一元二次方程之判别式法与韦达定理.

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1、一元二次方程之判别式法与韦达定理（一）知识点梳理一元二次方程ax2+bx+c=0 （ a、 b、 c 属于 R，a0）根的判别， =b2-4ac，不仅用来判定根的性质，而且作为一种解题方法，在代数式变形，解方程(组 )，解不等式，研究函数乃至几何、三角运算中都有非常广泛的应用。韦达定理除了已知一元二次方程的一个根，求另一根； 已知两个数的和与积，求这两个数等简单应用外，还可以求根的对称函数，计论二次方程根的符号，解对称方程组，以及解一些有关二次曲线的问题等，都有非常广泛的应用。1、一元二次方程根的判别式：b 24ac（ 1）当 0 时方程有两个不相等的实数根；（ 2）当 =0时方程有两个相等的

2、实数根；（3）当 0时方程没有实数根，无解；（4）当 0时方程有两个实数根（5）根的判别式 b2 4ac 的意义， 在于不解方程可以判别根的情况，还可以根据根的情况确定未知系数的取值范围。2、一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）：b ，（ 1 ） 若 x1, x2 是 一 元 二 次 方 程 ax2bxc 0 的 两 个 根 ， 那 么 ： x1 x2cax1 x2a（2）以两个数 x1 , x2 为根的一元二次方程 （二次项系数为 1）是： x 2(x1x2 ) xx1x2 03、一元二次方程的两根和与两根积和系数的关系在以下几个方面有着广泛的应用：（ 1）已知方程的一根，求另一个根和待定

3、系数的值。（ 2）不解方程，求某些代数式的值。（ 3）已知两个数，求作以这两个数为根的一元二次方程。（ 4）已知两数和与积，求这两个数。（ 5）二次三项式的因式分解。注意：在应用根与系数的关系时，不要忽略隐含条件0 。a0例题讲解例 1、当 k 为何值时，关于x 的方程 x22k 1 xk22k 3： 两个不相等的实数根；有两个相等的实数根；没有实数根。例 2、 m为何值时，关于 x的方程 mx23mxm50有两个相等的实数根？并求出这时方程的根。例 3、 已知方程 x23x 1 0的两实数根为、 ，不解方程求下列各式的值。（ ） 22；（）33；（ ）；123（）11；（ ）；（6）3242

4、345例 4、 已知关于 x的方程 x2k 2 x 2k 0（ 1）求证：无论 k 取任何实数值，方程总有实数根。（ 2）若等腰三角形的一边长为1，另两边长恰是这个方程的两个根，求三角形的周长。走进中考专题训练一、填空题：1关于 x 的一元二次方程ax2+bx+c=0 的两根为 x1， x2，则 x1+x 2=， x1x2=；若方程 x2+px+q=0 的两根为, , 则=，。2若方程 2x(x+3)=1 的两根分别为x1，x2，则 x1+x 2=，x1x2=，x12x2+ x1 x22=，2244=。x1+ x2 =，x2x13关于 x 的一元二次方程2x 23xa 21 0 的一个根为2，

5、则 a 的值为。4已知一元二次方程x2ax 2a0的两根之和为4a 3，则两根之积为。5当 m时，一元二次方程x 24 xm 0 有实根；当 m时，两根同为正；当 m时，两根异号。6以1 ,1为根的一元二次方程为。237已知 x1， x2 是方程 x26x30 的两个实数根，则x2x1 的值为。x1x28如果一元二次方程x2mx60的两个根分别比一元二次方程y 2my 60的两个根均大5，则 m 的值为。二、解答题：9不解方程，求下列各方程的两根之和与两根之积：(1)2x 230(2)x27x30(3)3x( x2)510 k 取何值时，方程 kx 2（ 2k+1 ）x+k=0 ，（1）有两个

6、不相等的实数根； （ 2）有两个相等的实数根；（ 3）无实数根11已知关于x 的方程 x 2(m2)x2m10 .（ 1）求证：方程有两个不相等的实数根；（ 2）当 m 为何值时，方程的两根互为相反数？并求出此时方程的解。12已知关于 x 的方程 x 2(2m 1) x m24 0 ，如果方程的两个不相等的实数根的平方和等于 15，求 m 的值。13已知关于 x 的一元二次方程x22xa 0 .（1）如果此方程有两个不相等的实数根，求a 的取值范围；（2）如果此方程有两个实数根为x1， x2，且满足 112 ，求 a 的值。x1x2314设 x1， x2 是关于 x 的一元二次方程 x 22a

7、x a24a 2 0 的两个实数根，当a 为何值时， x12x22有最小值？最小值是多少？自我检测 m+3mx+1=0 是关于 x 的一元二次方程，则（）1方程（ m+2） xA m2B m=2C m= 2D m=22已知关于 x 的方程1x2（ m 3） x+m 2 =0 有两个不相等的实数根，则m 的最大整数4值是（）A 2B 1C 0D13 k 为实数，则关于x 的方程 x2+2（ k+1 ）x+k 1=0 的根的情况是（）A 有两个不相等的实数根B有两个相等的实数根C无实数根D不能确定4已知关于 x 的方程（ 2m 1） x2 8x+4=0 有两个实数根，则非负整数m 的值为（）A 1

