D数项级数及审敛法同济大学高等数学上实用教案

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1、一、正项级数一、正项级数(j sh)及其审及其审敛法敛法若,0nu1nnu定理(dngl) 1. 正项级数1nnu收敛(shulin)部分和序列nS),2, 1(n有界 .若1nnu收敛 , ,收敛则nS,0nu部分和数列nSnS有界, 故nS1nnu从而又已知故有界.则称为正项级数 .单调递增, 收敛 , 也收敛.证: “ ”“ ”机动 目录 上页 下页 返回 结束 第1页/共32页第一页，共33页。,Zn,nnvku 都有定理定理(dngl)2 (比较比较审敛法审敛法)设,1nnu1nnv且存在(cnzi),ZN对一切(yqi),Nn 有(1) 若强级数1nnv则弱级数1nnu(2) 若弱

2、级数1nnu则强级数1nnv证:设对一切和令nSn则有收敛 ,也收敛 ;发散 ,也发散 .分别表示弱级数和强级数的部分和, 则有nnvku 是两个正项级数, (常数 k 0 ),因在级数前加、减有限项不改变其敛散性, 故不妨机动 目录 上页 下页 返回 结束 第2页/共32页第二页，共33页。(1) 若强级数(j sh)1nnv则有nn lim因此(ync)对一切,Zn有nS由定理(dngl) 1 可知,1nnu则有(2) 若弱级数1nnu,limnnS因此,limnn这说明强级数1nnv也发散 .knSnk也收敛 .发散,收敛,弱级数机动 目录 上页 下页 返回 结束 第3页/共32页第三页

3、，共33页。例例1. 讨论讨论(toln) p 级数级数pppn131211(常数(chngsh) p 0)的敛散性. 解: 1) 若, 1p因为(yn wi)对一切,Zn而调和级数11nn由比较审敛法可知 p 级数11npnn1发散 .发散 ,pn1机动 目录 上页 下页 返回 结束 第4页/共32页第四页，共33页。, 1p因为(yn wi)当nxn1,11ppxn故nnppxnn1d11nnpxx1d1111) 1(111ppnnp考虑(kol)强级数1121) 1(1ppnnn的部分(b fen)和n111) 1(11ppnkkkn故强级数收敛 , 由比较审敛法知 p 级数收敛 .时,

4、1) 1(11pn11111) 1(113121211pppppnn12) 若若机动 目录 上页 下页 返回 结束 第5页/共32页第五页，共33页。调和级数与调和级数与 p 级数是两个级数是两个(lin )常常用的比较级数用的比较级数.若存在(cnzi),ZN对一切(yqi),Nn ,1) 1(nun, ) 1(1)2(pnupn.1收敛则nnu;1发散则nnu机动 目录 上页 下页 返回 结束 第6页/共32页第六页，共33页。证明(zhngmng)级数1) 1(1nnn发散(fsn) .证: 因为(yn wi)2) 1(1) 1(1nnn),2, 1(11nn而级数111nn21kk发散

5、根据比较审敛法可知,所给级数发散 .例例2.2.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第7页/共32页第七页，共33页。定理定理3. (比较审敛法的极限比较审敛法的极限(jxin)形式形式),1nnu1nnv,limlvunnn则有两个(lin )级数同时收敛或发散 ;(2) 当 l = 0 ,1收敛时且nnv;1也收敛nnu(3) 当 l = ,1发散时且nnv.1也发散nnu证: 据极限(jxin)定义, 0对,ZN存在lnnvu)(l设两正项级数满足(1) 当 0 l 时,时当Nn 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第8页/共32页第八页，共33页。nnnvluvl)()(, l取由定理

6、(dngl) 2 可知与1nnu1nnv同时收敛(shulin)或同时发散 ;)(Nn ),()(Nnvlunn利用(3) 当l = 时,ZN存在,时当Nn ,1nnvu即nnvu由定理(dngl)2可知, 若1nnv发散 , ;1也收敛则nnu(1) 当0 l 时,(2) 当l = 0时,由定理2 知1nnv收敛 , 若.1也发散则nnu机动 目录 上页 下页 返回 结束 第9页/共32页第九页，共33页。,nunv,limlvunnn是两个(lin )正项级数, (1) 当 时,l0两个(lin )级数同时收敛或发散 ;特别(tbi)取,1pnnv 可得如下结论 :对正项级数,nu,1pl

7、0lnnnlimpn,1pl0发散nu(2) 当 且 收敛时,0lnv(3) 当 且 发散时, lnv也收敛 ;nu也发散 .nu收敛nu机动 目录 上页 下页 返回 结束 第10页/共32页第十页，共33页。的敛散性. nnn1lim例例3. 判别判别(pnbi)级数级数11sinnn的敛散性 .解: nlim sin1nn11根据比较(bjio)审敛法的极限形式知.1sin1发散nn例4. 判别(pnbi)级数1211lnnn解:nlim221limnnn1根据比较审敛法的极限形式知.11ln12收敛nnnn1sin)1ln(21n21n2n211lnn机动 目录 上页 下页 返回 结束

