高考总复习 函数课件

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1、第二模块第二模块 函数函数 ( (必修必修1:1:第一章第一章 函数概念函数概念; ;第二章第二章 基本基本初等函数初等函数();();第三章第三章 函数的应用函数的应用) )第四讲第四讲 函数及其表示函数及其表示回归课本回归课本1.函数的概念函数的概念设集合设集合A,B是非空的是非空的数集数集,如果按照某种确定的对应关系如果按照某种确定的对应关系f,使使对对A中的任意一个数中的任意一个数x,在集合在集合B中中,都有都有唯一确定唯一确定的数的数f(x)和和它对应它对应,那么就称那么就称f:AB为从集合为从集合A到集合到集合B的一个函数的一个函数,记记作作y=f(x),xA.其中其中x叫做叫做自

2、变量自变量,自变量的取值范围叫做自变量的取值范围叫做这个函数的这个函数的定义域定义域.自变量取值自变量取值a,则由法则则由法则f确定的值确定的值y称为称为函数在函数在a处的函数值处的函数值,记作记作y=f(a).所有函数值构成的集合所有函数值构成的集合y|y=f(x),xA叫做这个函数的叫做这个函数的值域值域.2.构成函数的要素构成函数的要素:定义域定义域 对应关系对应关系 值域值域.3.两个函数的相等两个函数的相等当两个函数的当两个函数的定义域定义域和和对应关系对应关系都分别相同时都分别相同时,这两个函数这两个函数才是同一个函数才是同一个函数.4.常用的函数表示法常用的函数表示法(1)解析法

3、解析法;(2)列表法列表法;(3)图象法图象法.5.分段函数分段函数在函数的定义域内在函数的定义域内,对于自变量对于自变量x的不同取值区间的不同取值区间,有着不同有着不同的的对应法则对应法则,这样的函数通常叫做分段函数这样的函数通常叫做分段函数.6.映射的概念映射的概念设设A B是两个非空集合是两个非空集合,如果按某一个确定的对应关系如果按某一个确定的对应关系f,使使对于集合对于集合A中的中的任意一个任意一个元素元素x,在集合在集合B中都有中都有唯一确定的唯一确定的元素元素y与之对应与之对应,那么就称那么就称f为从集合为从集合A到集合到集合B的一个映射的一个映射,记作记作“f:AB”.考点陪练

4、考点陪练22332.(1.yx x.0)xA yxB yxC yxD yx下列函数中与函数相等的是解析解析:当两个函数的解析式和定义域完全相同时当两个函数的解析式和定义域完全相同时,这两个函数这两个函数相等相等.同时满足这两个条件的只有同时满足这两个条件的只有A,B中中x0,C中中xR,D中中xR.答案答案:A2.设集合设集合M=x|0 x2,N=y|0y2,则在下面则在下面4个图形中个图形中,能表示集合能表示集合M到集合到集合N的函数关系的有的函数关系的有( )A. B.C. D.解析解析:由函数的定义易知成立由函数的定义易知成立,故选故选C.答案答案:C 2223.C.f xx2x1,g

5、tt. ( )1, ( )(1)4. ( )2t1D.f n2n1, ( )2,g n2n12A f xxxg xx xxB f xg xxx下列函数中是相等函数的为解析解析:A中中f(x)的定义域是的定义域是x|x0,g(x)的定义域是的定义域是x|x0或或x-1,f(x)与与g(x)的定义域不的定义域不同同,f(x)与与g(x)不是相等函数不是相等函数.B中中f(x)=的定义域为的定义域为x|xR,且且x2,g(x)的定义的定义域为域为R,f(x)与与g(x)的定义域不同的定义域不同,f(x)与与g(x)不是相等函数不是相等函数.C中中f(x)、g(t)虽然自变量用不同的字母表示虽然自变量

6、用不同的字母表示,但定义域但定义域 对对应关系都相同应关系都相同,所以所以f(x)、g(t)表示相同函数表示相同函数.242xxD中中f(n)、g(n)的对应关系不同的对应关系不同,所以不是相等函数所以不是相等函数.所以应选所以应选C.答案答案:C评析评析:根据函数的三要素根据函数的三要素,从定义域从定义域 值域值域 对应关系等方面对应关系等方面对所给的函数进行分析判断对所给的函数进行分析判断.判断两个函数是否相同判断两个函数是否相同,只需判断这两个函数的定义域与对只需判断这两个函数的定义域与对应关系是否相同应关系是否相同.即使定义域和值域都分别相同的两个函即使定义域和值域都分别相同的两个函数

