工程力学：第13章-应力状态分析

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1、单辉祖：工程力学1第 13 章 应力状态分析 本章主要研究： 应力状态应力分析基本理论 应力、应变间的一般关系 复合材料应力应变关系简介单辉祖：工程力学2 1 引言 2 平面应力状态应力分析 3 极值应力与主应力4 复杂应力状态的最大应力5 广义胡克定律 6 复合材料应力应变关系简介复合材料应力应变关系简介单辉祖：工程力学31 引 言 实例实例 应力状态概念应力状态概念 平面与空间应力状态平面与空间应力状态单辉祖：工程力学4 实实 例例微体微体A 单辉祖：工程力学5微体微体abcd单辉祖：工程力学6微体微体A单辉祖：工程力学7 应力状态概念应力状态概念过构件内一点所作各微截面的应力状况，称为该

2、点过构件内一点所作各微截面的应力状况，称为该点处的应力状态处的应力状态 应力状态研究方法环绕研究点切取微体，因微体边长趋于零，微体趋环绕研究点切取微体，因微体边长趋于零，微体趋于所研究的点，故通常通过微体，研究一点处的应于所研究的点，故通常通过微体，研究一点处的应力与应变状态力与应变状态研究目的研究一点处的应力状态以及应力应变间的一般关系，研究一点处的应力状态以及应力应变间的一般关系，目的是为构件的应力、变形与强度分析，提供更广目的是为构件的应力、变形与强度分析，提供更广泛的理论基础泛的理论基础单辉祖：工程力学8 平面与空间应力状态平面与空间应力状态仅在微体四侧面作用应力，且仅在微体四侧面作用

3、应力，且应力作用线均平行于微体的不应力作用线均平行于微体的不受力表面受力表面平面应力状态平面应力状态平面应力状态平面应力状态的一般形式的一般形式微体各侧面均作用有微体各侧面均作用有应力应力空间应力状态空间应力状态空间应力状态一般形式空间应力状态一般形式单辉祖：工程力学92 平面应力状态应力分析 应力分析的解析法应力分析的解析法 应力圆应力圆 例题例题单辉祖：工程力学10 应力分析的解析法应力分析的解析法问题：问题：建立建立 s sa a , , t ta a 与与 s sx , , t tx , s sy , , t ty 间的关系间的关系问题符号规定：符号规定： 方位方位角角 a a 以以

4、x 轴为始边、轴为始边、 者为正者为正 切应力切应力 t t 以企图使微体沿以企图使微体沿 旋转者为正旋转者为正方位用方位用 a a 表示；表示；应力为应力为 s sa a , , t ta a斜截面：斜截面：/ z 轴；轴；单辉祖：工程力学110)sinsind()cossind( )coscosd()sincosd(d 0n a aa as sa aa at ta aa as sa aa at ts sa aAAAAAFyyxx， 0)cossind()sinsind( )sincosd()coscosd(d 0t a aa as sa aa at ta aa as sa aa at tt

5、 ta aAAAAAFyyxx，a aa at tt ta as sa as ss sa acos )sin(sincos22yxyx a at ta at ta aa as ss st ta a22sincoscos )sin(yxyx 斜截面应力公式单辉祖：工程力学12a aa at tt ta as sa as ss sa acos )sin(sincos22yxyx a at ta at ta aa as ss st ta a22sincoscos )sin(yxyx 由于由于t tx 与与 t ty 数值相等数值相等,并利用三角函数的变换关系并利用三角函数的变换关系,得得a at t

6、a as ss ss ss ss sa asin2cos222xyxyx a at ta as ss st ta acos2sin22xyx 上述关系建立在静力学基础上，故所得结上述关系建立在静力学基础上，故所得结论既适用于各向同性与线弹性情况，也适论既适用于各向同性与线弹性情况，也适用于各向异性、非线弹性与非弹性问题用于各向异性、非线弹性与非弹性问题单辉祖：工程力学13 应力圆应力圆a at ta as ss ss ss ss sa asin2cos222xyxyx a at ta as ss st ta acos2sin22xyx a at ta as ss ss ss ss sa asi

