一元二次方程提高题.

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1、一元二次方程提高题一选择题（共10 小题）一元二次方程x2 6x6=0 配方后化为（）1A（x3）2=15 B（x3）2=3 C（x+3）2=15D（ x+3）2=3若关于x的方程2+2x3=0 与=有一个解相同，则 a 的值为（）2xA1 B1 或3 C1 D1 或 3若关于x的方程2 3x =0 有实数根，则实数 k 的取值范围是（）3kxAk=0 Bk 1 且 k 0 Ck 1Dk 14关于 x 的一元二次方程 x2+（a2 2a）x+a1=0 的两个实数根互为相反数，则a 的值为（）A2 B0 C1 D2 或 05已知一元二次方程 x22x 1=0 的两根分别为 x1，x2，则 +的值

2、为（）A2 B1 CD 2对于方程22| x|+ 2=m，如果方程实根的个数为 3 个，则 m 的值等于（）6xA1 BC2 D2.5方程x2 | 2x 1| 4=0，求满足该方程的所有根之和为（）7A0 B2 CD28已知关于 x 的方程（ m1）+2x3=0 是一元二次方程，则 m 的值为（）A1B 1 C 1 D不能确定是方程2+x1=0 的根，则式子 2m2+2m+2015 的值为（）9 mxA2013 B2016C2017D2018三角形两边长分别为5，第三边是方程x26x+8=0 的解，则此三角形的10和 8周长是（）A15B17C15 或 17 D不能确定二填空题（共5 小题）1

3、1关于x 的一元二次方程（ k1）x2+6x+k2k=0 的一个根是0，则 k 的值是已知实数m满足m2 3m+1=0，则代数式 m2+的值等于12已知22017x+1=0 的一个根，则代数式 m22018m+3 的13m 是方程 x值是14关于 x 的方程 x22mx+3m=0 的两个根是等腰 ABC的两条边长，已知一个根是 2，则 ABC的周长为15若实数 a、b 满足（ a+b）（a+b6）+9=0，则 a+b 的值为三解答题（共11 小题）216解方程：（x 3）（x1）=317解一元二次方程： x 3x=118解方程：（ 2x+1）2=2x+1194x23=12x（用公式法解）20解

4、方程： 2x24x=1（用配方法）21已知 M=5x2+3，N=4x2+4x（ 1）求当 M=N 时 x 的值；（ 2）当 1x 时，试比较 M ，N 的大小22已知关于 x 的一元二次方程x2+（2m+1）x+m 24=0（ 1）当 m 为何值时，方程有两个不相等的实数根？（ 2）若边长为 5 的菱形的两条对角线的长分别为方程两根的2 倍，求 m 的值23关于 x 的方程 x2（ 2k1）x+k2 2k+3=0 有两个不相等的实数根（ 1）求实数 k 的取值范围；（ 2）设方程的两个实数根分别为 x1、x2，存不存在这样的实数 k，使得 | x1| | x2| =？若存在，求出这样的k 值；

5、若不存在，说明理由24学校为奖励 “汉字听写大赛 ”的优秀学生，派王老师到商店购买某种奖品，他看到如图所示的关于该奖品的销售信息，便用1400 元买回了奖品，求王老师购买该奖品的件数购买件数不超过 30销售价格单价 40元件超过30 件每多买1 件，购买的所有衬衫单价降低30 元0.5 元，但单价不得低于25随着柴静纪录片穹顶之下的播出，全社会对空气污染问题越来越重视，空气净化器的销量也大增， 商社电器从厂家购进了A，B 两种型号的空气净化器，已知一台 A 型空气净化器的进价比一台 B 型空气净化器的进价多 300 元，用 7500 元购进 A 型空气净化器和用 6000 元购进 B 型空气净

