一元二次方程地四种解法

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1、实用标准文案一元二次方程的解法（1）一元二次方程的概念一、考点、热点回顾1、一元二次方程必须同时满足的三个条件:(1)(2)(3)2、一元二次方程的一般形式:二、典型例题例 1：判断下列方程是否为一元二次方程： x 2x1 x 21 x 22x 3y 0 x23 ( x 1)( x 4) ax 2bxc0 mx 20 （是不为零常数）例 2：一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项.(1)x2 10x 900 0(2)5 x210x2.20(3)2 x2150(4) x23x0(5) ( x2) 23(6)( x3)( x3)0例 3：当 m _时，关于 x 的方程（ m+2） x|m|

2、+3mx+1=0是一元二次方程。三、课堂练习1、下列方程中，关于x 的一元二次方程是（）211A.3(x1)2(x 1)B. x2y20C.ax2bxc 0D.x22xx212、用换元法解方程 (x 2x) 2(x 2 x) 6 时，如果设 x2 x y，那么原方程可变形为（）A、 y2y60B、y2 y 6 0C、 y2y60D、y2 y 6 0文档实用标准文案3、已知两数的积是12, 这两数的平方和是25, 以这两数为根的一元二次方程是_.4、已知关于 x 的一元二次方程 x2(k1)x60 的一个根是 2，求 k 的值四、课后练习1. 将方程 3 x ( x1 )5( x2)化成一元二次

3、方程的一般形式，得；其中二次项系数是；一次项系数是；常数项是.2.方程25x2k是 一 元 二 次 方 程 ， 则 k 就 满 足 的 条 件( k 4 )x30是.2-x-2=0的一个根，则代数式23. 已知 m是方程 xm-m=_4. 在一幅长 80cm，宽 50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形2挂图，如果要使整个挂图的面积是5400cm，设金色纸边的宽为xcm ，则 x 满足的方程是（）（ A）x 2130 x14000（B） x 265 x3500（ C）x2130 x14000（ ） x265x3500D5关于 x 的方程 ( m 3) x 2nx m 0 ，在什么

4、条件下是一元二次方程？在什么条件下是一元一次方程？（2）- 直接开方法一、考点、热点回顾1、了解形如x2=a(a 0) 或 (x h) 2= k(k 0) 的一元二次方程的解法 直接开平方法小结：如果一个一元二次方程具有( xm) 2n( n0 ) 的形式，那么就可以用直接开平方法求解。（用直接开平方法解一元二次方程就是将一元二次方程的左边化为一个完全平方式，右边化为常数，且要养成检验的习惯）文档实用标准文案【复习回顾】1. 方程(k2是 一 元 二 次 方 程 ， 则 k 就 满 足 的 条 件4 )x5x2k3 0是.2. 若（ a+1）x2+(x-1) 2=0 二次项的系数为 -2, 则

5、 a=二、典型例题例 1：解下列方程：（1）x22（2）4x2 10例 2、解下列方程： (x1) 22 (x1) 240 12(3x) 230推荐例 3：用直接开平方法解下列方程（ 1）120（ ） x 3 24 2x 12 （ ）x22ax a2b 03x1 15234三、课堂练习1.若方程（ x-4 ）2=m-6 可用直接开平方法解，则 m的取值范围是（）Am6 B mo C m6 D m=62.方程（ 1-x ）2=2 的根是（）A.-1 、3B.1 、-3 C.1-2、1+ 2 D.2-1、 2+13.方程 (3x1) 2= 5 的解是。4. 用直接开平方法解下列方程：(1)4x 2

6、=9；(2)（x+2） 2=16文档实用标准文案(3)(2x-1)2=3;(4)3(2x+1)2=12四、课后练习1、4 的平方根是 _，方程 x24 的解是 _.2、方程 x121的根是 _，方程 4 x121的根是 _.3、当 x 取 _ _时，代数式x25的值是；若x2810，则x_.24、关于 x 的方程3x 2k 10 若能用直接开平方法来解，则k 的取值范围是（）A、k1B、k1C、 k 1D、 k 15、解下列方程：（ 1） 2 x210（ 2） 5x4 6239（ 3） x 5 x 5 72（4） 2 6 x 128 0（ 5） 0.5y2 20（6） x 14 x 22236

7、、已知一个等腰三角形的两边是方程4( x10) 20 的两根，求等腰三角形的面积文档实用标准文案（3）- 配方法一、考点、热点回顾1、经历探究将一元二次方程的一般式转化为（xh）2= k（ n 0）形式的过程，进一步理解配方法的意义；2、填空：（1）x2+6x+=(x+)2； (2)x 2-2x+=(x-)2 ；(3)x2-5x+=(x-)2； (4)x 2+x+=(x+)2 ；(5)x2+px+=(x+)2；3、将方程 x2 +2x-3=0 化为 (x+h) 2 =k 的形式为；小结 1：用配方法解一元二次方程的一般步骤：1、把常数项移到方程右边；2、在方程的两边各加上一次项系数的一半的平方

