点系内的动能和势能之和保持不变变,但动能和势能之间可以相互转换但动能和势能之间可以相互转换,这种转换是通过这种转换是通过作功来完成的作功来完成的.若若 W外外+W非保内非保内= 0W外外+W非保内非保内 = 0&能量守恒定律能量守恒定律物质运动形式是多样的，对应的能量形式也是物质运动形式是多样的，对应的能量形式也是多样的：机械能、热能、电磁能、光能、原子能等多样的：机械能、热能、电磁

22、能、光能、原子能等等。等。十九世纪四十年代发现普遍的能量守恒定律。十九世纪四十年代发现普遍的能量守恒定律。“能量可以从一个物体传给另一物体，或从一能量可以从一个物体传给另一物体，或从一种形式转化为另一种形式，但所存的能量总和保持种形式转化为另一种形式，但所存的能量总和保持不变不变”。能量守恒定律是一条具有最大普适性的定律，能量守恒定律是一条具有最大普适性的定律，机械能守恒定律只是能量守恒定律的特例之一。机械能守恒定律只是能量守恒定律的特例之一。注意：注意：范围：惯性系、宏观低速运动（只有动量守恒、角动量守范围：惯性系、宏观低速运动（只有动量守恒、角动量守恒、能量守恒对宏观、微观都适用）恒、能量

23、守恒对宏观、微观都适用） 10 各定理、定律的表达式，适用条件，适用范围。各定理、定律的表达式，适用条件，适用范围。动能定理动能定理机械能守恒定律机械能守恒定律功能原理功能原理 20 由牛顿第二定律推出：由牛顿第二定律推出：动量定理动量定理动量守恒定律动量守恒定律 解决问题的思路按此顺序倒过来，解决问题的思路按此顺序倒过来，首先考虑用守恒定首先考虑用守恒定 律律解决问题解决问题。若要求力的细节则必须用牛顿第二定律。若要求力的细节则必须用牛顿第二定律。 30 有些综合问题有些综合问题,既有重力势能既有重力势能,又有弹性势能又有弹性势能,注意各注意各势能零点的位置势能零点的位置,不同势能零点位置可

24、以同，不同势能零点位置可以同，,也可以不同。也可以不同。 40 有些力学问题涉及临界现象（如弹簧下面的板刚好有些力学问题涉及临界现象（如弹簧下面的板刚好提离地面，小球刚好脱离圆形轨道，木块刚好不下滑等）提离地面，小球刚好脱离圆形轨道，木块刚好不下滑等）解题时先建立解题时先建立运动运动满足的满足的方程方程，再加上，再加上临界条件临界条件（往往是（往往是某些力为零或某些力为零或 v 、a 为零等）为零等） 例例 一轻弹簧一轻弹簧, 其一端其一端系在铅直放置的圆环的顶系在铅直放置的圆环的顶点点P，另一端系一质量为，另一端系一质量为m 的小球的小球, 小球穿过圆环并在小球穿过圆环并在环上运动环上运动(

25、 (=0) )开始球开始球静止于点静止于点 A, 弹簧处于自然弹簧处于自然状态，其长为环半径状态，其长为环半径R; 30oPBRA当球运动到环的底端点当球运动到环的底端点B时，球对环没有压时，球对环没有压力求弹簧的劲度系数力求弹簧的劲度系数 解解 以弹簧、小球和以弹簧、小球和地球为一系统地球为一系统BA只有保守内力做功只有保守内力做功系统系统ABEE 即即)30sin2(2121o22mgRkRmBvRmmgkRB2v又又Rmgk2所以所以取点取点B为重力势能零点为重力势能零点0pE30oPBRA例例:一条质量为一条质量为M，长为，长为L的匀质链条放在一光滑水平桌的匀质链条放在一光滑水平桌面上

26、，开始时链条静止。长为面上，开始时链条静止。长为l 一段铅直下垂。一段铅直下垂。解解: :取链条、桌面、地球为系统取链条、桌面、地球为系统, ,系统机械能守恒系统机械能守恒. .22122MvLMglMgLl )( 22lLLgv 求：求： 整个链条刚离开桌面时的速度。整个链条刚离开桌面时的速度。 lL- -lx0 pE例例、在光滑的水平桌面上，固定着如图所示的半圆形屏、在光滑的水平桌面上，固定着如图所示的半圆形屏障障,质量为质量为 m 的滑块以初速的滑块以初速V1 沿屏障一端的切线方向进沿屏障一端的切线方向进入屏障内滑块与屏障间的摩擦系数为入屏障内滑块与屏障间的摩擦系数为 . 求：当滑块从求

