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1、一元二次方程根的分布一一元二次方程根的基本分布零分布所谓一元二次方程根的 零分布 ，指的是方程的根相对于零的关系。 比如二次方程有一正根，有一负根，其实就是指这个二次方程一个根比零大，一个根比零小，或者说，这两个根分布在零的两侧。设一元二次方程 ax 2bx c0（ a0 ）的两个实根为x1 ， x2 ，且 x1 x2 。b24ac0【定理 1】 x10 ， x20 (两个正根 )b，x1 x20ax1x2c0a推论 ： x10 ， x2 0ab24ac 0b24ac 00或 a0f (0)c 0f (0)c 0b0b0上述推论结合二次函数图象不难得到。【例 1】若一元二次方程(m1)x 22
2、(m1) xm0有两个正根， 求 m 的取值范围。4(m1)24m(m1) 0分析：依题意有2(m1)0 m 3）5【定理 3】 x10x2c0akx 2【例 3】 k 在何范围内取值，一元二次方程3kx k 3 0 有一个正根和一个负根？分析：依题意有k30 k 3kb10 ， x20c00 ；【定理 4】 x1且ba20 ， x2 0c 00 。 x1且a【例 4】 若一元二次方程kx2k1)xk30 有一根为零，则另一根是正根还(2是负根？分析： 由已知 k 3=0 ， k =3 ，代入原方程得 3 x2+5 x =0，另一根为负。二一元二次方程的非零分布k 分布设一元二次方程 ax 2
3、bx c0（ a0）的两实根为 x1 ， x2 ，且 x1 x2 。 k 为常数。则一元二次方程根的k 分布（即 x1 ， x2相对于 k 的位置）有以下若干定理。【定理 1】 k x1x2b 24ac0af (k)0bk2a【定理 2】 x1x2kb24ac 0af (k )。0bk2a【定理 3】 x1kx2af (k )0 。推论 1x10 x2ac 0 。推论 2x11 x2a(a b c) 0 。【定理 4】有且仅有 k1x1 （或 x2 ） k2f ( k1 ) f (k2 ) 0a0a0f ( k1 )0f (k1 ) 0【定理 5】 k1x1k2p1x2p2f ( k2 )0
4、或f (k2 )0f ( p1 ) 0f ( p1 ) 0f ( p2 )0f ( p2 ) 0此定理可直接由定理4 推出，请读者自证。b24ac0b24ac0a0a0【定理 6】 k1x1x2k2f ( k1 )0或f (k1 )0f ( k2 ) 0f (k2 ) 0k1bk1bk2k22a2a三、例题与练习【例 5】已知方程x211xm20 的两实根都大于1 ，求 m 的取值范围。（ 12 m129 ）4（ 2 ）若一元二次方程mx2( m1) x30 的两个实根都大于-1 ，求 m 的取值范围。（ m 2或m 5 2 6 ）（ 3）若一元二次方程mx2(m1)x30 的两实根都小于2
5、，求 m 的取值范围。（ m1 或 m526 ）2【例 6】 已知方程 x22mx2m230 有一根大于2，另一根比2 小，求 m 的取值范围。（ 12m12 ）222（ 2）已知方程x(m2)xm10 有一实根在0和 1 之间，求m的取值范围。2（ 1m2 ）23（3）已知方程2(2)210的较大实根在0 和 1 之间，求实数的取值范围。xmxmm变式：改为较小实根（不可能；1m2 ）（ 4 ）若方程 x 22(k2)xk0 的两实根均在区间（1 、 1）内，求 k 的取值范围。（42 3k1）（5）若方程 x22(k2) x2k10 的两根中， 一根在 0 和 1 之间，另一根在1和2之间
6、，求 k 的取值范围。（ 1k2）23（ 6 ） 已 知 关 于 x 的 方 程 (m1) x22mx m2m6 0的两根为、且 满 足01，求 m 的取值范围。（3m7 或 2 m7 ）【例 7】 已知关于 x 的二次方程 x2+2mx+2 m+1=0.(1)若方程有两根，其中一根在区间( 1， 0)内，另一根在区间(1， 2)内，求 m 的范围 .(2)若方程两根均在区间(0， 1)内，求 m 的范围 .本题重点考查方程的根的分布问题，解答本题的闪光点是熟知方程的根对于二次函数性质所具有的意义 .技巧与方法： 设出二次方程对应的函数，可画出相应的示意图，然后用函数性质加以限制.解： (1)
7、条件说明抛物线 f(x)=x2+2mx+2 m+1 与 x 轴的交点分别在区间 ( 1， 0)和 (1， 2) 内，画出示意图，得m12f ( 0)2m10,R,f ( 1)20,m51 .1mf (1)4m20,m,62f ( 2)6m5025m6f (0)0,f (1)0,(2)据抛物线与 x 轴交点落在区间 (0，1)内，列不等式组0,0m 1m 1 ,2m1( 这里 0 m1 是因为对称轴 x= m应在区间 (0 ， 1) 内通过 ),2m1或m12,21m0.练习 ：1 若方程 4x(m3)2xm 0 有两个不相同的实根，求m 的取值范围。提示：令 2x=t 转化为关于 t 的一元二
8、次方程有两个不同的正实根。答案：0 m 12 若关于x的方程 lg( x220x) lg(8 x 6a 3) 0 有唯一的实根， 求实数 a 的取值范围。x220 x0xx020提示：原方程等价于2即2x20 x8x 6a 3x12x6a3 0令 f ( x) = x2 +12 x +6 a +3(1)若抛物线 y = f ( x) 与 x 轴相切，有 =144 4(6 a +3)=0 即 a =11 。2将 a = 11 代入式有 x = 6 不满足式， a 11 。y22(2)若抛物线y = f ( x) 与 x 轴相交，注意到其对称轴为 x = 6，故交点的横坐标有且仅有一个满足式 6
9、O的充要条件是 20xf (20)01631f (0) 0解得6a。2当163a1 时原方程有唯一解。62另法：原方程等价于x2+20 x =8 x 6 a 3( x 0) 问题转化为： 求实数 a 的取值范围， 使直线 y =8 x y6 a 3 与抛物线 y = x2 +20x ( x 0) 有且只有一个公共点。163虽然两个函数图像都明确，但在什么条件下它们有且3只有一个公共点却不明显，可将变形为x2+12 x +3=20 6 O6 a ( x 0) ，再在同一坐标系中分别也作出x抛物线 y = x2 +12 x +3和直线 y = 6 a ，如图，显然当 3 6a 163 即163a1时直线 y = 6a 与抛物线有且只有一个公共点。623 已知f ( x) =( x a )( x b ) 2( a b ) ，并且，是方程f ( x) =0的两根( )，则实数 a ， b ， 、的大小关系是 ()A 、 a b B 、 a bC、 a b D、 a 0)的两个根都大于1 的充要条件是 ()A 、 0 且 f(1)0B、 f (1)0 且a2bC、 0 且a2，cb1aaD、 0 且 f (1)0 ，2。b
一元二次方程根的分布练习及答案.
