四川省乐山市2020届高三第一次调查研究考试(12月)数学理科试题

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1、四川省乐山市2020届高三第一次调查研究考试（12月）试题数学理科、选择题：本大题共 12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中.只有一项是符合题目要求的.1.已知集合 A= x| (x+2) (x3)0工+1口叼6，芯 0的零点之和为（A. 一 1B. 1C. - 2D. 26 .我市高中数学研究会准备从会员中选拔x名男生，y名女生组成一个小组去参加数学文2s-y5化知识竞赛，若xy满足约束条件,则该小组最多选拔学生（A.21名B. 16 名C.13名D. 11 名7.设m= log 0.30.6n=ylaga0. 6,则(A.m+n mrK 0B. mrK 0 m+nC.m+

2、n 0V mnD. mrK m+n08.元朝著名数学家朱世杰在四元玉鉴中有一首诗：“我有一壶酒，携着游春走，遇店添一倍，逢友饮一斗，店友经三处，没了壶中酒，借问此壶中，当原多少酒？”用程序框图表达如图所示若将“没了壶中酒”改为“剩余原壶中一的酒量”即输出值是输入值的3则输入的x=()/输出.J结束A.B.p 21 C.239.已知单位向量分别与平面直角坐标系 x, y轴的正方向同向，且向量 AC = 3曰-月，BD= 2%+61,则平面四边形ABCD勺面积为(B. ： IC. 10D. 2010.函数 f (x) = x?lnnx2+si nK的部分图象可能是(A.B.D.11.已知函数f （

3、x），令函数式工）二f若函数g汽）有A.B.（一巴 0）D.9, 0）U稳一12.如图，已知函数.A3是图象的顶点，O, B, C, D为f （x）与x轴的交点，线段 A3D上有五个不同的点Q, Q, , Q,2,，5）,贝U ni+n2+n5的值为（）D,(i =1,B. 45两个不同零点，则实数 a的取值范围是（）15. （5分）如图，在单位圆中,7Sa poin=2氐,MON；等边三角形，M N分别在单位圆的0) , (6, 4),则 f (f (0) =;函数 f (x)在 x=1 处导数 f (1) =、填空题：本大题共 4小题；每小题5分，共20分.13. （5分）命题“ ？ xC

4、 R, f （x） wx”的否定形式是14. （5分）如图，函数f （x）的图象是折线段 ABC其中A B, C的坐标为（0, 4）, （2,第一、二象限内运动，则 sin / POM16. （5分）已知 ABC中，角A B, C对应的边分别为 a, b, c,且BC边上的高为a,贝也二 c b的取值范围为.三、解答题：本大题共 5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤.17. （12分）已知an是递增的等差数列，且满足 a2+a4=20, ai?a5= 36.（1）求数列 an的通项公式；（2）若bn=瓯-3Q（nE N*），求数列bn的前n项和的最小值.18. （12分）在

5、ABC43,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,且满足且辿|tanC 2b-a（1）求角C;（2）设D为边AB的中点， ABC勺面积为 W1，求边CD勺最小值.19. （12分）如图，在三棱柱 ABG A1B1C1中，侧面 ABBA1是菱形，D为AB的中点， ABC为等腰直角三角形，/ ACB=, /ABB=$-,且AB= B1C.23（1）求证：CDL平面 ABBA1；（2）求CD与平面BCCB1所成角的正弦值.20. （12分）某校为了解学生一周的课外阅读情况，随机抽取了 100名学生对其进行调查. 下面是根据调查结果绘制的一周学生阅读时间（单位：分钟）的频率分布直方图，且将一阅读爱好”

6、.（1）根据已知条件完成下面周课外阅读时间不低于 200分钟的学生称为“阅读爱好”，低于200分钟的学生称为“非2X2列联表，并据此判断是否有 97.5%的把握认为“阅读爱好”与性别有关?非阅读爱好阅读爱好合计5014合计(2)将频率视为概率，从该校学生中用随机抽样的方法抽取4人，记被抽取的四人中“阅读爱好”的人数为E ,若每次抽取的结果是相互独立的，求E的分布列和数学期望EE .附：P (330.010.0500.0250.0100.001ko2.7063.8415.0246.63510.828K工二nQd-bc), n= a+b+c+d.(a (c+d) (a+c) (b+d)21. (1