6、化器的台数相同（ 1）求一台 A 型空气净化器和一台 B 型空气净化器的进价各为多少元？（ 2）在销售过程中， A 型空气净化器因为净化能力强，噪音小而更受消费者的欢迎为了增大 B 型空气净化器的销量， 商社电器决定对 B 型空气净化器进行降价销售，经市场调查， 当 B 型空气净化器的售价为 1800 元时，每天可卖出 4 台，在此基础上，售价每降低 50 元，每天将多售出 1 台，如果每天商社电器销售 B 型空气净化器的利润为 3200 元，请问商社电器应将 B 型空气净化器的售价定为多少元？26关于 x 的方程 x2+2x+2，其中 p 是实数（ 1）若方程没有实数根，求 P 的范围；（

7、2）若 p0，问 p 为何值时，方程有两个相等的实数根？并求出这两个根参考答案与试题解析一选择题（共10 小题）（泰安）一元二次方程x2 6x6=0 配方后化为（）12017?A（x3）2=15 B（x3）2=3 C（x+3）2=15 D（ x+3）2=3【分析】 方程移项配方后，利用平方根定义开方即可求出解222配方得： x 6x+9=15，即（ x3） =15，【点评】此题考查了解一元二次方程配方法， 熟练掌握完全平方公式是解本题的关键（凉山州）若关于x的方程x2+2x3=0 与=有一个解相同，则 a2 2017?的值为（）A1 B1 或3 C1 D1 或 3【分析】两个方程有一个解相同，

8、 可以先求得第一个方程的解， 然后将其代入第二个方程来求 a 的值即可注意：分式的分母不等于零【解答】 解：解方程 x2+2x 3=0，得x1=1，x2=3， x=3 是方程的增根，当x=1 时，代入方程，得，解得 a=1故选： C【点评】本题考查了解一元二次方程因式分解法， 分式方程的解 此题属于易错题，解题时要注意分式的分母不能等于零3（ 2017?齐齐哈尔）若关于x 的方程 kx23x=0 有实数根，则实数k 的取值范围是（）Ak=0 Bk 1 且 k 0Ck 1Dk 1【分析】 讨论：当 k=0 时，方程化为 3x=0，方程有一个实数解；当k0时，=（ 3）2 4k?（）0，然后求出两

9、个中情况下的k 的公共部分即可【解答】 解：当k=0 时，方程化为3x=0，解得x=；当 k0 时， =（ 3）2 4k?（） 0，解得k 1，所以 k 的范围为 k 1故选 C【点评】本题考查了根的判别式： 一元二次方程 ax2+bx+c=0（a0）的根与 =b2 4ac 有如下关系：当 0 时，方程有两个不相等的实数根；当 =0 时，方程有两个相等的实数根；当 0 时，方程无实数根4（ 2017?呼和浩特）关于 x 的一元二次方程x2+（ a22a）x+a 1=0 的两个实数根互为相反数，则a 的值为（）A2B0C1D2 或 0【分析】设方程的两根为x1，x2，根据根与系数的关系得a22a

10、=0，解得 a=0 或a=2，然后利用判别式的意义确定a 的取值【解答】 解：设方程的两根为x1，x2，根据题意得 x1+x2=0，所以 a2 2a=0，解得 a=0 或 a=2，当 a=2 时，方程化为 x2+1=0， = 4 0，故 a=2 舍去，所以 a 的值为 0故选 B【点评】 本题考查了根与系数的关系：若x1， x2 是一元二次方程 0）的两根时， x1+x2=，x1x2=也考查了根的判别式ax2+bx+c=0（a5（2017?黔东南州）已知一元二次方程x22x 1=0的两根分别为x1 ，x2，则+的值为（）A2B1 CD 2【 分析 】根 据 根与 系 数 的关 系得 到x1+x

11、2=2 ， x1x2= 1 ， 利用 通分 得到+=，然后利用整体代入的方法计算【解答】 解：根据题意得 x1+x2=2，x1x2=1，所以+=2故选 D【点评】 本题考查了根与系数的关系：若 0）的两根时， x1+x2=，x1x2=x1， x2 是一元二次方程ax2+bx+c=0（a（江阴市自主招生）对于方程x2 2| x|+ 2=m，如果方程实根的个数为 36 2017?个，则 m 的值等于（）A1BC2D2.5【分析】 先把已知方程转化为关于| x| 的一元二次方程的一般形式，再根据方程有三个实数根判断出方程根的情况，进而可得出结论【解答】 解：原方程可化为x2 2| x|+ 2m=0，