27、：当滑块从屏障另一端滑出时，摩擦力对它所作的功屏障另一端滑出时，摩擦力对它所作的功1vvfN俯视图俯视图解：研究对象解：研究对象 滑块滑块建立坐标：自然坐标建立坐标：自然坐标运动方程：运动方程：法向法向切向切向nmaN maf联立：联立：Rvmf2 Rvdtdv2 即即分析：变力作功，分析：变力作功， 用动能用动能定理必须先找出末态的定理必须先找出末态的V2请思考：能否请思考：能否 在此分离变在此分离变量量 ，积分？，积分？受力分析：受力分析：Nf , nRvm2 Ndtdvm vfNdSdvvdtdSdSdvdtdvRv2 RvdSdv 即即dSRvdvR0vv21 12lnvv evv12

28、因合外力的功只有摩擦力的功因合外力的功只有摩擦力的功, N 不作功，根据动能定理不作功，根据动能定理21222121mvmvA )1(21221 emv由于末态的时刻由于末态的时刻 t 未知未知,然而末态时物体走过的路程然而末态时物体走过的路程 S 为为 已知已知,所以在微分形式时就应进行变量代换所以在微分形式时就应进行变量代换,即即R 例例: 如图所示如图所示,已知已知m、M、h和和k以及小球的水平初速以及小球的水平初速 , 小球小球与平板与平板PQ的碰撞为弹性碰撞的碰撞为弹性碰撞,求求弹簧的最大压缩量弹簧的最大压缩量?0v解解: 小球刚要与小球刚要与PQ碰撞时的速度碰撞时的速度竖直方向竖直

29、方向: vy = (2gh)1/2水平方向水平方向: vx = v0以以m和和M为一系统为一系统,碰撞时满足动量守恒和动能守恒碰撞时满足动量守恒和动能守恒联解得联解得: 0vmPQhygh2Mmm2V 22 ,y2 ,x2y2xMV21mv21mv21mv21mv21 ,yymvMVmv 竖直竖直:水平水平:,xxmvmv 例例: 己知己知m1=10kg, 链条质量链条质量m=10kg, 长长 l=40cm.开始时开始时 l1=l2=20cm l3, 速度为零速度为零,不计摩擦及绳与滑轮的不计摩擦及绳与滑轮的质量质量,绳不伸长绳不伸长,求当链条全部滑到求当链条全部滑到桌面上时桌面上时,系统的速

30、度和加速度系统的速度和加速度.m1l3l2l1或利用谐振动中的结果或利用谐振动中的结果 vm=A,vm是平衡位置处的速度是平衡位置处的速度,A是振幅是振幅,=(k/M)1/2称固有频率称固有频率,更易求得弹簧最大压缩量更易求得弹簧最大压缩量A. (其中其中 y0=Mg/k)解得弹簧的最大压缩量解得弹簧的最大压缩量 碰撞后碰撞后,以地球、弹簧和木板为一系统以地球、弹簧和木板为一系统,机械能守恒机械能守恒,设木板设木板下降下降y为最大压缩量为最大压缩量,则则20202)yy(k21Mgyky21MV21 kMgh2Mmm2y 即即kMgh2Mmm2kMVVA 将将v对对t求导求导,得得)dtdxx2lmdtdx(2gdtdvv2 adtdv 将将x=l1代入代入,解得解得 21s/m9 . 42gas/m21. 12gl3v 2lg)llm(glm1101 212101v )mm(212)xl (glm)xl (gm )l 2lmm()xlmx(2gv1122 解解: 将地球、将地球、m和和m1作为一系统作为一系统,则系统的机械能守恒则系统的机械能守恒.设设 m1开始在桌面下开始在桌面下 l0 处处, 后来下降了后来下降了x, 若设桌面若设桌面 处重力势能为零处重力势能为零,则有则有