《工科数学分析-数集和确界原理.》由会员分享，可在线阅读，更多相关《工科数学分析-数集和确界原理.（5页珍藏版）》请在装配图网上搜索。
1、数学分析上册教案第一章 实数集与函数石家庄经济学院数理学院1.2 数集和确界原理授课章节：第一章实数集与函数 - 1.2 数集和确界原理教学目标：使学生掌握确界原理，建立起实数确界的清晰概念.教学要求： (1) 掌握邻域的概念；(2) 理解实数确界的定义及确界原理，并在有关命题的证明中正确地加以运用.教学重点：确界的概念及其有关性质（确界原理）.教学难点：确界的定义及其应用.教学方法：讲授为主 .教学过程：先通过练习形式复习上节课的内容，以检验学习效果，此后导入新课 . 一、 区间与邻域(一) 区间（用来表示变量的变化范围）设 a,bR 且 ab.? 有限区间区间 ? ，其中? 无限区间? .
2、? 开区间 : x R|axb=(a,b)? 有限区间 ? 闭区间 : x R|a x b=a,b.? 闭开区间 :x R|a xb=a,b)? 半开半闭区间 ? 开闭区间:x R|aa=(a,+ ).? x R|xa=(- ,a)?.? x R|- x0，满足不等式 |x-a| 的全体实数 x 的集合称为点 a 的邻域，记作 U(a; )，或简记为 U(a)，即6数学分析上册教案 第一章 实数集与函数 石家庄经济学院数理学院 U(a; )=x|x-a| =(a- ,a+ ).2、点 a 的空心 邻域U(a; )=x0|x- a| =(a- ,a)? (a,a+ ) U(a). oo3、 a
3、的 右邻域和点 a 的空心 右邻域U+(a; )=a,a+ ) U+(a)=xa xa+ ;U+(a; )=(a,a+ ) U+(a)=xaxa+ .004、点 a 的 左邻域和点 a 的空心 左邻域U-(a; )=(a- ,a U-(a)=xa- x a;U(a; )=(a- ,a) U+(a)=xa- xM, （其中 M 为充分大的正数）；U(+ )=xxM, U( - )=xx0 ，按定义，对任意 n0N+，都有 n0M，这是不可能的，如取 n0=M+1, 则 n0 N+，且 n0M.综上所述知： N+是有下界无上界的数集，因而是无界集.例 2 证明：（ 1）任何有限区间都是有界集；（
4、2）无限区间都是无界集；（ 3）由有限个数组成的数集是有界集 .问题：若数集 S 有上界，上界是唯一的吗？对下界呢？(答：不唯一 ，有无穷多个).三、 确界与确界原理1、定义定义 2（上确界） 设 S 是 R 中的一个数集，若数 满足： (1) 对一切 x S,有 x （即 是 S 的上界） ; (2) 对任何 （即 是 S 的上界中最小的一个），则称数 为数集 S 的上确界，记作=supS.定义 2（上确界的等价定义）设E 是 R 中的一个数集，若数M 满足：1） M 是 E上界，2） ? 0,? x E 使得 x则称数 M 为数集 E 的上确界。定义 3（下确界） 设 S 是 R 中的一个
5、数集，若数 满足：（ 1）对一切 xS,有x（即 是 S 的下界）；（ 2）对任何 ，存在 x0S，使得 x0（即 是 S 的下界中最大的一个），则称数 为数集 S 的下确界，记作=infS.定义 3（下确界的等价定义）设S 是 R 中的一个数集，若数满足：1） 是 S 下界；2） ? 0， x0S,有 x0 +.则称数 为数集 S 的下确界。上确界与下确界统称为确界.注： 非空有界数集的上（或下）确界是唯一的.命题 设数集 A 有上（下）确界，则这上（下）确界必是唯一的.8 M- .数学分析上册教案第一章 实数集与函数石家庄经济学院数理学院证明 设 =supA， =supA且 ，则不妨设 =
6、supA? xA 有 x =supA? 对 ，? x0A 使 n；2）存在 x1S，有 x n+1；把区间 (n,n+1等分，分点为n.1， .2， ,.9, 存在 n1，使得1） ? S，有； xn.n1；2）存在 x2S，使得 x2 n.n1+再对开区间 (n.n1,n.n1+10110 等分，同理存在n2，使得1）对任何 xS，有 xn.n1n2；x n.n1n2+2）存在 x2，使 21102继续重复此步骤，知对任何k=1,2, ，存在 nk 使得1）对任何 xS，xn.n1n2 nk-110k；2）存在 xkS，xk n.n1n2 nk因此得到 =n.n1n2 nk以下证明 =infS1) 对任意 xS，x；2) 对任何 ，存在 xS 使 x作业： P9 1（ 2），（ 3）； 2； 4（1）、（ 3）； 6 10
工科数学分析-数集和确界原理.
