高中数学 函数y=Asin（）的图象及三角函数模型的简单应用课件 新人教A版

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1、 要点梳理要点梳理1.1.用五点法画用五点法画y y= =A Asin(sin(x x+ +) )一个周期内的简一个周期内的简 图时，要找五个特征点图时，要找五个特征点. .如下表所示如下表所示. . x x 0 0 A A 0 0 - -A A 0 002232x0 02232)sin(xAy基础知识基础知识 自主学习自主学习函数函数y=Asin(x+)的图象及三角函数模型的简单应用的图象及三角函数模型的简单应用2.2.函数函数y y=sin =sin x x的图象经变换得到的图象经变换得到y y= =A Asin(sin(x x+ +) ) 的图象的步骤如下的图象的步骤如下: :个单位长度

2、平移右向左|)(倍的各点的横坐标变为原来1各点的纵坐标变为原来的各点的纵坐标变为原来的A A倍倍倍的各点的横坐标变为原来1个单位长度平移右向左)(各点的纵坐标变为原来的各点的纵坐标变为原来的A A倍倍 以上两种方法的区别以上两种方法的区别: :方法一先平移再伸缩方法一先平移再伸缩; ;方方 法二先伸缩再平移法二先伸缩再平移. .特别注意方法二中的平移量特别注意方法二中的平移量. .3.3.当函数当函数y y= =A Asin(sin(x x+ +)()(A A0,0,0,0,x x(0,+)(0,+) 表示一个振动时，表示一个振动时，A A叫做叫做 ， 叫做叫做 ， 叫做叫做 ，x x+ +叫

3、做叫做 ， 叫做叫做 . .4.4.三角函数的图象和性质三角函数的图象和性质. .振幅振幅2T周期周期Tf1相位相位初相初相频率频率5.5.三角函数模型的应用三角函数模型的应用 (1)(1)根据图象建立解析式或根据解析式作出图象根据图象建立解析式或根据解析式作出图象. . (2) (2)将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函 数模型数模型. . (3) (3)利用收集到的数据作出散点图，并根据散点利用收集到的数据作出散点图，并根据散点 图进行函数拟合，从而得到函数模型图进行函数拟合，从而得到函数模型. .基础自测基础自测1.1.（20092009湖南理，湖

4、南理，3 3）将函数将函数y y=sin =sin x x的图象向的图象向 左平移左平移(0(02)2)个单位后，得到函数个单位后，得到函数 的图象，则的图象，则等于（等于（ ） A. B. C. D.A. B. C. D. 解析解析 将函数将函数y y=sin =sin x x的图象向左平移的图象向左平移(0(0 2)2)个单位得到函数个单位得到函数y y=sin(=sin(x x+ +),),在在A A、B B、C C、 D D四项中，只有四项中，只有)6sin(xy66567611)611sin(611xy时有).6sin(xD2.2.为了得到函数为了得到函数 x xR R的图象，只的图

5、象，只 需把函数需把函数y y=2sin =2sin x x, ,x xR R的图象上所有的点的图象上所有的点( )( ) A. A.向左平移向左平移 个单位长度，再把所得各点的横个单位长度，再把所得各点的横 坐标缩短到原来的坐标缩短到原来的 倍（纵坐标不变）倍（纵坐标不变） B.B.向右平移向右平移 个单位长度，再把所得各点的横个单位长度，再把所得各点的横 坐标缩短到原来的坐标缩短到原来的 倍（纵坐标不变）倍（纵坐标不变） C.C.向左平移向左平移 个单位长度，再把所得各点的横个单位长度，再把所得各点的横 坐标伸长到原来的坐标伸长到原来的3 3倍（纵坐标不变）倍（纵坐标不变） D.D.向右平

6、移向右平移 个单位长度，再把所得各点的横坐个单位长度，再把所得各点的横坐 标伸长到原来的标伸长到原来的3 3倍（纵坐标不变）倍（纵坐标不变）),63sin(2xy63163166解析解析 将将y y=2sin =2sin x x的图象向左平移的图象向左平移 个单位得到个单位得到y y=2sin =2sin 的图象，将的图象，将y y=2sin =2sin 图象上各图象上各点横坐标变为原来的点横坐标变为原来的3 3倍（纵坐标不变），则得倍（纵坐标不变），则得到到 的图象，故选的图象，故选C.C.答案答案 C C6)6(x)6(x)631sin(2xy3.3.已知函数已知函数f f( (x x)=

