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1、会计学1第二第二(d r) 高阶导数高阶导数第一页，共20页。二、 高阶导数(do sh)求法举例1.1.直接直接(zhji)(zhji)法法: :由高阶导数的定义由高阶导数的定义(dngy)逐步求高阶导逐步求高阶导数数.例例1 1).0(),0(,arctanffxy 求求设设解解211xy )11(2 xy22)1(2xx )1(2(22 xxy322)1()13(2xx 022)1(2)0( xxxf; 0 0322)1()13(2)0( xxxf. 2 第1页/共20页第二页，共20页。例例2 2.),()(nyRxy求求设设 解解1 xy)(1 xy2)1( x)1(2 xy3)2)
2、(1( x)1()1()1()( nxnynn则则为自然数为自然数若若,n )()()(nnnxy , !n ) !()1( nyn. 0 第2页/共20页第三页，共20页。例例3)(1110nnnnnyaxaxaxay求求 解解1221102)1( nnnnaxaxanxnay231202)2)(1()1( nnnaxannxannyknknknkakxaknnnxaknnny !)()2)(1()1()1(110)(0)(!anyn 第3页/共20页第四页，共20页。注意注意(zh (zh y):y): 求求n n阶导数阶导数(do sh)(do sh)时时, ,求出求出1-31-3或或4
3、 4阶后阶后, ,不要不要急于合并急于合并, ,分析结果的规律性分析结果的规律性, ,写出写出n n阶导数阶导数(do (do sh).(sh).(数学归纳法证明数学归纳法证明)逐阶求导，寻求规律，逐阶求导，寻求规律，写出通式写出通式例例4 4.),1ln()(nyxy求求设设 解解xy 112)1(1xy 3)1(! 2xy 4)4()1(! 3xy )1! 0, 1()1()!1()1(1)( nxnynnn第4页/共20页第五页，共20页。例例5 5.,sin)(nyxy求求设设 解解xycos )2sin( x)2cos( xy)22sin( x)22sin( x)22cos( xy)
4、23sin( x)2sin()( nxyn同理可得同理可得)2cos()(cos)( nxxn第5页/共20页第六页，共20页。例例6 6.),(sin)(naxybabxey求求为常数为常数设设 解解bxbebxaeyaxaxcossin )cossin(bxbbxaeax )arctan()sin(22abbxbaeax )cos()sin(22 bxbebxaebayaxax)2sin(2222 bxbaebaax)sin()(222)( nbxebayaxnn)arctan(ab 第6页/共20页第七页，共20页。2. 高阶导数的运算高阶导数的运算(yn sun)法则法则:则则阶导数阶
5、导数具有具有和和设函数设函数,nvu)()()()()1(nnnvuvu )()()()2(nnCuCu )()()()(nnnvuvu )()(0)()()()2()1()()(!)1()1(! 2)1()()3(kknnkknnkknnnnnvuCuvvukknnnvunnvnuvuvu 莱布尼兹公式莱布尼兹公式(gngsh)第7页/共20页第八页，共20页。例例7 7.,)20(22yexyx求求设设 解解则由莱布尼兹公式知则由莱布尼兹公式知设设,22xveux 0)()(! 2)120(20)()(20)(2)18(22)19(22)20(2)20( xexexeyxxx22! 219
6、20222022182192220 xxxexexe)9520(22220 xxex第8页/共20页第九页，共20页。例例8)0(arctan)()(nfxxf，求，求设设 解解得得由由211)(xxf 1)()1(2 xfx由由Lebniz公式公式(gngsh)，两边求，两边求 n 阶导数，有阶导数，有0)()1()(2 nxfx0)1()(! 2)1()1()()1()(2)2(2)1(2)( xxfnnxxfnxxfnnn0)()1()(2)()1()1()()1(2 xfnnxnxfxfxnnn第9页/共20页第十页，共20页。得得令令0 x0)0()1()0()1()1( nnfnn
7、f注意到注意到1)0(, 0)0( ff0)0()2( nf)!2()1()0()12(nfnn 注注这一解法的特点：找到了这一解法的特点：找到了xyarctan 的连续三阶导数之间的关系，利用的连续三阶导数之间的关系，利用0 x得到两相隔导数之间的关系，解决问题得到两相隔导数之间的关系，解决问题 第10页/共20页第十一页，共20页。3.3.间接间接(jin (jin ji)ji)法法: : 利用已知的高阶导数公式利用已知的高阶导数公式, 通过四则通过四则运算运算, 变量代换等方法变量代换等方法, 求出求出n阶导数阶导数.常用常用(chn yn)高阶导数公式高阶导数公式)0(ln)()1()
8、( aaaanxnxxnxee )()()2sin()(sin)2()( nkxkkxnn)2cos()(cos)3()( nkxkkxnnnnxnx )1()1()()4()(nnnxnx)!1()1()(ln)5(1)( 1)(!)1()1( nnnxnx第11页/共20页第十二页，共20页。例例9 9.,11)5(2yxy求求设设 解解)1111(21112 xxxy)1(! 5)1(! 52166)5( xxy)1(1)1(16066 xx第12页/共20页第十三页，共20页。例例1010.,cossin)(66nyxxy求求设设 解解3232)(cos)(sinxxy )coscos
9、sin)(sincos(sin422422xxxxxx xxxx22222cossin3)cos(sin x2sin4312 24cos1431x x4cos8385 ).24cos(483)( nxynn第13页/共20页第十四页，共20页。例例11试从试从ydydx 1导出导出322)(yydyxd 5233)()(3yyyydyxd 解解)()(yxxyy yxy 得得由由ydydx 1)1()(22ydyddydxdyddyxd 第14页/共20页第十五页，共20页。dydxydxd )1(yyy 1)(123)(yy )(2233dyxddyddyxd )(3yydyd dydxyy
10、dxd )(3yyyyyyy 1)()(3)(62352)()(3yyyy 第15页/共20页第十六页，共20页。注注关于关于(guny)抽象函数求导数，必须注意并分清是对哪抽象函数求导数，必须注意并分清是对哪一个变量来求导数，尤其是求高阶导数。一个变量来求导数，尤其是求高阶导数。yydxyddxdy ,22都是对都是对 x 求导求导)( )(22xfxf 的导数的导数对对复合函数复合函数xxfyxf)( )(22 代回代回求导数再用求导数再用对对即是即是22)()()(2xuuufyufxfxu 第16页/共20页第十七页，共20页。三、小结(xioji)高阶导数的定义高阶导数的定义(dng
11、y)及物理意义及物理意义;高阶导数高阶导数(do sh)的运算法则的运算法则(莱布尼兹公莱布尼兹公式式);n阶导数的求法阶导数的求法;1.直接法直接法;2.间接法间接法.第17页/共20页第十八页，共20页。思考题思考题设设 连续，且连续，且 ，)(xg )()()(2xgaxxf 求求 .)(af 第18页/共20页第十九页，共20页。思考题解答思考题解答(jid)(xg可导可导)()()()(2)(2xgaxxgaxxf )(xg 不一定存在不一定存在故用定义求故用定义求)(af )(af axafxfax )()(lim0)( afaxxfax )(lim)()()(2limxgaxxgax )(2ag 第19页/共20页第二十页，共20页。
第二 高阶导数学习教案