7、n2cos222xyxyx a at ta as ss st ta acos2sin220 xyx 2222202xyxyxt ts ss st ts ss ss sa aa a 2yxCs ss ss s 222xyxRt ts ss s 应力圆应力圆应力圆原理圆心位于圆心位于s s 轴轴单辉祖：工程力学14应力圆的绘制2yxCs ss ss s 222xyxRt ts ss s 满足上述二条件满足上述二条件确为所求应力圆确为所求应力圆根据：根据：问题：已知问题：已知s sx , , t tx , s sy , , 画相应应力圆画相应应力圆单辉祖：工程力学15图解法求斜截面应力)2cos(2

8、 0a aa as s CDOCHa aa aa aa as ssin2sin2 cos2cos2 00CDCDOCH a at ta as ss ss ss ss ssin2cos2 22xyxyxH a as s a at ta as ss ss ss ss sa asin2cos222xyxyx a at tt t H同理可证：同理可证：单辉祖：工程力学16点、面对应关系 转向相同，转角加倍转向相同，转角加倍 互垂截面，对应同一直径两端互垂截面，对应同一直径两端单辉祖：工程力学17 例例 题题例 2-1 计算截面计算截面 m-m 上的应力上的应力解：MPa 100 xs sMPa 50

9、ys sMPa 60 xt t30 a aMPa 114.5 MPa 35.0 a at ta as ss ss ss ss ssin2cos222xyxyxm a at ta as ss st tcos2sin22xyxm 单辉祖：工程力学18例 2-2 利用应力圆求截面利用应力圆求截面 m-m 上的应力上的应力解：MPa 115 ms sMPa 35 mt t单辉祖：工程力学19例 2-2 利用应力圆求截面利用应力圆求截面 m-m 上的应力上的应力解：MPa 115 ms sMPa 35 mt t1. 画应力圆画应力圆A点对应截面点对应截面 x, B点对应截面点对应截面 y2. 由应力圆求

10、由应力圆求mmt ts s 与与由由A点（截面点（截面 x ）顺时针转）顺时针转60。至至D点（截面点（截面 y ）单辉祖：工程力学203 极值应力与主应力 平面应力状态的极值应力平面应力状态的极值应力 主平面与主平面与主应力主应力 纯剪切与扭转破坏纯剪切与扭转破坏 例题例题单辉祖：工程力学21 平面应力状态的极值应力平面应力状态的极值应力CK minmaxt tt tCAOC minmaxs ss s极值应力数值2222xyxyxt ts ss ss ss s 222xyxt ts ss s 单辉祖：工程力学22yxxs ss st ta a 2tan20yxxxs ss st ts ss

11、st ta a maxmin0tan极值应力方位 最大正应力方位：最大正应力方位： s smax与与s smin所在截面正交所在截面正交 s s 极值极值与与t t 极值极值所在截所在截面面, 成成 夹角夹角45单辉祖：工程力学23 主平面与主应力主平面与主应力主平面主平面切应力为零的截面切应力为零的截面主应力主应力主平面上的正应力主平面上的正应力主应力符号与规定主应力符号与规定 321s ss ss s 相邻主平面相互垂直，构成一相邻主平面相互垂直，构成一正六面形微体正六面形微体 主平面微体主平面微体（按代数值）（按代数值）s s1 1s s2 2s s3 3单辉祖：工程力学24应力状态分类

12、应力状态分类 单向应力状态：单向应力状态：仅一个主应力不为零的应力状态仅一个主应力不为零的应力状态 二向应力状态：二向应力状态：两个主应力不为零的应力状态两个主应力不为零的应力状态 三向应力状态：三向应力状态：三个主应力均不为零的应力状态三个主应力均不为零的应力状态二向与三向应力状态，统称二向与三向应力状态，统称复杂应力状态复杂应力状态单辉祖：工程力学25 纯剪切与扭转破坏纯剪切与扭转破坏t ts ss s Cmaxt,t ts ss s Dmaxc,t tt tt t minmax0 231 s st ts ss s,纯剪切状态的最大应力s s1 1s s3 3主平面微体位于主平面微体位于

13、方位方位45单辉祖：工程力学26圆轴扭转破坏分析滑移与剪断滑移与剪断发生在发生在t tmax的 作 用 面的 作 用 面断裂发生在断裂发生在s smax 作用面作用面单辉祖：工程力学27 例例 题题解：1. 解析法解析法 MPa 70 xs s MPa 50 xt t MPa 261 s s 02 s s MPa 963 s s MPa 96MPa 26 5 .62 例 4-1 用解析法与图解法，确定主应力的大小与方位用解析法与图解法，确定主应力的大小与方位 0 ys s2minmax22xyxyxt ts ss ss ss ss ss s yxs ss st ta amax0arctan单辉