8、，使左边成为完全平方；3、利用直接开平方法解之。小结 2：当一元二次方程二次项系数不为1 时，用配方法解方程的步骤：二次项系数化为1；移项；直接开平方法求解二、典型例题例 : 将下列各进行配方：x2 10x_（x_）2 x2 6x_（ x _）2x2 5 x_（ x_）2x2+b x（）24_x_例 : 解下列方程：（1）2430（ ）2xx2x3x1 0推荐例 3：用配方法解下列关于x 的方程：2（ ）222（ 1） x 1 10 x 1 9 0x6ax 9a4b02文档实用标准文案例 4：例 1 解方程： 2x 25x 2 0 3x 24x 1 0例 5、一个小球垂直向上抛的过程中，它离上

9、抛点的距离h（ m）与抛出后小球运动的时间 t(s) 有如下关系： h24t5t 2 。经过多少秒后，小球离上抛点的高度是 16m？推荐例 6：求证：对任意实数x ，代数式 x24x4.5 的值恒大于零。三、课堂练习1. 完成下列配方过程：（1）x2+8x+=(x+)2（2）x2-x+=(x-)2（3）x2+4=(x+)2（4）x2-+9 =（ x-）242. 若 x2-mx+49 =(x+7 ) 2，则 m的值为（ ）.255A. 7B.-7C.14D. -1455553. 用配方法解下列方程：(1)x2-6x-16=0 ；(2)x2+3x-2=0；(3)x2+2 3 x-4=0 ；(4)x

10、2- 2 x-2=0.334. 已 知 直 角 三 角 形 的 三 边 a 、 b 、 c ， 且 两 直 角 边 a 、 b 满 足 等 式(a 2+b2 ) 2-2(a 2 +b2)-15=0 ，求斜边 c 的值。文档实用标准文案5. 用配方法解方程 2y2 -5 y=1 时，方程的两边都应加上（）A.5B.5C.5D.5244166.a 2+b2+2a-4b+5=(a+)2+(b-)27. 用配方法解下列方程：(1)2x 2+1=3x；(2)3y2-y-2=0 ；(3)3x 2-4x+1=0；(4)2x2=3-7x.8. 若 4x2-(4m-1)x+m 2+1 是一个完全平方式，求m.四

11、、课后练习1、用配方法解下列方程：（ 1）x26x 16 0（ ）23x 2 02 x（ 3） x276x（ 4） x 2 1 x1045、把方程 x2 3x p21.0 配方，得到 x m2（ 1）求常数p 与 m 的值；（ ）求此方程的解。2文档实用标准文案3、用配方法解方程x 2pxq0( p24q0)4、用配方法解下列方程：（ 1） x 215 10x(2) 3x 212 x103(3)4 2122 10(4) 2x 27 x20 ,2x (6)2x24x5 0(5)3x 23 02、你能用配方法求：当为何值时，代数式3x26x5 有最大值？（4）- 公式法一、考点、热点回顾1、把方程

12、4-x 2=3x 化为ax2+bx+c=0(a 0) 形式为，b2-4ac=.2、方程 x2+x-1=0 的根是。3 、 方程 3x2+2=4x 的判别 式b2-4ac=，所以方 程的 根的 情况是.4、一元二次方程 x2-4x+4=0 的根的情况是（）文档实用标准文案A. 有两个不等的实数根B.有两个相等的实数根C. 没有实数根D.不能确定总结：一元二次方程ax2+bx+c=0(a 0) 的根的情况可由来判断：当 b2-4ac 0 时，当 b2-4ac=0 时，当 b2-4ac 0 时，二、典型例题例 1：解下列方程：(1) x23x20;(2)2x 27 x4变式： 1、解方程：(1) 2

13、x( x 1)3;(2)21( 2 5).xxx例 2：解下列方程：(1) x 2x10;(2) x 22 3x30;(3)2x 22 x10.例 3：不解方程，判别下列方程根的情况.（ 1） 2x2+3x+4=0；（ 2） 2x2-5=6x ；（ 3） 4x(x-1)-3=0 ；（ 4） x2+5=2 5 x.文档实用标准文案题变： 1、试说明关于 x 的方程 x2+(2k+1)x+k-1=0 必定有两个不相等的实数根.推荐例 4：当 k 为何值时，关于x 的方程 kx2（ 2k1）xk 3 = 0 有两个不相等的实数根？题变： 1、已知一元二次方程 (m-2) 2x2+(2m+1)x+1=

14、0 有两个不相等的实数根，求的取值范围 .三、随堂练习1. 把方程 (2x-1)(x+3)=x2+1 化为 ax2 + bx + c = 0的形式， b2-4ac=，方程的根是.2.方程 (x-1)(x-3)=2的根是（ ）A. x 1=1,x 2=3B.x=22 3C.x=23 D.x=-2233.关于 x 的一元二次方程 x2+4x-m=0 的一个根是5 -2 ，则 m=，方程的另一个根是.4.若最简二次根式m27和 8m2 是同类二次根式，则的值为（）A.9 或 -1B.-1C.1D.95. 用公式法解下列方程：（ 1） x2-2x-8=0 ；（2）x2+2x-4=0；（ 3） 2x2-