12、解得 | x| =1，若 1 0，则方程有四个实数根，方程必有一个根等于0， 1+0， 1 =0，解得 m=2故选 C【点评】本题考查的是根的判别式及用公式法解一元二次方程， 先根据题意得出| x| 的值，判断出方程必有一根为0 是解答此题的关键7（2017?雨城区校级自主招生）方程x2 | 2x1| 4=0，求满足该方程的所有根之和为（）A0 B2 CD2【分析】因为题目中带有绝对值符号，所以必须分两种情况进行讨论，去掉绝对值符号，得到两个一元二次方程，求出方程的根，不在讨论范围内的根要舍去【解答】 解：当 2x10 时，即 x，原方程化为： x2 2x3=0，（x3）（ x+1） =0，x

13、1=3，x2=1，1， x2= 1（舍去） x=3；当 2x 1 0，即 x 时，原方程化为： x2+2x5=0，（x+1）2=6， x+1= ，x1=1+ ，x2=1 1+， x1=1+（舍去） x=1 则 3+（ 1 ）=2 故选： D【点评】本题考查的是解一元二次方程， 由于带有绝对值符号， 必须对题目进行讨论，对不在讨论范围内的根要舍去8（2017?凉山州一模）已知关于x 的方程（ m1）+2x 3=0 是一元二次方程，则m 的值为（）A1B 1 C 1 D不能确定【分析】 根据一元二次方程的定义得出m 10，m2+1=2，求出即可【解答】 解：关于 x 的方程（ m1）+2x3=0

14、是一元二次方程， m10 且 m2+1=2，即 m1 且 m=1，解得： m=1故选 B【点评】本题考查了对一元二次方程的定义的理解和运用，注意：是整式方程，只含有一个未知数，所含未知数的项的最高次数是29（2017?潮阳区模拟） m 是方程 x2+x1=0 的根，则式子 2m2+2m+2015 的值为（）A2013B2016C2017D2018【分析】根据一元二次方程的解的定义得到m2+m1=0，即 m2+m=1，然后利用整体代入的方法计算2m2+2m+2015 的值【解答】 解： m 是方程 x2+x 1=0 的根， m2+m1=0，即 m2+m=1， 2m2+2m+2015=2（m2+m

15、） +2015=2+2015=2017故选 C【点评】本题考查了一元二次方程的解： 能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解10（ 2017?市中区三模）三角形两边长分别为的解，则此三角形的周长是（）5 和 8，第三边是方程x26x+8=0A15B17C15 或 17 D不能确定【分析】 求出已知方程的解确定出第三边，即可求出三角形周长【解答】 解：方程 x26x+8=0，分解因式得：（x 2）（x4）=0，解得： x=2 或 x=4，当 x=2 时，三角形三边长为 2，5，8，不能构成三角形，舍去；当 x=4 时，三角形三边长为 4，5，8，周长为 4+5+8=17，故选

16、B【点评】此题考查了解一元二次方程因式分解法， 以及三角形三边关系， 熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键二填空题（共5 小题）11（ 2017?菏泽）关于 x 的一元二次方程（ k1）x2+6x+k2k=0 的一个根是 0，则 k 的值是 0 【分析】由于方程的一个根是 0，把 x=0 代入方程，求出 k 的值因为方程是关于 x 的二次方程，所以未知数的二次项系数不能是 0【解答】 解：由于关于 x 的一元二次方程（ k1）x2+6x+k2k=0 的一个根是 0，2把 x=0 代入方程，得 k k=0，当 k=1 时，由于二次项系数k1=0，方程（ k1）x2+6x+k2k=0 不是关于 x