7、)=a asinsin x x- -b bcoscos x x( (a a、b b为常数，为常数， a a0,0,x xR R) )在在 处取得最小值，则函数处取得最小值，则函数 A.A.偶函数且它的图象关于点（偶函数且它的图象关于点（，0 0）对称）对称B.B.偶函数且它的图象关于点偶函数且它的图象关于点 对称对称C.C.奇函数且它的图象关于点奇函数且它的图象关于点 对称对称D.D.奇函数且它的图象关于点（奇函数且它的图象关于点（，0 0）对称对称 4x是)43(xfy( )( )0 ,23()0 ,23(解析解析 据题意，当据题意，当 时，函数取得最小值，由时，函数取得最小值，由三角函数的

8、图象与性质可知其图象必关于直线三角函数的图象与性质可知其图象必关于直线 对称，对称，故必有故必有故原函数故原函数f f( (x x)=)=a asinsin x x+ +a acoscos x x= =4x4x,)2()0(baff),4sin(2xa.)(,sin2)43(对称点易知其为奇函数且关于从而xaxf答案答案 D,0,04.4.将函数将函数y y=sin 4=sin 4x x的图象向左平移的图象向左平移 个单位，得个单位，得 到到y y=sin(4=sin(4x x+ +) )的图象，则的图象，则等于（等于（ ） A. B. C. D.A. B. C. D. 解析解析 将函数将函数

9、y y=sin 4=sin 4x x的图象向左平移的图象向左平移 个个 单位后得到的图象的解析式为单位后得到的图象的解析式为1212331212)12(4sinxy. 3),34sin(则xC5.5.（20082008浙江理，浙江理，5 5）在同一平面直角坐标系在同一平面直角坐标系 中，函数中，函数 的图象和的图象和 直线直线 的交点个数是（的交点个数是（ ） A.0 B.1 C.2 D.4A.0 B.1 C.2 D.4 解析解析 函数函数 图象如图所示，直线图象如图所示，直线 与该与该 图象有两个交点图象有两个交点. .)2 , 0)(232cos(xxy21y2 , 0,2sin)232c

10、os(xxxy21yC题型一题型一 作作y y= =A Asin(sin(x x+ +) )的图象的图象 已知函数已知函数 (1)(1)求它的振幅、周期、初相；求它的振幅、周期、初相； (2)(2)用用“五点法五点法”作出它在一个周期内的图象；作出它在一个周期内的图象； (3)(3)说明说明 的图象可由的图象可由y y=sin =sin x x的的 图象经过怎样的变换而得到图象经过怎样的变换而得到. . (1)(1)由振幅、周期、初相的定义即可由振幅、周期、初相的定义即可 解决解决. . (2) (2)五点法作图，关键是找出与五点法作图，关键是找出与x x相对应的五个点相对应的五个点. . (

11、3) (3)只要看清由谁变换得到谁即可只要看清由谁变换得到谁即可. .),32sin(2xy)32sin(2xy题型分类题型分类 深度剖析深度剖析解解 （1 1） 的振幅的振幅A A=2,=2,周期周期)32sin(2xy,22T.3初相:,.sin2)32sin(2,32)2(并描点画出图象列表则令XxyxXXX方法一方法一 把把y y=sin =sin x x的图象上所有的点向左平移的图象上所有的点向左平移个单位个单位, ,得到得到 的图象的图象, ,再把再把的图象上的点的横坐标缩短到原来的的图象上的点的横坐标缩短到原来的 倍倍( (纵坐标纵坐标不变不变),),得到得到 的图象的图象, ,

12、最后把最后把上所有点的纵坐标伸长到原来的上所有点的纵坐标伸长到原来的2 2倍（横坐标不倍（横坐标不变），即可得到变），即可得到 的图象的图象. . 3)3sin(xy)3sin(xy21)32sin(xy)32sin(xy)32sin(2xy方法二方法二 将将y y=sin =sin x x的图象上每一点的横坐标的图象上每一点的横坐标x x缩缩短为原来的短为原来的 倍倍, ,纵坐标不变纵坐标不变, ,得到得到y y=sin 2=sin 2x x的的图象；图象；再将再将y y=sin 2=sin 2x x的图象向左平移的图象向左平移 个单位；个单位；得到得到 的图象；再将的图象；再将 的图象上每