7、数,它们也不一定是相等函数它们也不一定是相等函数,因为定义域因为定义域 值域不能唯一值域不能唯一地确定函数的对应关系地确定函数的对应关系.此外此外,两个函数是否相同与自变量用什么字母表示无关两个函数是否相同与自变量用什么字母表示无关.4.已知集合已知集合A=(x,y)|y=f(x),x-1,2,集合集合B=(x,y)|x=0,则则AB的子集的个数是的子集的个数是( )A.0 B.1C.2 D.不确定不确定解析解析:函数函数f(x)定义在定义在-1,2上上,所以由函数定义知当所以由函数定义知当x=0时有时有唯一的唯一的y与之对应与之对应,即直线即直线x=0与函数图象有唯一交点与函数图象有唯一交点

8、,故故AB中有一个元素中有一个元素,有有2个子集个子集.故选故选C.答案答案:C5.已知映射已知映射f:AB,其中集合其中集合B=-2,0,4,10,集合集合B中的元素都中的元素都是集合是集合A中的元素在映射中的元素在映射f下的对应元素下的对应元素,且对任意的且对任意的aA,在在B中和它对应的元素是中和它对应的元素是(a+1)(a-2),那么集合那么集合A中元素的中元素的个数最多可能是个数最多可能是( )A.4 B.6C.8 D.10解析解析:当当(a+1)(a-2)=10时时,得得a=4,-3;当当(a+1)(a-2)=4时时,得得a=3,-2;当当(a+1)(a-2)=0时时,得得a=2,

9、-1;当当(a+1)(a-2)=-2时时,得得a=0,1,所以根据映射的定义知集合所以根据映射的定义知集合A中元素最多可能有中元素最多可能有4,-3,3,-2,2,-1,0,1,一共一共8个个,故选故选C.答案答案:C类型一类型一函数的基本概念函数的基本概念解题准备解题准备:(1)函数是指两个非空数集函数是指两个非空数集A B之间的一种对应关之间的一种对应关系系,它要求集合它要求集合A中的任意一个数中的任意一个数,在集合在集合B中都有唯一的数中都有唯一的数f(x)与之对应与之对应;(2)两个函数相等是指函数的三要素相同两个函数相等是指函数的三要素相同,由由于函数的值域是由定义域和对应关系唯一确

10、定于函数的值域是由定义域和对应关系唯一确定,因此只需因此只需判定定义域与对应关系是否相同即可判定定义域与对应关系是否相同即可.【典例典例1】 (1)函数函数y=f(x),xD与直线与直线x=2交点个数为交点个数为_. 2p:f xx1f x;q:f xx1f xx1,pq_1,11_.,()1xxx x已知命题与是相等函数 命题与是相等函数 则命题是命题填“真”或“假” 解析解析 (1)当当x=2D时时,根据函数定义根据函数定义A中任何一个自变量中任何一个自变量在在B中都有唯一元素和它对应中都有唯一元素和它对应,即有且只有一个交点即有且只有一个交点;当当x=2D时时,无交点无交点.(2)命题命

11、题p中两函数的定义域不同中两函数的定义域不同,p是假命题是假命题,命题命题q中两函数中两函数对应关系不同对应关系不同,q也是假命题也是假命题,所以所以pq是假命题是假命题.反思感悟反思感悟 两个函数的定义域两个函数的定义域 值域和对应关系中有一个值域和对应关系中有一个不同不同,它们就不表示相等的函数它们就不表示相等的函数.答案答案 (1)0个或个或1个个 (2)假假类型二类型二求函数的解析式求函数的解析式解题准备解题准备:求函数解析式的常用方法有求函数解析式的常用方法有:(1)配凑法配凑法;(2)换元换元法法;(3)待定系数法待定系数法;(4)消元法等消元法等. 3321 (),f x ;2

12、()f x ;3 ()f x,3f x12f x12x17,f x ;4 ()1121,12 (f x,f x .)3fxxxxflgxxf xfxx【典例 】配凑法 已知求换元法 已知求待定系数法 已知是一次函数 且满足求方程思想已知满足求 3333 1ff xx3x(x2x2).2f t3f xaxb a0 ,3f x12f x13a11113,2221(1x3a3b2ax),2a2baxb5a2x17,a2,b7,f x,1122x7.( )(1).1xxxxxxxxt txlgxttf xlgxx 解 或 令则设则 1131332( ),1(0).4 2f x,x,23f x6xf x

13、2xfxxxff xxxxxx 把中的 换成得得类型三类型三分段函数分段函数解题准备解题准备:(1)对于分段函数对于分段函数,一定要明确自变量所属的范围一定要明确自变量所属的范围,以便于选择与之相应的对应关系以便于选择与之相应的对应关系;(2)分段函数体现了数学的分类思想分段函数体现了数学的分类思想,相应的问题处理应分段相应的问题处理应分段解决解决. 222,(3f xf 21,f(f_1),2( 5)_.xtxlogt xx【典例 】设且则的值为 分析分析 先根据先根据f(2)=1求出解析式中参数求出解析式中参数t的值的值,再进一步求再进一步求的值的值.(5)f f 2t2tt33log 4