17、 的二次方程，故 k1故答案为： 0【点评】本题考查了一元二次方程的解法、 一元二次方程的定义 解决本题的关键是解一元二次方程确定 k 的值，过程中容易忽略一元二次方程的二次项系数不等于 0 这个条件12（ 2017?镇江）已知实数m 满足 m2 3m+1=0，则代数式 m2+的值等于9 【分析】 先表示出 m2 =3m1 代入代数式，通分，化简即可得出结论【解答】 解： m23m+1=0， m2=3m 1， m2+=3m1+=3m1+=9，故答案为： 9【点评】此题主要考查了代数式的化简求值，分式的通分，约分，解本题的关键是得出 m2=3m 113（ 2017?北仑区模拟）已知m 是方程 x

18、2 2017x+1=0 的一个根，则代数式 m2 2018m+3 的值是 2【分析】 根据一元二次方程根的定义得到m2=2017m1，再利用整体代入的方法得到原式 =2017m12018m+3，然后合并即可【解答】 解： m 是方程 x22017x+1=0 的一个根， m22017m+1=0， m2=2017m 1，原式 =2017m12018m+3=1m+m+3=2故答案为 2【点评】本题考查了一元二次方程的解： 能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解14（ 2017?威海一模）关于 x 的方程 x2 2mx+3m=0 的两个根是等腰 ABC的两条边长，已知一个根是2，则

19、 ABC的周长为14【分析】利用一元二次方程解的定义，把x=2 代入 x2 2mx+3m=0 得 m=4，则方程化为 x28x+12=0，利用因式分解法解得x1=2，x2 =6，然后利用三角形三边的关系确定三角形三边，再计算它的周长【解答】 解：把 x=2 代入 x22mx+3m=0 得 44m+3m=0，解得 m=4，所以方程化为 x28x+12=0，解得 x1=2，x2=6，所以三角形三边为6、6、2，所以 ABC的周长为 14故答案为 14【点评】本题考查了一元二次方程的解： 能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解15（ 2017?曹县模拟）若实数a、 b 满足（ a

20、+b）（ a+b6）+9=0，则 a+b 的值为3 【分析】设 t=a+b，则原方程转化为关于t 的方程 t（t 6）+9=0，由此求得 t 的值即可【解答】 解：设 t=a+b，则由原方程得到：t （t 6） +9=0，整理，得（ t3）2=0，解得 t=3即 a+b=3故答案是： 3【点评】本题考查了换元法解一元二次方程 换元的实质是转化， 关键是构造元和设元，理论依据是等量代换， 目的是变换研究对象， 将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理三解答题（共11 小题）16（ 2017?丽水）解方程：（ x 3）（x1）=3【分析】 先把方程

21、化为一般式，然后利用因式分解法解方程【解答】 解：方程化为 x24x=0，x（x4）=0，所以 x1=0，x2=4【点评】本题考查了解一元二次方程因式分解法： 就是因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法， 这种方法简便易用， 是解一元二次方程最常用的方法17（ 2017?埇桥区模拟）解一元二次方程：x2 3x=1【分析】 配方，开方，即可得出两个方程，求出方程的解即可【解答】 解： x23x=1，x2 3x+（）2=1+（）2，（ x）2=，开方得：x1=x=，x2=，【点评】本题考查了解一元二次方程， 能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键18（ 2017?广元模拟）解方程：（2

22、x+1）2=2x+1【分析】 因式分解法求解可得【解答】 解：（ 2x+1） 2（ 2x+1） =0，则 x=0 或 2x+1=0，解得： x=0 或 x= 【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力， 熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键19（ 2017?江汉区校级模拟） 4x23=12x（用公式法解）【分析】 利用公式法求解可得【解答】 解：原方程整理为： 4x212x 3=0， a=4，b= 12，c= 3， =14444（ 3）=1920，则 x=【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解

23、一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键20（ 2017?江汉区校级模拟）解方程：2x2 4x=1（用配方法）【分析】方程两边都除以 2，配方，开方，即可得出两个方程，求出方程的解即可【解答】 解：方程整理得： x22x=，配方得： x22x+1=，即（ x 1） 2=，开方得： x1=，解得： x1=1+，x2=1【点评】 本题考查了解一元二次方程，能正确配方是解此题的关键21（ 2017?萧山区模拟）已知M=5x2+3， N=4x2+4x（ 1）求当 M=N 时 x 的值；（ 2）当 1x 时，试比较 M ，N 的