13、一点的横坐标保持不变的图象上每一点的横坐标保持不变, ,纵坐标伸长为原来的纵坐标伸长为原来的2 2倍，得到倍，得到的图象的图象. .216)32sin()6(2sinxxy)32sin(xy)32sin(2xy （1 1）作三角函数图象的基本方法就是）作三角函数图象的基本方法就是五点法，此法注意在作出一个周期上的简图后，五点法，此法注意在作出一个周期上的简图后，应向两端伸展一下，以示整个定义域上的图象；应向两端伸展一下，以示整个定义域上的图象；（2 2）变换法作图象的关键是看）变换法作图象的关键是看x x轴上是先平移后轴上是先平移后伸缩还是先伸缩后平移，对于后者可利用伸缩还是先伸缩后平移，对于

14、后者可利用 来确定平移单位来确定平移单位. .)(xx知能迁移知能迁移1 1 已知函数已知函数 （1 1）用五点法作出函数的图象；）用五点法作出函数的图象； （2 2）说明此图象是由）说明此图象是由y y=sin =sin x x的图象经过怎么样的图象经过怎么样 的变化得到的；的变化得到的； （3 3）求此函数的振幅、周期和初相；）求此函数的振幅、周期和初相； （4 4）求此函数图象的对称轴方程、对称中心）求此函数图象的对称轴方程、对称中心. . 解解 （1 1）列表：）列表：),421sin(3xy描点、连线描点、连线, ,如图所示：如图所示：（2 2）方法一方法一 “ “先平移，后伸缩先平

15、移，后伸缩”. .先把先把y y=sin =sin x x的图象上所有点向右平移的图象上所有点向右平移 个单位，个单位，得到得到 的图象；再把的图象；再把 的的图象上所有点的横坐标伸长到原来的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2 2倍（纵坐标倍（纵坐标不变），得到不变），得到 的图象，最后将的图象，最后将 的图象上所有点的纵坐标伸长到原的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的来的3 3倍（横坐标不变），就得到倍（横坐标不变），就得到的图象的图象. . 4)4sin(xy)4sin(xy)421sin(xy)421sin(xy)421sin(3xy方法二方法二 “先伸缩，后平移先伸缩，后平移”先把先把y

16、 y=sin=sinx x的图象上所有点的横坐标伸长为原来的的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2 2倍（纵坐标不变），得到倍（纵坐标不变），得到 的图象；再的图象；再把把 图象上所有的点向右平移图象上所有的点向右平移 个单位，个单位，得到得到 的图象，最后将的图象，最后将 的图象上所有点的纵坐标伸长到原的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的来的3 3倍（横坐标不变），就得到倍（横坐标不变），就得到的图象的图象. .xy21sinxy21sin2)42sin()2(21sinxxy)42sin(xy)421(sin3xy.4, 3,42122)3(初相是振幅周期AT).)(0 ,22().(22)(

17、421.),(232),(2421)4(ZZZZZkkkkxkkxkkxkkx对称中心为得令此为对称轴方程得令题型二题型二 求函数求函数y y= =A Asin(sin(x x+ +)+)+b b的解析式的解析式 如图所示为如图所示为y y= =A Asinsin（x x+ +） 的图象的一段，求其解析式的图象的一段，求其解析式. . 首先确定首先确定A A. .若以若以N N为为 五点法作图中的第一个零点，由于此时曲线是五点法作图中的第一个零点，由于此时曲线是 先下降后上升（类似于先下降后上升（类似于y y=-sin =-sin x x的图象），所的图象），所 以以A A00.0.而而 可由

18、相位来确定可由相位来确定. .,2T解解 方法一方法一 以以N N为第一个零点，为第一个零点，方法二方法二 由图象知由图象知A A= = ，)32sin(3,3, 026),0 ,6().2sin(3, 2,)365(2, 3xyNxywTA所求解析式为点此时解析式为则3).322sin(3.3226503.)0 ,65(,)0 ,3(xyPM所求解析式为解之得列方程组为第二个零点为第一个零点以 (1)(1)已知函数图象求函数已知函数图象求函数y y= =A Asin(sin(x x+ +) )( (A A0,0,00）的解析式时，常用的解题方法是待定系）的解析式时，常用的解题方法是待定系数法