14、332323x2f xlogx1 ,f 21,log211,log 31,t3.f2 3 ,2,( 5)( 5)1(1),2xfloglog 4,log 42,f(f(f log 42 32 4.5)8.xxlogxx解析由于当 时且所以解得这时于是且所以 答案答案 8 反思感悟反思感悟 对于分段函数给定自变量求函数值时对于分段函数给定自变量求函数值时,应根据自应根据自变量的范围变量的范围,利用相应的解析式直接求解利用相应的解析式直接求解;若给定函数值求若给定函数值求自变量自变量,应根据函数每一段的解析式分别求解应根据函数每一段的解析式分别求解,但应注意检但应注意检验该值是否在相应的自变量取值

15、范围之内验该值是否在相应的自变量取值范围之内. 探究探究 某市某种类型的出租车某市某种类型的出租车,规定规定3千米内起步价千米内起步价8元元(即即行程不超过行程不超过3千米千米,一律收一律收8元元).若超过若超过3千米千米,除起步价外除起步价外,超超过部分再按过部分再按1.5元元/千米收费计价千米收费计价,若乘客与司机约定按四舍若乘客与司机约定按四舍五入以元计费不找零钱五入以元计费不找零钱,下车后乘客付了下车后乘客付了16元元,则乘客乘车则乘客乘车里程的范围是里程的范围是_.(单位单位:千米千米)8,038(3) 1.5,x,y,:15.58x31.516.5,6382x3.xyxx解析 设乘

16、客乘车里程为 千米 计价为 元由题意可知由解得 268,3答案类型四类型四抽象函数抽象函数解题准备解题准备:抽象函数是一个难点抽象函数是一个难点,解决抽象函数问题解决抽象函数问题,要全面应要全面应用所具有的性质展开解题思路用所具有的性质展开解题思路,通常方法是赋值法通常方法是赋值法,并善于并善于根据题目条件寻找该函数模型根据题目条件寻找该函数模型,帮助探求解题思路和方法帮助探求解题思路和方法.【典例典例4】 已知函数对任意的实数已知函数对任意的实数a,b,都有都有f(ab)=f(a)+f(b)成立成立.(1)求求f(0),f(1)的值的值;(2)求证求证:(3)若若f(2)=m,f(3)=n(

17、m,n均为常数均为常数),求求f(36)的值的值.1( )0(0);ff xxx 解解 (1)对对a,bR,有有f(ab)=f(a)+f(b),令令a=b=0,得得f(0)=f(0)+f(0),f(0)=0.令令a=b=1,得得f(1)=0. 22 2x0,xf 13f 2m,f 3n,f 36f11,2f 32f 2211( )0,1( )0f2 mn .3xfxf xfxxff xx 当时于是错源一错源一换元不等价换元不等价 22111f x.1,xxfxx【典例 】若求的解析式 22221xf t2t1t2t3,f xf11111,11xx2x31111,xR .xtxxxtfxx 错解

18、设则所以即所以的解析式为 剖析剖析 错解中采用了换元法错解中采用了换元法,但换元前后变量取值范围不相但换元前后变量取值范围不相等等,所以错解中所以错解中f(x)定义域为定义域为R是错的是错的,f(x)定义域应为变量定义域应为变量t的取值范围的取值范围. 222211111,1111,t1,xf t2t1t2t3 t1 ,f x11f xx2x3 x1 .1,xtxxxtfxx 正解设则所以即所以的解析式为 评析评析在应用换元法时应注意在应用换元法时应注意,换元后函数的形式变了但其实换元后函数的形式变了但其实质并没有发生变化质并没有发生变化,所以新元的取值范围必须由原来的变量决所以新元的取值范围

19、必须由原来的变量决定定.错源二错源二 解析式化简不等价导致函数定义域变大解析式化简不等价导致函数定义域变大 2f xyf1,f x_1.x【典例 】若函数则函数的定义域为 1111,111211f xf f xf,yf f xx | xR,x2 .xxxxx 错解故函数的定义域是 剖析剖析 本题的错误在于盲目地对函数解析式进行化简本题的错误在于盲目地对函数解析式进行化简,导致导致扩大了自变量扩大了自变量x的取值范围的取值范围. f xf f x,x1,x2,x | xR,x1x211,111110,1101.xxxx 正解因为所以因此要使函数有意义 应满足即且于是函数的定义域是且 答案答案 x