24、大小【分析】（1）利用题意列方程5x2+3=4x2+4x，然后利用因式分解法解方程即可；（ 2）利用求差法得到 M N=（x1）（x 3），然后根据 x 的取值范围确定积的符合，从而得到 M 与 N 的关系关系【解答】 解：（1）根据题意得 5x2+3=4x2+4x，整理得 x24x+3=0，（ x1）（x3）=0，x1=0 或 x3=0，所以 x1=1，x2=3；（ 2） MN=5x2+3（ x2+4x）=x24x+3=（x 1）（x3）， 1 x ， x10，x30， MN=（x 1）（x3） 0， MN【点评】本题考查了解一元二次方程因式分解法： 因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的

25、方法， 这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法 注意因式分解的应用22（ 2017?绥化）已知关于 x 的一元二次方程 x2+（ 2m+1）x+m24=0（ 1）当 m 为何值时，方程有两个不相等的实数根？（ 2）若边长为 5 的菱形的两条对角线的长分别为方程两根的2 倍，求 m 的值【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出=4m+17 0，解之即可得出结论；（ 2）设方程的两根分别为 a、b，根据根与系数的关系结合菱形的性质，即可得出关于 m 的一元二次方程，解之即可得出 m 的值，再根据 a+b= 2m 1 0，即可确定 m 的值22【解答】 解：（1）方程 x +（2

26、m+1）x+m 4=0 有两个不相等的实数根，解得： m当 m时，方程有两个不相等的实数根（ 2）设方程的两根分别为 a、 b，根据题意得： a+b=2m1，ab=m24 2a、2b 为边长为 5 的菱形的两条对角线的长， a2+b2=（a+b） 22ab=（ 2m 1） 22（m24）=2m2+4m+9=52=25，解得： m=4 或 m=2 a 0，b 0， a+b= 2m 1 0， m= 4若边长为 5 的菱形的两条对角线的长分别为方程两根的2 倍，则 m 的值为 4【点评】本题考查了根的判别式、 根与系数的关系、 菱形的性质以及解一元二次方程，解题的关键是：（ 1）根据方程的系数结合根

27、的判别式，找出 =4m+170；（ 2）根据根与系数的关系结合菱形的性质，找出关于m 的一元二次方程23（ 2017?鄂州）关于 x 的方程 x2（ 2k1）x+k2 2k+3=0 有两个不相等的实数根（ 1）求实数k 的取值范围；（ 2）设方程的两个实数根分别为x1、 x2 ，存不存在这样的实数k，使得 | x1| x2| =？若存在，求出这样的k 值；若不存在，说明理由【分析】（1）由方程有两个不相等的实数根知 0，列出关于 k 的不等式求解可得；（ 2）由韦达定理知 x1+x2=2k 1，x1x2=k22k+3=（k1）2+20，将原式两边平方后把 x1+x2、 x1 x2 代入得到关于

28、 k 的方程，求解可得【解答】 解：（1）方程有两个不相等的实数根， = （ 2k1） 2 4（ k22k+3）=4k110，解得： k ；（ 2）存在， x1+x2=2k 1， x1 x2=k2 2k+3=（k1）2+20，将 | x1| | x2| =两边平方可得 x122x1x2+x22=5，即（ x1+x2）24x1x2=5，代入得：（2k 1） 24（k2 2k+3） =5，解得： k=4【点评】本题主要考查根与系数的关系及根的判别式， 熟练掌握判别式的值与方程的根之间的关系及韦达定理是解题的关键24（2017?皇姑区一模）学校为奖励 “汉字听写大赛 ”的优秀学生，派王老师到商店购买