8、第11页/共32页第十一页，共33页。nnnuu1lim由定理定理4 . 比值比值(bzh)审敛法审敛法 ( Dalembert 判别法判别法)设 nu为正项(zhn xin)级数, 且,lim1nnnuu则(1) 当1(2) 当1证: (1),1时当11nnuunnuu)(112)(nu1)(NNnu, 1使取收敛(shulin) ,.收敛nu时, 级数收敛 ;或时, 级数发散 .,ZN知存在,时当Nn k)(由比较审敛法可知机动 目录 上页 下页 返回 结束 第12页/共32页第十二页，共33页。,1时或, 0,NuZN必存在, 11nnuu,0limNnnuu因此(ync)所以级数(j

9、sh)发散.Nn 当时(2) 当当nnuu11nuNu1lim1nnnuu说明(shumng): (shumng): 当时,级数可能收敛也可能发散.例如, , p 级数:11npnnnnuu1limppnnn1) 1(1lim1但, 1p级数收敛 ;, 1p级数发散 .从而机动 目录 上页 下页 返回 结束 第13页/共32页第十三页，共33页。 limn例例5. 讨论讨论(toln)级数级数)0(11xxnnn的敛散性 .解: nnnuu1limnxn) 1( 1nxnx根据定理(dngl)4可知:,10时当 x级数(j sh)收敛 ;,1时当 x级数发散 ;.1发散级数nn,1时当 x机动

10、 目录 上页 下页 返回 结束 第14页/共32页第十四页，共33页。对任意给定(i dn)的正数 ,limnnnu定理定理(dngl)5. 根值审敛法根值审敛法 ( Cauchy判别法判别法)设 1nnu为正项级,limnnnu则;,1) 1(级数收敛时当 .,1)2(级数发散时当 证明(zhngmng)提示: ,ZN存在nnu有时当,Nn 即nnnu)()(分别利用上述不等式的左,右部分, 可推出结论正确., )1(1111数, 且机动 目录 上页 下页 返回 结束 第15页/共32页第十五页，共33页。时 , 级数(j sh)可能收敛也可能发散 .1例如(lr) , p 级数 :11pn

11、npnnnnu1)(1n说明说明(shumng) :,1pnnu 但, 1p级数收敛 ;, 1p级数发散 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 第16页/共32页第十六页，共33页。例例6. 证明证明(zhngmng)级数级数11nnn收敛(shulin)于S ,似代替和 S 时所产生(chnshng)的误差 . 解: : nnnnnu1n1)(0n由定理5可知该级数收敛 .令,nnSSr则所求误差为21)2(1) 1(10nnnnnr21) 1(1) 1(1nnnn1) 1(1nnnnn) 1(11111n并估计以部分和 Sn 近 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第17页/共32页第十七

12、页，共33页。二二 、交错、交错(jiocu)级数级数及其审敛法及其审敛法 则各项符号正负相间(xingjin)的级数nnuuuu1321) 1(称为交错(jiocu)级数 .定理6 . ( Leibnitz 判别法 ) 若交错级数满足条件:则级数; ),2, 1() 11nuunn,0lim)2nnunnnu11) 1(收敛 , 且其和 ,1uS 其余项满足.1nnur,2, 1,0nun设机动 目录 上页 下页 返回 结束 第18页/共32页第十八页，共33页。证: )()()(21243212nnnuuuuuuS)()()(1222543212nnnuuuuuuuS1u是单调(dndio

13、)递增有界数列,nS212limuSSnn又)(limlim12212nnnnnuSSnnS2lim故级数(j sh)收敛于S, 且,1uS :的余项nS0nu2nnSSr)(21nnuu21nnnuur1nu故S机动(jdng) 目录 上页 下页 返回 结束 第19页/共32页第十九页，共33页。收敛(shulin)收敛(shulin)nn1) 1(4131211) 11!1) 1(!41!31!211)21nn用用Leibnitz 判别判别(pnbi)法判别法判别(pnbi)下列级数下列级数的敛散性的敛散性:nnn10) 1(104103102101) 31432收敛上述级数各项取绝对值后

14、所成的级数是否收敛 ?;1) 11nn;!1)21nn.10) 31nnn发散收敛收敛 ! ) 1(1 n!1n11 nnnuu1 101 1nnnn10 nn1101 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第20页/共32页第二十页，共33页。三、绝对三、绝对(judu)收敛与收敛与条件收敛条件收敛 定义(dngy): 对任意项级数,1nnu若若原级数(j sh)收敛, 但取绝对值以后的级数(j sh)发散, 则称原级111) 1(nnn,! ) 1(1) 1(11nnn1110) 1(nnnn1nnu收敛 ,1nnu数1nnu为条件收敛 .均为绝对收敛.例如 ：绝对收敛 ；则称原级数条件收敛

