高等数学下教学课件：9-5

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1、19.3.1 对面积的曲面积分对面积的曲面积分一、对面积的曲面积分的概念与性质一、对面积的曲面积分的概念与性质二、对面积的曲面积分的计算二、对面积的曲面积分的计算29.3.1、对面积的曲面积分、对面积的曲面积分1实例实例 曲面型物件的质量曲面型物件的质量 一、对面积的曲面积分的概念与性质一、对面积的曲面积分的概念与性质 曲面型物件占有曲面型物件占有O-xyz空间中的曲面空间中的曲面(光滑或光滑或分片光滑分片光滑),且有连续的面密度为且有连续的面密度为(x,y,z),求曲面型物求曲面型物件的质量。件的质量。oxyz),(iii niiiiiSM10),(lim 其中其中是是n个小曲面个小曲面块的

2、直径的最大值。块的直径的最大值。 3“乘积乘积和式极限和式极限” ” 都存在都存在, ,积的积的曲面积分曲面积分 dSzyxf),(记作记作或或第一类曲面积分第一类曲面积分. .若对若对 做做任意分割任意分割和局部区域和局部区域任意取点任意取点, , 则称此极限为函数则称此极限为函数 f (x, y, z) 在曲面在曲面 上上对面对面2、对面积的曲面积分的定义、对面积的曲面积分的定义定义定义9.3.1 设曲面设曲面是光滑的有限曲面，是光滑的有限曲面，函数函数f (x,y,z)在在上有界。上有界。 niiiiiSf10),(lim 其中其中f (x, ,y, ,z)叫做被积函数，叫做被积函数，叫

3、做积分曲面。叫做积分曲面。 43、几点说明、几点说明则对面积的曲面积分存在则对面积的曲面积分存在. .),(zyxf若若在光滑曲面在光滑曲面 上连续上连续, , ( (1) )积分的存在性积分的存在性: :( (2) )曲面型物件的质量为曲面型物件的质量为曲面面积为曲面面积为 dSzyxM),( dSS5具有对弧长曲线积分同样的性质。具有对弧长曲线积分同样的性质。4、对面积的曲面积分的性质、对面积的曲面积分的性质（1）关于被积函数的线性性质）关于被积函数的线性性质（2）关于积分曲面的可加性）关于积分曲面的可加性 dSzyxgkzyxfk),(),(21则则为常数为常数设设,21kk dSzyx

4、gkdSzyxfk),(),(21,21 则有则有 dSzyxf),( 1),( dSzyxf 2),( dSzyxf若若 是光滑的是光滑的, , 例如分成两例如分成两 片光滑曲面片光滑曲面6（3）关于被积函数的不等式性质）关于被积函数的不等式性质（4）估值定理）估值定理（5）积分中值定理）积分中值定理5、对称性的应用、对称性的应用 dSzyxf),( ),(),(),(2),(),(01zyxfzyxfdSzyxfzyxfzyxf 面对称，面对称，关于关于若曲面若曲面xoy )1(在上半平面的部分。在上半平面的部分。是是 1面面对对称称有有类类似似的的结结论论关关于于曲曲面面yozxoz,

5、7(2) 若若关于变量关于变量x，y，z具有轮换对称性，则有具有轮换对称性，则有 dSyxzfdSxzyfdSzyxf),(),(),( dSyxzfxzyfzyxf),(),(),(31 dSzyxdSzdSydSxRzyx312222222222则则为为球球面面若若423431RdSR 8定理定理9.3.1: : 设有光滑曲面设有光滑曲面yxDyxyxzz ),(),(: f (x, y, z)在在 上连续上连续, ,存在存在, , 且有且有 xyDyxzyxf),(,(dydxyxzyxzyx),(),(122 二、对面积的曲面积分的计算法二、对面积的曲面积分的计算法 则则曲面积分曲面积

6、分 dSzyxf),( dSzyxf),(计算方法可概括为计算方法可概括为“一代、二换、三投影一代、二换、三投影”oxyzyxD),(,(yxzyxyxd)( 9（1）计算方法可概括为）计算方法可概括为“一代、二换、三投影一代、二换、三投影”“二换二换”将将dS换成相应的曲面面积元素的表达换成相应的曲面面积元素的表达式：式： 如如：z=z(x,y)，则，则dxdyzzdSyx221 “三投影三投影”认清认清在在xoy平面上的投影区域平面上的投影区域Dxy（2）如）如：x=x(y, ,z)，此时投影区域，此时投影区域Dyz； 如如：y=y(x, ,z)，此时投影区域为此时投影区域为Dzx。 “一

7、代一代” 将将z=z(x,y)代入被积函数代入被积函数f (x,y,z)，得得f x,y,z(x,y)；说明说明10例例1 计算曲面积分计算曲面积分 ，其中，其中是球面是球面 x2+y2+z2=a2被平面被平面 z=h(0h0)之间的之间的柱面柱面x2+y2=R2 HyxzOR解法一：在解法一：在上有上有x2+y2=R2，所以，所以 22zRdSI又又关于平面关于平面x=0对称，对称， 为偶函数为偶函数关于变量关于变量xzR221 ,2122 zRdSI所以所以13221:yRx 其中其中( (RyR，0zH) )dydzyRRdydzxxdSzy22221 于是于是 yzDdydzyRRzR

8、I222212 HRRyRdyzRdzR022222RRRHarcsin2arctan2 RHarctan2 14解法二：用垂直于解法二：用垂直于z轴的平面去截轴的平面去截 dS =2Rdz HRdzzRI02221 RHRzHarctan2arctan20 HyxzOR15解：解：Dxy ：x2+y2 2ax， dxdyzzdSyx221 dxdy2 例例3 计算计算 其中其中：锥面：锥面 dSzxyzxy)(22yxz 被柱面被柱面x2+y2=2ax（a0）割下的部分）割下的部分 因为因为关于关于xoz面对称，面对称，xy+yz是是y的奇函数，所以的奇函数，所以 0)( dSyzxyyzx

9、o16 xyDdxdyyxxI2220 204)cos2(41cos22 da1325428cos2842054 ada cos2022cos2add415264a xyoa217 曲面型物件占有曲面型物件占有O-xyz空间中的曲面空间中的曲面(光滑或光滑或分片光滑分片光滑),且有连续的面密度为且有连续的面密度为(x,y,z)注注: :对面积的曲面积分的应用对面积的曲面积分的应用,),(),(,),(),( dSzyxdSzyxyydSzyxdSzyxxx质心质心,),(),( dSzyxdSzyxzz18转动惯量转动惯量 dSzyxzyIx),()(22 dSzyxzxIy),()(22 dSzyxyxIz),()(2219小结小结 本节主要学习了对面积的曲面积分的概念本节主要学习了对面积的曲面积分的概念,以以及对面积的曲面积分的计算方法。及对面积的曲面积分的计算方法。 本节要求理解对面积的曲面积分的概念本节要求理解对面积的曲面积分的概念,了解了解曲面积分的性质曲面积分的性质,熟练掌握对面积的曲面积分的计熟练掌握对面积的曲面积分的计算。算。习题习题 9.3.1