29、某种奖品，他看到如图所示的关于该奖品的销售信息，便用1400 元买回了奖品，求王老师购买该奖品的件数购买件数销售价格不超过 30件超过 30件每多买单价 40元1 件，购买的所有衬衫单价降低30 元0.5 元，但单价不得低于【分析】根据题意首先表示出每件商品的价格， 进而得出购买商品的总钱数， 进而得出等式求出答案【解答】 解： 3040=12001400，奖品数超过了30 件，设总数为 x 件，则每件商品的价格为： 40（ x 30）0.5 元，根据题意可得：x 40（ x30） 0.5 =1400，解得： x1=40， x2 =70， x=70时， 40（ 70 30） 0.5=20 30

30、， x=70不合题意舍去，答：王老师购买该奖品的件数为 40 件【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用， 根据题意正确表示出每件商品的价格是解题关键25（2017?三门峡一模）随着柴静纪录片穹顶之下的播出，全社会对空气污染问题越来越重视，空气净化器的销量也大增，商社电器从厂家购进了 A，B 两种型号的空气净化器，已知一台 A 型空气净化器的进价比一台 B 型空气净化器的进价多 300 元，用 7500 元购进 A 型空气净化器和用 6000 元购进 B 型空气净化器的台数相同（ 1）求一台 A 型空气净化器和一台 B 型空气净化器的进价各为多少元？（ 2）在销售过程中， A 型空气净化器因为

31、净化能力强，噪音小而更受消费者的欢迎为了增大 B 型空气净化器的销量， 商社电器决定对 B 型空气净化器进行降价销售，经市场调查， 当 B 型空气净化器的售价为 1800 元时，每天可卖出 4 台，在此基础上，售价每降低 50 元，每天将多售出 1 台，如果每天商社电器销售 B型空气净化器的利润为 3200 元，请问商社电器应将 B 型空气净化器的售价定为多少元？【分析】（1）设每台 B 种空气净化器为x 元， A 种净化器为（ x+300）元，根据用 6000 元购进 B 种空气净化器的数量与用 7500 元购进 A 种空气净化器的数量相同，列方程求解；（ 2）根据总利润 =单件利润销量列出

32、一元二次方程求解即可【解答】 解：（1）设每台 B 型空气净化器为 x 元， A 型净化器为（ x+300）元，由题意得，=，解得： x=1200，经检验 x=1200 是原方程的根，则 x+300=1500，答：每 B 型空气净化器、每台A 型空气净化器的进价分别为1200 元， 1500 元；（ 2）设 B 型空气净化器的售价为x 元，根据题意得；（x1200）（ 4+）=3200，解得： x=1600，答：如果每天商社电器销售B 型空气净化器的利润为3200 元，请问商社电器应将 B 型空气净化器的售价定为1600 元【点评】本题考查了一元二次方程及分式方程的应用，解题的关键是根据题意找

33、到等量关系，注意分式方程应该检验，难度不大26（ 1999?重庆）关于 x 的方程 x2+2x+2，其中 p 是实数（ 1）若方程没有实数根，求 P 的范围；（ 2）若 p0，问 p 为何值时，方程有两个相等的实数根？并求出这两个根【分析】（1）换元，令=y，把中根号下的数看成整体，再求 p 的范围；（ 2）方程有两个相等的实数根，判别式=0，求出 p，再求得两实根【解答】 解：（1）令=y，则原方程变为 y2+2y（ p2+2p） =0（ 3 分） =4+4（p2+2p）=4（p2+2p+1） =4（p+1） 2 0，即 y1=p， y2= 2 p（6 分）若原方程没有实数根，只须解这个不等式组，得 2p0（9 分）（ 2） p0，把 y1=p代入，得=p而 y2=2p0，舍去（11 分）将式平方，整理得x2+2x（ p22p）=0（ 12 分）令 =4+4（p22p）=4（ p2 2p+1）=4（p 1） 2=0，解得 p=1（ 15 分）当 p=1 时，原方程有两个相等的实数根把p=1 代入，得 x2+2x+1=0， x1=x2=1（17 分）经检验，当 p=1 时， x1=x2= 1 是原方程的根（ 18 分）【点评】本题是换元法解无理方程， 注意这个方程无解条件的讨论是解决本题的关键