15、3x-2=0 ；（4）3x(3x-2)+1=0.文档实用标准文案6. 方程 (2x+1)(9x+8)=1 的根的情况是（ ）A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根C.无实数根D.不能确定7.关于 x 的方程 x2 +2k x+1=0 有两个不相等的实数根，则 k( )A.k -1B.k -1 C.k 1D.k 08.要使关于 x 的方程 kx 2-4x+3=0 有实数根，则 k 应满足的条件是（）Ak4/3B.k4/3 C.k 4/3 D.k 4/39.已知方程 x2-mx+n=0 有两个相等的实数根，那么符合条件的一组m， n 的值可以是 m=,n=.10. 不解方程，判断下列方

16、程根的情况：（ ）x21 = 3x（ ） （x2 ）（ ） x24 3 x =41 3x2 51 = 7x3 311. 解下列方程：(1) x 26x0;(2)x 212x270(3) 2 y 2y50;(4)x 26x160四、课后练习1. 用公式法解方程2 x2+43 x=22 , 其中求的 b2-4ac 的值是（）A.16B.4C.32D.642. 用 公 式 法 解 方 程x2=-8x-15 ， 其 中b2 -4ac=， 方 程 的 根是.。3. 用公式法解方程 3x2 +4=12x，下列代入公式正确的是（ ）A.x 1.2 =12144 12B. x1.2 = 12144 1222文

17、档实用标准文案C. x 1.2 =12144 12D. x1.2 =12144 48264. 三角形两边长分别是 3 和 5，第三边的长是方程 3x2-10x-8=0 的根，则此三角形是三角形 .25. 如果分式 xx2 的值为零，那么 x=.x 16. 用公式法解下列方程：(1) 3y 2-y-2 = 0(2) 2 x2+1 =3x(3)4x 2-3x-1=x-2(4)3x(x-3)= 2(x-1)(x+1)7.下列方程中，没有实数根的方程式（）A.x 2=9B.4x2=3(4x-1)C.x(x+1)=1D.2y2+6y+7=08.方程 ax2+bx+c=0(a0) 有实数根，那么总成立的式

18、子是（）A.b 2-4ac 0B. b2-4ac 0C. b 2-4ac 0D. b2-4ac 09.如果方程 9x2 -(k+6)x+k+1=0 有两个相等的实数根，那么k=.（4）- 因式分解法一、考点、热点回顾应用回顾：下列哪些方法能用因式分解法解(1)x 22x0(2)(x - 3)2( x3)0(3) x 1 2( x 1) 2 11(4)x 2 9 0文档实用标准文案小结：因式分解法解一元二次方程的一般步骤： . 将方程的右边化为 . 将方程左边因式分解 .把原来的一元二次方程转化为两个一元一次方程. .分别解两个一元一次方程，它们的根就是原方程的根.二、典型例题例 1：用因式分解

19、法解方程 :(1) x24x(2)x3x(x3)0例 2：解方程 (2x 1) 2x 20三、随堂练习1.如果方程 x2-3x+c=0 有一个根为 1，那么 c=，该方程的另一根为，该方程可化为（ x-1 ）（ x）=02.方程 x2 =x 的根为（ ）A.x=0B. x1=0,x2=11=0,x2=-1D. x12C. x=0,x =23.用因式分解法解下列方程：（ 1）（x+2） 2=3x+6；（ 2）（3x+2）2-4x 2=0；（ 3） 5（ 2x-1 ）=(1-2x)(x+3)；（4）2（x-3 ）2+(3x-x 2)=0.4.用适当方法解下列方程：（ 1）（3x-1 ）2=1；（2

20、）2（x+1）2 =x2-1 ；（ 3） (2x-1) 2+2(2x-1)=3 ；（ 4）(y+3) （1-3y ）=1+2y2 .文档实用标准文案四、课后训练1 下面哪个方程用因式分解法解比较简便(1) x 22 x50(2)(2x1) 210 .2. 已知方程 4x2 -3x=0 ，下列说法正确的是（ ）A. 只有一个根 x= 3B. 只有一个根 x=04C. 有两个根 x=0,x =3D. 有两个根 x =0,x2=-3124143. 如果 (x-1)(x+2)=0 ，那么以下结论正确的是（ ）A.x=1 或 x=-2B.必须 x=1C.x=2 或 x=-1D.必须 x=1 且 x=-2

21、4. 方程（ x+1）2=x+1 的正确解法是（ ）A. 化为 x+1=1B.化为（ x+1）（x+1-1 ）=0C. 化为 x2 +3x+2=0D.化为 x+1=05. 解方程 x（x+1）=2 时，要先把方程化为；再选择适当的方法求解，得方程的两根为x1 =,x2=.6. 用因式分解法解下列方程：（ 1） x2+16x=0（2）5x2 -10x=-5（ 3） x（ x-3 ）+x-3=0（4）2(x-3) 2=9-x 27. 用适当的方法解下列方程：（ 1） (3x-1)(x-2)=(4x+1)(x-2) (2) 4x2-20x+25=7(3)3x 2-4x-1=0(4)x2+2x-4=0文档