20、|xR,x-1且且x-2技法技法 求函数解析式的方法求函数解析式的方法一一 特殊值法特殊值法【典例典例1】 已知对一切已知对一切x,yR,关系式关系式f(x-y)=f(x)-(2x-y+1)y都成立都成立,且且f(0)=1,求求f(x).解题切入点解题切入点 由由f(x-y)=f(x)-(2x-y+1)y对一切对一切x,yR都成都成立立,可根据需要对可根据需要对x,y进行赋值进行赋值,本题可令本题可令x=0.解解 因为因为f(x-y)=f(x)-(2x-y+1)y对一切对一切x,yR都成立都成立.所以所以令令x=0,得得f(-y)=f(0)-(1-y)y,又又f(0)=1,所以所以f(-y)=

21、y2-y+1,再令再令x=-y,得得f(x)=x2+x+1. 方法与技巧方法与技巧 当所给函数的等式中有两个变量时当所给函数的等式中有两个变量时,可对这两可对这两个变量交替用特殊值代入或使这两个变量相等代入个变量交替用特殊值代入或使这两个变量相等代入,再用再用已知条件已知条件,可求出未知的函数可求出未知的函数. 22113.,2f x1xfxxx二配凑法【典例 】已知求的解析式22,1131.xxxx解题切入点由函数定义 通过恒等变形将已知式的右边配凑为的表达式 2222113211111111121(0,111)f xxx,x11 .xfxxxxxxxxxx解因为其中故所以 方法与技巧方法与

22、技巧 已知已知fg(x)=h(x),求求f(x)的问题的问题,可先用可先用g(x)表示表示h(x),然后再将然后再将g(x)用用x代替代替,即得即得f(x)的解析式的解析式.三三 换元法换元法 3f(1)2x,f x.2 xx【典例 】已知求函数的解析式)f(121t,xt,t,2.xx解题切入点 把中的换成另一个字母来表示函数的自变量 再把 用 表示出来 代入已知式得到关于 的函数式 即是所求函数解析式 2222(1)(4(112t,xt 1).f tt 1),f)1(222x12x.txttttxx解 令则所以从而方法与技巧方法与技巧 若已知条件中没有给出函数的具体解析式若已知条件中没有给

23、出函数的具体解析式,但但给出了函数的某种关系给出了函数的某种关系,可结合整体思想采用换元法可结合整体思想采用换元法,把解把解析式的某一部分设为一个变量进行求解析式的某一部分设为一个变量进行求解,注意新变量的范注意新变量的范围围.四四 待定系数法待定系数法【典例典例4】 已知已知f(x)是二次函数是二次函数,且且f(x+1)+f(x-1)=2x2-4x+4,求求f(x).解解 设设f(x)=ax2+bx+c,f(x+1)+f(x-1)=2ax2+2bx+2a+2c=2x2-4x+4.对应得对应得a=1,b=-2,c=1.所以所以f(x)=x2-2x+1.方法与技巧方法与技巧 已知函数式的构造模式

24、时可用已知函数式的构造模式时可用.五五 转化法转化法【典例典例5】 设设f(x)是定义在是定义在(-,+)上的函数上的函数,对一切对一切xR,均均有有f(x)+f(x+2)=0,当当-1x1时时,f(x)=2x-1.求当求当1x3时时,函函数数f(x)的解析式的解析式. 解解 设设1x3,则则-1x-21.又对任意的又对任意的xR,有有f(x)+f(x+2)=0.即即f(x+2)=-f(x).所以所以f(x-2)=-f(x-2)+2=-f(x).又又-1x-21时时,f(x-2)=2(x-2)-1=2x-5.所以所以f(x)=-f(x-2)=-2x+5(1x3).故当故当x(1,3时时,f(x

25、)=-2x+5. 2416f xx ,3 ( )3,f x.f xf xfx六消去法【典例 】已知函数满足求并证明 22222224444x,2f13 ( )1113( )133113.211333xf,3.xf2xfxf xfxxff xxxxxxxxxx解因为以代替式中的得可得所以又因此七七 分段求解法分段求解法 27f x2x1,0g x10f g x.,xxx【典例 】已知函数求的解析式 2222,.x0,g xx ,f g xf x2x1.x0,g x1,f g xf12113.f g x210,30.xxx 解题切入点 本题是求分段函数的解析式 应按分段函数的定义分段求解解 当 时当时所以 11f x,f x,(fx ,),xx,fxf x.,1,fxxfx方法与技巧 若已知满足某个等式 这个等式除是未知量外 还出现其他未知量 如等 可以用等代替其中的 从而得到另一等式解它们组成的方程组 即消去或进而得到的解析式此法也称解方程组法