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1、 八年级数学八年级数学上上 新课标新课标 人人 学习新知学习新知检测反馈检测反馈第十四章第十四章 整式的乘法与因式分解整式的乘法与因式分解学学 习习 新新 知知 现在有一块边长为现在有一块边长为a米的正米的正方形草皮要建成街心公园方形草皮要建成街心公园, ,但在但在运输的过程中一角遭到损坏运输的过程中一角遭到损坏, ,使使得正方形草皮一角有边长为得正方形草皮一角有边长为b米米的小正方形草皮无法使用的小正方形草皮无法使用, ,请你请你帮助设计一下帮助设计一下, ,将不规则草皮通将不规则草皮通过剪拼变成规则的图形来建成过剪拼变成规则的图形来建成街心公园街心公园, ,看谁的方法多看谁的方法多! !【
2、小小设计师】【小小设计师】 计算下列多项式的积,你能发现它们的运算形式与结果有什么规律吗?一、公式的推导(1)(x+1)(x-1);(2)(m+2)(m-2);(3)(2x+1)(2x-1). 解：(1)(x+1)(x-1) =x 2-x+x-1 =x 2-1.(2)(m+2)(m-2) =m 2-2m+2m-4 =m2-4.(3)(2x+1)(2x-1) =4x 2-2x+2x-1 =4x 2-1. 上面几个算式都是形如a+b的多项式与形如a-b的多项式相乘.(a+b)(a-b)解:(a+b)(a-b)=a2-ab+ab-b2=a2-b2. 平方差公式:(a+b)(a-b)=a 2-b 2.
3、 两个数的和乘以这两个数的差等于这两个数的平方差.这个公式叫做(乘法的)平方差公式. 公式的结构特征:(1)公式左边是两 个二项式相乘,并且这两个二项式中有一项完全相同,另一项互为相反数.(2)公式右边是二项式中的两项的平方差,即相同项的平方减去相反项的平方. (3)平方差公式的推导体现了从特殊 到一般的数学思想方法.知识拓展例1 运用平方差公式计算.(1)(3x+2)(3x-2);(2)(-x+2y )(-x-2y ).(a+b)(a-b)aba2-b2最后结果最后结果(3x+2)(3x-2) 2(3x)2-22 (-x+2y)(-x-2y) 3x-x2y22()(2 )xy294x 224
4、xy 解：解：(1) (3x+2)(3x-2) =(3x)2-22=9x2-4(2) (-x+2y)(-x-2y)=(-x)2-(2y)2=x2-4y2解析：解析：运用运用平方差公式进行数的简便运算的关键是根平方差公式进行数的简便运算的关键是根据数的形式特征据数的形式特征, ,把相乘的两数化成两数和与两数差把相乘的两数化成两数和与两数差的乘积的乘积形式形式例2 计算.(1)(y+2)(y-2)-(y-1)(y+5); (2)10298.解：（1）原式=y2-4-(y2+4y-5) =y2-4-y2-4y+5 =-4y+1(2)原式=(100+2)(100-2) =1002-22 =10000-
5、4 =99961.平方差公式: (a+b)(a-b)=a 2-b 2.2.应用平方差公式计算时,应注意以下几个问题:(1)左边是两个二项式相乘,并且这两个 二项式有一项完全相同,另一项互为相 反数.知识小结 (2)右边是相同项的平方减去相反项的平方.(3)公式中的a,b可以看作是具体的数,也可以是单项式或多项式.(4)对形如两数和与这两数差相乘的算式,都可以运用这个公式计算,相比用多项式乘以多项式法则简便.C1.下列运用平方差公式计算,错误的是 ()A.(a+b)(a-b)=a 2-b 2B.(x+1)(x-1)=x 2-1C.(2x+1)(2x-1)=2x 2-1D.(-a+b)(-a-b)
6、=a 2-b 2解析: 根据平方差公式得(2x+1)(2x-1)=4x 2-1,所以C答案错误.故选C.检测反馈检测反馈A2.计算(2a+b)(2a-b)的结果是() A.4a 2-b 2B.b 2- 4a 2 C.2a 2-b 2D.b 2-2a 2解析: (2a+b)(2a-b)=(2a)2-b 2=4a 2-b 2.故选A.3.下列各式能利用平方差公式计算的是 ()A.(2x-3y )(3x+2y )B.(-2x-3y )(2x+3y )C.(2x+y-1)(-2x+y+1)D.(x-2y-1)(-x+2y+1)解析: A,A,两项不符合平方差公式两项不符合平方差公式, ,故故A A错误
7、错误;B,;B,两项均互为相反数两项均互为相反数, ,不符合平方差公式不符合平方差公式, ,故故B B错误错误;C;C,(2x+y-1)(-2x+y+1)=y+(2x-1)y-(2(2x- -1),1),两项中一项完全相同两项中一项完全相同, ,另一项互为相反另一项互为相反数数, ,符合平方差公式符合平方差公式, ,故故C C正确正确;D,;D,两项都是互两项都是互为相反数为相反数, ,不符合平方差公式不符合平方差公式. .故选故选C.C.C4.运用乘法公式计算.(1)19972003;(2)(-3a+2b)(3a+2b);(3)(2b-3a)(-3a-2b).解析: 直接利用平方差公式进行计算,先找到相同的项,再找到互为相反数的项,利用相同项的平方减去相反项的平方.解 : (1)原式=(2000-3)(2000+3) =2000 2-3 2 =4000000-9 =3999991.(2)原式=(2b)2-(3a)2 =4b 2-9a 2.(3)原式=(-3a)2-(2b)2 =9a 2-4b 2.必做题 教材第108页练习第1,2题.选做题 教材第112页习题14.2第1题.布置作业
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