14、祖：工程力学28 MPa 261 s s 02 s s MPa 963 s s5620. a a2. 图解法图解法主应力的大小与方位主应力的大小与方位 ？单辉祖：工程力学294 复杂应力状态的最大应力 三向应力圆三向应力圆 最大应力最大应力 例题例题单辉祖：工程力学30 三向应力圆三向应力圆与任一截面相对应与任一截面相对应的点，或位于应力的点，或位于应力圆上，或位于由应圆上，或位于由应力圆所构成的阴影力圆所构成的阴影区域内区域内单辉祖：工程力学31 最大应力最大应力1maxs ss s 231maxs ss st t 3mins ss s 最大切应力位于与最大切应力位于与 s s1 1 及及

15、s s3 3 均成均成4545 的截面上的截面上单辉祖：工程力学32 例例 题题例 4-1 已知已知 s sx = 80 MPa，t tx = 35 MPa，s sy = 20 MPa，s sz =40 MPa， 求主应力、最大正应力与最大切应力求主应力、最大正应力与最大切应力解： 画三向应力圆画三向应力圆MPa 1 .961 Cs ss sMPa 1 .961max s ss sMPa 09. 32 Ds ss sMPa 403 Es ss sMPa 1 .68231max s ss st ts szs sz单辉祖：工程力学335 广义胡克定律 广义胡克定律（平面应力）广义胡克定律（平面应力

16、） 广义胡克定律（三向应力）广义胡克定律（三向应力） 例题例题单辉祖：工程力学34 广义胡克定律广义胡克定律（平面应力状态）Exxs s Exyss Gxxyt t Eyys s Eyxss )(1yxxEsss s )(1xyyEsss s )(12yxxE s s )(12xyyE s s xyxyG t t 适用范围：各向同性材料，线弹性范围内适用范围：各向同性材料，线弹性范围内单辉祖：工程力学35)(1zyxxEs ss s s s )(1xzyyEs ss s s s )(1yxzzEs ss s s s 适用范围：各向适用范围：各向同性材料，线弹同性材料，线弹性范围内性范围内 广义

17、胡克定律广义胡克定律（三向应力状态）Exxs s Eyxss Ezxss 单辉祖：工程力学36 例例 题题例 5-1 已知已知 E = 70 GPa, = 0.33, 求求 45。解： 应力分析应力分析 4545。计算。计算)(11454545sss s E41031. 3 MPa30 , 0 MPa,50 xyxt ts ss sa at ta as ss ss ss ss sa asin2cos222xyxyx 09sin3009cos2050205045 s sMPa 5 MPa55135 s s单辉祖：工程力学37例 5-2 对于各向同性材料，试证明：对于各向同性材料，试证明：)(12

18、 EG证：0 yx G/xyt t 245xy a a a a a asin22cos222xyyxyx 根据几何关系求根据几何关系求 4545。 根据广义胡克定律求根据广义胡克定律求 4545。)(11345sss s E 比较比较)(12 EGEt t )(1 G2t t 单辉祖：工程力学38例 5-3 边长边长 a =10 mm 正方形钢块，置槽形刚体内，正方形钢块，置槽形刚体内， F = 8 kN， 0.30.3，求钢块的主应力，求钢块的主应力 解：MPa 802 aFys s0 x yxsss s MPa 24 EEyxxsss s 0 EEyxsss sMPa 80 ,MPa 24

19、 , 0321 s ss ss s单辉祖：工程力学396 复合材料应力应变关系简介 正轴应力应变关系正轴应力应变关系 偏轴力学特性偏轴力学特性单辉祖：工程力学40 正轴应力应变关系正轴应力应变关系1111E,s s s s 111221E,s s s s 2222E,s s s s 222112E,s s s s 121212G 2221111EEs s s s 1112222EEs s s s E1纵向弹性模量纵向弹性模量 12纵向泊松比纵向泊松比E2横向弹性模量横向弹性模量 21横向泊松比横向泊松比G12纵向切变模量纵向切变模量正轴应力应变关系正轴应力应变关系单辉祖：工程力学41 偏轴力学特性偏轴力学特性 拉伸与剪切之间存在耦合效应拉伸与剪切之间存在耦合效应 弹性常数弹性常数具有方向性具有方向性)(a a s sa axxE )(a a t ta axyxyG )(a aa aE )(a aa aG 单辉祖：工程力学42本章结束 !