15、 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 第21页/共32页第二十一页，共33页。定理定理7. 绝对收敛绝对收敛(shulin)的级数一的级数一定收敛定收敛(shulin) .证: 设1nnunv),2,1(n根据(gnj)比较审敛法显然(xinrn),0nv1nnv收敛,收敛12nnvnnnuvu 2,1nnu1nnu也收敛)(21nnuu 且nv,nu收敛 ,令机动 目录 上页 下页 返回 结束 第22页/共32页第二十二页，共33页。例例7. 证明下列证明下列(xili)级数绝级数绝对收敛对收敛 :.) 1()2(;sin) 1 (1214nnnnennn证: (1),1sin44nnn而

16、141nn收敛(shulin) ,14sinnnn收敛(shulin)因此14sinnnn绝对收敛 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 第23页/共32页第二十三页，共33页。(2) 令,2nnenu nnnuu1lim limn12) 1(nennen2211limnnen11e因此(ync)12) 1(nnnen12) 1(nnnen收敛(shulin),绝对(judu)收敛.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第24页/共32页第二十四页，共33页。其和分别(fnbi)为 绝对收敛级数与条件收敛级数具有完全绝对收敛级数与条件收敛级数具有完全(wnqun)不同的性质不同的性质.*定理定理

17、8. 绝对收敛级数绝对收敛级数(j sh)不因改变项的位置而改变其和不因改变项的位置而改变其和. ( P203 定理9 )说明: 证明参考 P203P206, 这里从略.*定理9. ( 绝对收敛级数的乘法 ).S则对所有乘积 jivu1nnw按任意顺序排列得到的级数也绝对收敛,设级数1nnv1nnu与都绝对收敛,S其和为但需注意条件收敛级数不具有这两条性质. (P205 定理10) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第25页/共32页第二十五页，共33页。内容内容(nirng)小结小结1. 利用部分(b fen)和数列的极限判别级数的敛散性2. 利用(lyng)正项级数审敛法必要条件0lim

18、nnu不满足发 散满足比值审敛法 limn1nunu根值审敛法nnnulim1收 敛发 散1不定 比较审敛法用它法判别积分判别法部分和极限1机动 目录 上页 下页 返回 结束 第26页/共32页第二十六页，共33页。3. 任意任意(rny)项级数项级数审敛法审敛法为收敛(shulin)级数1nnu设Leibniz判别(pnbi)法:01nnuu0limnnu则交错级数nnnu1) 1(收敛概念:,1收敛若nnu1nnu称绝对收敛,1发散若nnu条件收敛1nnu称机动 目录 上页 下页 返回 结束 第27页/共32页第二十七页，共33页。思考思考(sko)与练习与练习设正项级数(j sh)1nn

19、u收敛(shulin), 能否推出12nnu收敛 ?提示:nnnuu2limnnu lim0由比较判敛法可知12nnu收敛 .注意:反之不成立.例如,121nn收敛 ,11nn发散 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 第28页/共32页第二十八页，共33页。 作业作业(zuy) P206 1 (1), (3), (5) ; 2 (2), (3), (4) ; 3 (1), (2) ; 4 (1), (3), (5), (6) ; 5 (2), (3), (5)第三节 目录(ml) 上页 下页 返回 结束 第29页/共32页第二十九页，共33页。备用备用(biyng)题题;) 1ln(1) 1

20、 (1nn1. 判别(pnbi)级数的敛散性:.1)2(1nnnn解: (1),) 1ln(nnnn1) 1ln(111nn发散(fsn) ,故原级数发散 .11npnp:级数不是 p级数(2)nlimnnn1lim111nn发散 ,故原级数发散 .nnn1n1机动 目录 上页 下页 返回 结束 第30页/共32页第三十页，共33页。2. ), 3,2, 1(0nun设, 1limnunn且则级数(j sh).() 1(11111nnuunn(A) 发散 ; (B) 绝对(judu)收敛;(C) 条件(tiojin)收敛 ; (D) 收敛性根据条件(tiojin)不能确定.分析:, 1limn

21、unn由,11nun知 (B) 错 ;)(2111uunS又)(3211uuC)(4311uu)(5411uu)() 1(1111nnuun11111) 1(nunu机动 目录 上页 下页 返回 结束 第31页/共32页第三十一页，共33页。感谢您的欣赏(xnshng)！第32页/共32页第三十二页，共33页。NoImage内容(nirng)总结一、正项级数及其审敛法。定理 1. 正项级数。第1页/共32页。第2页/共32页。由比较审敛法可知(k zh) p 级数。第5页/共32页。同时收敛或同时发散。时,级数可能收敛也可能发散.。分别利用上述不等式的左,右部分, 可推出结论正确.。并估计以部分和 Sn 近。用Leibnitz 判别法判别下列级数的敛散性:。上述级数各项取绝对值后所成的级数是否收敛。例7. 证明下列级数绝对收敛 :。1. 利用部分和数列的极限判别级数的敛散性第三十三页，共33页。