7、2分)已知函数f(x)=eax+b(a,bCR)的图象与直线1： y = x+1相切，f(x)是f (x)的导函数，且f (1) = e.(1)求 f (x)；(2)函数g (x)的图象与曲线y = kf (x) (kC R)关于y轴对称，若直线l与函数g (x)的图象有两个不同的交点A (xi, g (xi), B (x2, g (x2),求证：xi+X2-4.请考生在第22-23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.选彳4-4:坐标系与参数方程22. . (10分)在平面直角坐标系xOy中，已知曲线G的参数方程为(十为参数)，以坐标原点。为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,

8、曲线G的极坐标方程为p =4cos 0 .(1)求曲线Ci与曲线G两交点所在直线的极坐标方程；(2)若直线l的极坐标方程为psin(白 4)二刈,直线l与y轴的交点为M与曲 线Ci相交于 a B两点，求| MA+| MB的值.选彳4-5 :不等式选讲23. 已知x, y, z均为正数.(1)若 xy4xyz;(2)若 灯, =1,求2xy?2yz?2xz的最小值.x+y-i-z 3参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中.只有 一项是符合题目要求的.1 . (5 分)已知集合 A=x| (x+2) (x-3)0, B= x| y=/74，

9、则 An (?)=()A. -2, 1)B. 1, 3C (一巴2) D. (-2, 1)【分析】可以求出集合 A B,然后进行交集、补集的运算即可.【解答】解：丁 A= x| -2x1,?rB= x|x0k+1ox可得 x0 时，3-2 = 0,解得 x= log 32,xw 0 时，x+log 36= 0,解得 x= log 36.所以函数f (x)=3x-2 , x0口欠yX-l ,则该小组最多选拔学生（）A. 21 名B. 16 名C. 13 名D. 11 名【分析】由题意画出约束条件表示的可行域，找出目标函数z=x+y对应的最优解，计算可行域内使得z取得最大时的最优解.仔-y5【解答

10、】解：画出x, y满足约束条件 yyK-l,表示的平面区域，如图所示；I要求招入的人数最多，即 z=x+y取得最大值，目标函数化为y= - x+z；在可行域内任意取 x, y且为正整数使得目标函数代表的斜率为定值-1,截距最大时的直线为过 J铲7得A（7,9）,此时目标函数取得最大值为：z=9+7= 16.l2x-y=5故选：B.【点评】本题考查了线性规划的应用问题，7. （ 5 分）设 mr= - log 0.3 0.6 , n=3l后A. m+n mnx 0B. mr 0 m+n也考查了数形结合的求解问题，是基础题.加6,则（）C. mmv0v mnD. mn m+n0【分析】先求出m=

11、- log 0.3 0,Lu g20. $0,由此能推导出【解答】解：: m= Tog 0.30.61c c 1口6心 V n.6 ( log 0.3 0.2+1 )2 ,?lu 弓z?n m+n 0V mn=-(10g 0.30.2+log 0.30.3) =- ( log 0.30.2+1 ) v - 2,0. 60，m+n/7i, | BD| =Jz*+62 = 2% 1Q，平面四边形 ABCD勺面积=/？|正|?|而| =xUjx2/ = l0,故选：C.【点评】本题考查了向量数量积运算性质、四边形的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.10（5分）函数f （x） = x

12、?ln三运&的部分图象可能是（）2+si nxC.D.【分析】根据题意，由函数的解析式分析f （x）的奇偶性以及（0,兀）上的符号，利用排除法分析可得答案.【解答】解：根据题意，f （x） =x?ln空当,则f （-x） = （- x） ln+sinx = x?2+sinx2-sinx.2-sinx r z 、ln f （x）,2+sinx则函数f (x)为偶函数，据此排除 C D;在(0,兀)上，sinx0,贝U有0Vzz且运邑1,必有InZl皇二更-v 0,贝U f (x)=xln21皇二更2+si nx2+sinx2+sinx【分析】令 F (x) = f ( x) - -v=r 3,2

13、-”一5必我飞求解函数的极值，利用函数的图象通过F (x) = a (a为常数)后两个不相等的实根，则2-乂1咚【解答】解：令 F (x) =f (x) 3兀=，2 32 L 支当 x0 时，函数 F (x) =2 (lnx+1) = 1 - lnx ,由 F (x) 0得 1 lnx 0 得 lnx v 1,得 0Vxve,由 F (x) v 0 得 1 lnx v 0 得 lnx 1,得 xe,当函数晨夏)寸&)箜片观，若函数g)0, 0)L O)U咯一160,利用分段函数通过函数的导数， a0JLaQ stCOx值趋向于正无穷大时，y值也趋向于负无穷大，即当 x=e时，函数F(x)取得极

