微积分教材配套版课件：11-3

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1、11-3 微分与导数微分与导数 全微分的定义全微分的定义 函数可微的条件函数可微的条件 如果函数如果函数),(yxfz 在点在点),(yx的增量的增量),(),(yxfyyxxfz 可以表示为，可以表示为，( )zA xB yo 其中其中BA,不依赖于不依赖于yx ,而而仅与仅与yx,有关，有关，22|()()rxy ，则称函数，则称函数),(yxfz 在点在点),(yx可微分，可微分，yBxA 称为称为函数函数),(yxfz 在点在点),(yx的的全全微分微分，记为，记为dz，即即 yBxAdz . . 二元函数（全）微分的定义二元函数（全）微分的定义 函函数数若若在在某某区区域域 D 内内

2、各各点点处处处处可可微微分分，则则称称这这函函数数在在 D 内内可可微微分分.二、函数可微的条件二、函数可微的条件 定理定理 1 1（必要条件）（必要条件） 如果函数如果函数),(yxfz 在点在点),(yx可微分，则可微分，则 (1)(1)该函数在点该函数在点),(yx的偏导数的偏导数xz 、yz 必存必存在，且函数在，且函数),(yxfz 在点在点),(yx的全微分的全微分为为 yyzxxzdz (2) (2) 函函数数 f f 在点在点( (x x, ,y y) )是连续的是连续的. . 证证如如果果函函数数),(yxfz 在在点点),(yxP可可微微分分,任任取取 ),(yyxxPP的

3、的某某个个邻邻域域)( oyBxAz 总成立总成立,当当0 y时，时，|22xyx ,),(),(yxfyxxfz |),(|xoxA Axzx 0lim,xz 同理可得同理可得.yzB yyzxxzdz 一元函数在某点的导数存在一元函数在某点的导数存在 微分存在微分存在多元函数的各偏导数存在多元函数的各偏导数存在 全微分存在全微分存在例如，例如，.000),(222222 yxyxyxxyyxf在点在点)0 , 0(处有处有0)0 , 0()0 , 0( yxff0lim00 yBxAzyx研究研究?)0 , 0()0 , 0(yfxfzyx ,)()(22yxyx 如如果果考考虑虑点点),

4、(yxP 沿沿着着直直线线xy 趋趋近近于于)0 , 0(，则则 22)()(yxyx 22)()(xxxx ,21 说说明明它它不不能能随随着着0 而而趋趋于于 0,0 当当 时，时，),()0 , 0()0 , 0( oyfxfzyx 函数在点函数在点)0 , 0(处不可微处不可微.函数的各偏导数存在函数的各偏导数存在, 函数未必可求全微分。函数未必可求全微分。习惯上，记全微分为习惯上，记全微分为.dyyzdxxzdz 全微分的定义可推广到三元及三元以上函数全微分的定义可推广到三元及三元以上函数.dzzudyyudxxudu 我们也称二元函数的全微分等于它的两个偏微分我们也称二元函数的全微

5、分等于它的两个偏微分之和之和（叠加原理也适用于二元以上函数的情况叠加原理也适用于二元以上函数的情况定定理理（充充分分条条件件）如如果果函函数数),(yxfz 的的偏偏导导数数xz 、yz 在在点点),(yx连连续续，则则该该函函数数在在点点),(yx可可微微分分2.( , ),( , )( , )( , ),( , )( , ),( , )a ba bfa bf a bf a ba ba bxyxy定义 二维向量(ff称为二元函数在点的导数,记成D即 D(ff ( , )( , )dxa b dxa b dyxy令 dr （，dy），则 df(a,b)=Df(a,b) drff 多元函数连续、

6、可导、可微的关系多元函数连续、可导、可微的关系函数可微函数可微函数连续函数连续偏导数连续偏导数连续函数可导函数可导例例 1 1 计算函数计算函数xyez 在点在点)1 , 2(处的全微分处的全微分.解解,xyyexz ,xyxeyz ,2)1 ,2(exz ,22)1 ,2(eyz .222dyedxedz 所求全微分所求全微分例例 2 2 求函数求函数)2cos(yxyz ，当，当4 x， y，4 dx， dy时的全微分时的全微分.解解),2sin(yxyxz ),2sin(2)2cos(yxyyxyz dyyzdxxzdz),4(),4(),4( ).74(82 例例 3 3 计计算算函函

7、数数yzeyxu 2sin的的全全微微分分.解解, 1 xu,2cos21yzzeyyu ,yzyezu 所求全微分所求全微分.)2cos21(dzyedyzeydxduyzyz 函数函数),(yxfz 在点在点),(00yx处可微的充分条件是处可微的充分条件是:（1）),(yxf在点在点),(00yx处连续；处连续；（2）),(yxfx 、),(yxfy 在点在点),(00yx的的 某邻域存在；某邻域存在；（3）yyxfxyxfzyx ),(),(， 当当0)()(22 yx时是无穷小量；时是无穷小量；（4）22)()(),(),(yxyyxfxyxfzyx , 当当0)()(22 yx时是

8、无穷小量时是无穷小量.思考题思考题 2、二元函数二元函数f(x，y)在点（在点（x0，y0)处两个偏导数处两个偏导数),(),(0000yxfyxfyx 存在，是存在，是f(x，y)在该点连续的在该点连续的（A）充分条件而非必要条件）充分条件而非必要条件 （B）必要条件而非充分条件）必要条件而非充分条件（C）充分必要条件）充分必要条件（D）既非充分条件又非必要条件）既非充分条件又非必要条件.),(lim),(lim),(lim),(),(),),(),(300000000存存在在）存存在在；及及）点点可可微微；在在）点点连连续续；在在都都存存在在，则则的的两两个个偏偏导导数数在在、yxfDyx

9、fyxfCPyxfBPyxfAffyxPyxfyyxxyyxxyx.),(),(),(4）必必不不可可微微）偏偏导导数数必必不不存存在在；）极极限限必必不不存存在在；必必无无定定义义；在在该该点点处处处处不不连连续续，则则在在、设设DCBAyxfyxyxfZ 二、曲面的切平面与法线二、曲面的切平面与法线nTM00000000000( , ),),),).( , )( ,)1 0,);( , )( ,)01,);yzf x yyyfyzf x yyfyyyyzf x yyfyxxy0 x00000 x0000y0曲面在点(x可微分时，有两个偏导数f (x与 (x 曲线 在点P x(x的切向量为（

10、， ，f (x 曲线 在点P x(x的切向量为（ ， ，f (x这两个切向量的向量积是切平面的法向量，即:00,),)ny iyjk x0y0f (xf (x曲面在曲面在M处的切平面方程为处的切平面方程为,)(,()(,(0000000zzyyyxfxxyxfyx 曲面在曲面在M处的法线方程为处的法线方程为.1),(),(0000000 zzyxfyyyxfxxyx例例 1 1 求旋转抛物面求旋转抛物面122 yxz在点在点)4 , 1 , 2(处的切平面及法线方程处的切平面及法线方程. 解解, 1),(22 yxyxf)4, 1 ,2()4, 1 ,2(1,2,2 yxn,1, 2, 4 切平面方程为切平面方程为, 0)4()1(2)2(4 zyx, 0624 zyx法线方程为法线方程为.142142 zyx