19、，由图中的最大值或最小值确定数法，由图中的最大值或最小值确定A A, ,由周期确定由周期确定，由适合解析式的点的坐标来确定，由适合解析式的点的坐标来确定, ,但由图象求得但由图象求得的的y y= =A Asinsin（x x+ +）（）（A A0,0,00）的解析式一般不惟）的解析式一般不惟一，只有限定一，只有限定的取值范围，才能得出惟一解，否则的取值范围，才能得出惟一解，否则的值不确定，解析式也就不惟一的值不确定，解析式也就不惟一. .（2 2）将若干个点代入函数式，可以求得相关待定）将若干个点代入函数式，可以求得相关待定系数系数A A，这里需要注意的是，要认清选择，这里需要注意的是，要认清

20、选择的点属于的点属于“五点五点”中的哪一个位置点，并能正确中的哪一个位置点，并能正确代入式中代入式中. .依据五点列表法原理，点的序号与式子依据五点列表法原理，点的序号与式子的关系是：的关系是：“第一点第一点”（即图象上升时与（即图象上升时与x x轴的交轴的交点）为点）为x x+ +=0=0；“第二点第二点”（即图象曲线的最（即图象曲线的最高点）为高点）为 ；“第三点第三点”（即图象下降时（即图象下降时与与x x轴的交点）为轴的交点）为x x+ +=；“第四点第四点”（即图象（即图象曲线的最低点）为曲线的最低点）为 ；“第五点第五点”为为x x+ +=2.=2.2x23x知能迁移知能迁移2 2

21、 (2009(2009辽宁理，辽宁理，8)8)已已 知函数知函数f f( (x x)=)=A Acos(cos(x x+ +) )的图象的图象 如图所示，如图所示， , ,则则 f f(0)=(0)=（ ） A. B.A. B. C. D. C. D. 解析解析 由题意可知，由题意可知，32)2(f32213221,32)1271211(2T此函数的周期).3cos()(, 3,322xAxf故.32cos)0(,32cos0)sin(cos22)4cos()1273cos()127(.32sin)23cos()2(AfAAAAfAAf又由题图可知答案答案 C题型三题型三 函数函数y y= =

22、A Asin(sin(x x+ +) )的图象与性质的的图象与性质的 综合应用综合应用 （1212分）在已知函数分）在已知函数f f( (x x)=)=A Asin(sin(x x+ +),), x xR(R(其中其中A A0,0,0,00,0 )0,0,00）的单调区）的单调区 间的确定，基本思想是把间的确定，基本思想是把x x+ +看做一个整体看做一个整体. . 在单调性应用方面，比较大小是一类常见的在单调性应用方面，比较大小是一类常见的 题目，依据是同一区间内函数的单调性题目，依据是同一区间内函数的单调性. .一、选择题一、选择题1.1.（20092009山东文，山东文，3 3）将函数将

23、函数y y=sin 2=sin 2x x的图象向的图象向 左平移左平移 个单位，再向上平移个单位，再向上平移1 1个单位，所得图个单位，所得图 象的函数解析式是（象的函数解析式是（ ） A. A.y y=2cos=2cos2 2x x B.B.y y=2sin=2sin2 2x x C. C. D.D.y y=cos 2=cos 2x x 解析解析 将函数将函数y y=sin 2=sin 2x x的图象向左平移的图象向左平移 个个 单位，得到函数单位，得到函数 即即 的图象，再向上平移的图象，再向上平移1 1个单位，所得图个单位，所得图 象的函数解析式为象的函数解析式为y y=1+cos 2=

24、1+cos 2x x=2cos=2cos2 2x x. .4)42sin(1xy4),4(2sinxy)22sin(xyx2cosA定时检测定时检测2.2.将函数将函数 的图象上各点的纵坐标不的图象上各点的纵坐标不 变，横坐标伸长到原来的变，横坐标伸长到原来的2 2倍，再向右平移倍，再向右平移 个个 单位，所得到的图象解析式是单位，所得到的图象解析式是 （ ） A. A.f f( (x x)=sin )=sin x x B.B.f f( (x x)=cos )=cos x x C. C.f f( (x x)=sin 4)=sin 4x x D.D.f f( (x x)=cos 4)=cos 4

25、x x 解析解析)42sin(xy4)4sin()42sin(xyxy.sin)44sin(xxyA3.3.若函数若函数y y= =A Asin(sin(x x+ +)+)+m m的最大值为的最大值为4,4,最小值为最小值为0,0, 最小正周期为最小正周期为 ，直线，直线 是其图象的一条对是其图象的一条对 称轴，则它的解析式是称轴，则它的解析式是 （ ） 23x2)64sin(2.D2)34sin(2.C2)32sin(2.B)64sin(4.Axyxyxyxy解析解析,2. 2, 2, 0, 4TmAmAmA.6,1).(65).(234. 1)34sin(,3. 2)4sin(2. 42时