14、大值，极大值为e = e,当 xw0 时，/(5c)=_工_乂=_(工叶)，是二次函数， /410在轴处取得最大值 工，作出函数F (x)的图象如图：16F (e) = 2e - elne = 2e要使F(x) = a (a为常数)有两个不相等的实根，则 a0JLaXq.【分析】否定：否定量词，否定结论.【解答】解：否定：否定量词，否定结论.故命题“？ xCR,f(X)Wx”的否定形式是为：？Xo eR,f(Xo) Xq.故答案为：？ XoC R, f (Xo) Xo.【点评】本题考查命题否定，属于基础题.14. (5分)如图，函数f (x)的图象是折线段 ABC其中A B, C的坐标为(0,

15、 4),0), (6, 4),则 f (f (0) =2 ;函数 f (x)在 x=1 处导数 f (1) =2【分析】(1)要求f (f (0)的值，可先求f (0) =4,再求f (4),此即为所求;(2)函数的图象可知,f-2K+4? 05!2工-2, 24其46然后求出导数即可求出结果.【解答】解：(1)由图象可知f (0) =4, f (4) =2,即 f (f (0) =2(2) /f (0) =4, f (4) = 2, f (2) =4,，由函数的图象可知，04工2丫 旷2.当 0WxW2 时，f (x) =- 2.f (1) =- 2故答案为：2,-2【点评】本题考查函数的图

16、象，导数的运算，解题时要注意分段函数的定义域，属于基础题.15. （5分）如图，在单位圆中，IS、pov2、.叵 4MO的等边三角形， M N分别在单位圆的第一、二象限内运动，则 sin / POM 内 .-14 -【分析】由7Sa PONF2内，得至1300 U9U，故 90 v+ +60v 120 ，得 tru)二/,再由sin a = sin(a +60 ) - 60 展开代入即可.【解答】解：设/ POIWa,因为 0PONF 2氏所以JLn（Cl+0 ）选，又MON等边三角形，M N分别在单位圆的第一、二象限内运动，所以占 in a MO ）? 30 （口9。口，故 90 Va +6

17、0 口口84=b二63+26。口5人=$所八+28$好门号irAA+j）,结c b bebebe合基本不等式求出 且 /_的范围.c b【解答】解：已知ABC,角A,B,C对应的边分别为a,b,c,且BC边上的高为a,所以S蛆c得”心，所以a =bcsin A由余弦定理得 a2= b2+c2 - 2bccosA, 222所以/,b -c 二 +2b8O&=bsinA或b0,运用等差数列的性质和通项公式，可得公差d,首项,进而得到所求通项公式；(2)求得bn= (4n-2) - 30=2n- 31,运用等差数列的求和公式，配方可得所求最 |2小值.【解答】解：(1) an是递增的等差数列，设公差

18、为d,则d0,a2+a4= 20, a1?a5=36,可得 a1+a5= 20,解得 a1=2, a5= 18, d = = 4, 5-1贝U an= 2+4 (n1) =4n 2；(2) bn = - (4n-2) - 30 = 2n-31,可得前 n 项和 Tn= -n ( 29+2n 31) = n 30n= ( n 15) 225,当n=15时，前n项和Tn取得最小值-225.【点评】本题考查等差数列的通项公式和求和公式，以及单调性、前n项和的最值求法,考查运算能力，属于基础题.18. （12分）在 ABC,内角A, B, C的对边分别是a, b, c,且满足国亚=_!_ tanC 2

19、b-a（1）求角G（2）设D为边AB的中点， ABC勺面积为&热，求边CD勺最小值.【分析】（1）由已知结合正弦定理先进行化简，然后结合两角和的正弦公式及诱导公式可求cosC,进而可求C;（2）由$4轴广4北4门。代入可求ab-然后由无4三十最），结合向量数量积的性质及余弦定理，基本不等式可求.【解答】解：（1）由正弦定理:=_或毡_ 又空地_叵如2型2b-a. 2sinB-sinA tanC cosAsinC由题空电=_,所以tanC 2b-a号inAc0号CcosAsinC2sinB-sinA因为 sin Aw 0,所以 cosC ( 2sin B- sin A) = cosAsin C,