8、B 2C1或 2D0、1、25对任意实数 m，关于 x 的方程（ m2+1 ）x2 2mx+m 2+4=0 一定（）A 有两个不相等的实数根B有两个相等的实数根C无实数根D不能确定6若关于 x 的一元二次方程kx 2 2x+1=0 有实数根，则 k 的取值范围是（）A k 1B k1C k 1 且 k0 D k1且 k07若方程3x 2ax2b0 的两根和为 4，积为 2，则 a，b 分别为（）A 12 与-3B4 与 3C12 与 3D4与38已知一元二次方程ax 2bxc 0 ，若 ab c 0 ，则该方程一定有一个根为（）A 0B 1C 1D 29试证明：关于 x 的方程（ a2 8a+

9、20）x2+2ax+1=0 ，不论 a 取何值，该方程都是一元二次方程一元二次方程之判别式法与韦达定理（二）走进中考专题训练一、填空题1若方程（ m 1） x m +1 2x=3 是关于 x 的一元二次方程，则 m=_2对于方程 （ m 1）x2+（ m+1）x+3m+2=0 ，当 m_时，为一元一次方程； 当 m_时为一元二次方程3一元二次方程 ax2+bx+c=0 至少有一个根为零的条件是_ 21225如果 m 为任意实数，则一元二次方程 x mx+m +m+=0 的解的情况是 _ 236 k 1 时，关于 x 的方程 2（k+1 ） x2+4kx+2k 1=0 的根的情况是 _ 7若 x

10、=a（ a2）是关于 x 的一元二次方程（k 1） x2+2kx+k+3=0 的一个实数根，则k 的取值范围是 _ 8 若 关 于 x 的 方 程 （ m 1 ） x2 +2mx+m+3=0有两个不相等的实数根，则=_，则 m 的取值范围是 _ 二、选择题 m+3mx+1=0 是关于 x 的一元二次方程，则（）9方程（ m+2） xA m2B m=2C m= 2D m=210已知关于 x 的方程1x2（ m 3）x+m 2 =0 有两个不相等的实数根，则m 的最大整数4值是（）A 2B 1C 0D111 k 为实数，则关于x 的方程 x2+2（ k+1） x+k 1=0 的根的情况是（）A 有

11、两个不相等的实数根B 有两个相等的实数根C无实数根D 不能确定12已知关于 x 的方程（ 2m 1）x2 8x+4=0 有两个实数根，则非负整数m 的值为（）A 1B 2C1或2D0、1、213对任意实数 m，关于 x 的方程（ m2+1） x2 2mx+m 2+4=0 一定（）A 有两个不相等的实数根B 有两个相等的实数根C无实数根D 不能确定14已知关于 x 的方程（ b+c） x2+2 （ a c） x3 （a c） =0 有两个相等的实数根，则4以 a、 b、 c 为三边长的三角形是（）A 直角三角形B 等腰三角形C等边三角形D 不能确定15 若 关 于 x的 方 程 x2 （ 2k4

12、 ） x+k=0有两个不相等的实数根，则化简k+2+ k 24k4 的值为（）A 4B 2kC 4D 2k16若关于x 的一元二次方程kx2 2x+1=0 有实数根，则k 的取值范围是（）A k1B k1C k 1 且 k0 Dk1且 k0三、解答题17解关于x 的方程 2x2+（ 3m n） x 2m2+3mn n2=018若两个关于x 的方程 x2+x+a=0 与 x2+ax+1=0 有一个公共根，求a 的值19试证明：关于 x 的方程（ a28a+20）x2+2ax+1=0 ，不论 a 取何值，该方程都是一元二次方程21方程 x2（ k+1 ） x+ 1 k=0 能否有相等的实数根若有请

13、求出来422已知一元二次方程（ab2b）x2+2（ b a）x+2a ab=0 有两个相等的实数根，求11ab的值自我检测1. 下列方程中，两实数根之和等于2 的方程是（）A. x22x 3 0B. x22 x 3 0C. 2x 22x 3 0D. 3x 26x 1 02.如果一元二次方程x 23x20 的两个根为 x1、 x2 ，那么 x1x2 与 x1 x2的值分别为（）A. 3，2B.3， 2C.3， 2D.3， 23.如果方程 2x 26x30 的两个实数根分别为x1 、x2 ，那么 x1 x2 的值是（）A. 3B.3C.3D.3224.如果 x1 、 x2 是方程 x23x10 的

14、两个根，那么11的值等于（）x1x2A.3B. 3C.1D.1335.已知关于 x 的方程 x 2(k2)x6k0有两个相等的正实数根，则 k 的值是（）A.2B.10C.2或10D.2 56.若方程 x 28xm 0 两实数根的平方差为16，则 m 的值等于（）A. 3B. 5C. 15D.157.如果 x1、 x2 是两个不相等的实数，且满足x122x11 ， x222 x21 ，那么 x1 x2等于（）A. 2B.2C. 1D.18.对于任意实数 m，关于 x 的方程 (m21) x 22mx(m24)0 一定（）A. 有两个正的实数根B. 有两个负的实数根C. 有一个正实数根、一个负实数根D. 没有实数根