26、当是其对称轴kkkkkxxyTZZ答案答案 D4.4.（20092009全国全国文，文，9 9）若将函数若将函数y y=tan(=tan(x x+ )+ ) ( (0)0)的图象向右平移的图象向右平移 个单位长度后，与函个单位长度后，与函 数数y y=tan(=tan(x x+ )+ )的图象重合的图象重合, ,则则的最小值为的最小值为( )( ) A. B. C. D. A. B. C. D. 解析解析46661413121后得到向右平移函数6)4tan(xy.210),(612,664),6tan().46tan(4)6(tan的最小值为得由令又因为ZkkkxyxxyD5.5.电流强度电流

27、强度I I（安）随时间（安）随时间t t（秒）变化的函数（秒）变化的函数 I I= =A Asin(sin(t t+ )+ )（A A0,0,0,00,0 0)0)的最小正周期为的最小正周期为,为了得为了得 到函数到函数g g( (x x)=cos )=cos x x的图象，只要将的图象，只要将y y= =f f( (x x) )的图的图 象（象（ ） A.A.向左平移向左平移 个单位长度个单位长度 B.B.向右平移向右平移 个单位长度个单位长度 C.C.向左平移向左平移 个单位长度个单位长度 D.D.向右平移向右平移 个单位长度个单位长度48844解析解析),42sin()(, 22,xxf

28、TT则因为.2cos)22sin(4)8(2sin,8)(,2cos)(xxxyxfyxxg时个单位长度的图象向左平移将答案答案 A二、填空题二、填空题7.7.（20092009江苏，江苏，4 4）函数函数y y= =A Asin(sin(x x+ +) ) ( (A A、为常数为常数, ,A A0,0,0)0)在闭区间在闭区间 -,0-,0上的图象如图上的图象如图 所示，则所示，则= = . . 解析解析 由函数由函数y y= =A Asin(sin(x x+ +) ) 的图象可知：的图象可知：.32,3)32()3(2TT. 3,322T3 38.8.（20082008全国全国改编）改编）

29、若动直线若动直线x x= =a a与函与函 数数f f( (x x)=sin )=sin x x和和g g( (x x)=cos )=cos x x的图象分别交于的图象分别交于M M、 N N两点，则两点，则| |MNMN| |的最大值为的最大值为 . . 解析解析 设设x x= =a a与与f f( (x x)=sin )=sin x x的交点为的交点为M M( (a a, ,y y1 1),), x x= =a a与与g g( (x x)=cos )=cos x x的交点为的交点为N N（a a，y y2 2），）， 则则| |MNMN|=|=|y y1 1- -y y2 2|=|sin

30、|=|sin a a-cos -cos a a| |. 2)4sin(2a29.9.若函数若函数f f( (x x)=2sin )=2sin x x ( (0)0)在在 上单调上单调 递增，则递增，则的最大值为的最大值为 . . 解析解析32,32,4,432,32,4,4)(TTTxf故上递增在.43.43.324maxT即43三、解答题三、解答题10.10.已知函数已知函数 f f( (x x)=)=A Asin(sin(x x+ +)+)+ b b( (0,|0,| )|0,0,0,|0,| |0,0,0,0, | | ,| ,x xR R) )的图象的一部分如图所示的图象的一部分如图所

31、示. . （1 1）求函数）求函数f f( (x x) )的解析式；的解析式； （2 2）当）当 时，求函数时，求函数y y= =f f( (x x)+)+f f( (x x+2)+2) 的最大值与最小值及相应的的最大值与最小值及相应的x x的值的值. .232, 6x解解 （1 1）由图象知）由图象知A A=2=2，T T=8=8，(2)(2)y y= =f f( (x x)+)+f f( (x x+2)+2).44sin(2)(.4,2|. 0)4sin(2),0 , 1(.4, 82xxfT又图象过点)424sin(2)44sin(2xx. 22)2()(,4,4; 6)2()(,32,64.6423,32, 6.4cos22)24sin(22取得最小值时即当取得最大值时即当xfxfyxxxfxfyxxxxxx