20、即 cosCsin A+cosAsin C= 2sin BcosC,即 sin B= sin (A+C) = 2sin BcosQ因为sin Bw 0,所以c口二看，则（2）由 43cabsi即 3v3总ab4L 所以 ab=12.由五所以而2 怎2演忌无）=3*十2abe岂C）“十一猛）及brb） =9当且仅当a=b时取等,所以边CD的最小值为3.【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理及三角形的面积公式，向量的数量积的性质等知识的综合应用，属于中档试题.19. （12分）如图，在三棱柱 ABG A1B1G中，侧面 ABBA1是菱形，D为AB的中点， ABC 为等腰直角三角形，/ ACB=g

21、, /ABB= =，且AB= BiC.（1）求证：CDL平面 ABEA1；（2）求CD与平面BCCB1所成角的正弦值.力口诉，推导出CDL BD,由【分析】（1）推导出CDL AR连结BD,设AB= 2a,则此能证明CDL平面ABM.（2）设 CD与平面 BCCB1所成角为。，点 D到平面 BCCB的距离为 d, AB= 2a,由,求出d=Wa，V 7由此能求出CD与平面BCCB1所成角的正弦值.【解答】解：（1）证明：D为AB中点，AC= BC . . CDL AB连结BiD,如图，设 AB= 2a, 四边形 ABBA1是菱形，D为AB中点，/ ABB, 3abb等腰直角三角形， Nace二

22、三-，ca，BiM+CD2=B1/， CDL BD, . ABn BiD= D, CDL平面 ABg.（2）解：设C时平面BCCB所成角为。，点D到平面BCCB的距离为d, AB= 2a,由（1）知BiD，平面BCD则. XHQBC=V2a, BB= BiC= 2a,AB.BC=7 XV5aXVv炉2GJ a,V3 3 V7 2j- -rTa = a a &6解得d=V7sin 0 =4L=宜卫CDCD与平面BCCBi所成角的正弦值为 I.7【点评】本题考查线面垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线 面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.20. （12分

23、）某校为了解学生一周的课外阅读情况，随机抽取了 100名学生对其进行调查. 下面是根据调查结果绘制的一周学生阅读时间（单位：分钟）的频率分布直方图，且将一周课外阅读时间不低于 200分钟的学生称为“阅读爱好”，低于200分钟的学生称为“非 阅读爱好”.（1）根据已知条件完成下面 2X2列联表，并据此判断是否有 97.5%的把握认为“阅读爱 好”与性别有关？非阅读爱好阅读爱好合计男50女14合计（2）将频率视为概率，从该校学生中用随机抽样的方法抽取4人，记被抽取的四人中“阅读爱好”的人数为E ,若每次抽取的结果是相互独立的，求E的分布列和数学期望EE .附：P （/八。）0.010.050 0.

24、025 0.0100.001k02.706 3.841 5.024 6.63510.828v2, n= a+b+c+d.(a (c+d) (a+c) (b+d)【分析】（1）完成2X2列联表，求出 K= 65.024 ,从而有97.5%的把握认为“阅读爱好”与性别有关.(2)由频率分布直方图知从该校学生中任意抽取1名学生，恰 为“阅读爱好”的概率B (4,二)，由此能求出W的分布列和5E(E)【解答】解：(1)完成2X 2列联表如下:合计非阅读爱好243660_ 100 X(24 X 14-36X 26)260X 40X 50X50=6 5.024阅读爱好261440合计5050100.有97

25、.5%的把握认为“阅读爱好”与性别有关.(2)由频率分布直方图知:从该校学生中任意抽取 1名学生，恰 为“阅读爱好”的概率为由题意知EP G = 0)P G = 1)P G =2)P G =3)P G = 4)01234812162169616625625625625625，E (E) = 4X【点评】本题考查独立性检验的应用，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法, 考查二次分布等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.21. (12分)已知函数f (x) = eax+b(a, be R)的图象与直线l： y = x+1相切，f (x)是f (x)的导函数，且f (1) = e.(1)求

26、f (x);(2)函数g (x)的图象与曲线y=kf (x) (kC R)关于y轴对称，若直线l与函数g (x) 的图象有两个不同的交点 A (x1，g (x1)，B (x2, g (x2),求证：x1+x20)，可得要证 xI+x20,可令 h (t) =t (1+et) - 2 (e, 1), t0, 求得二阶导数，判断单调性，即可得证.【解答】解：(1)设直线l与函数f (x)的图象相切的切点为(mi n),函数 f (x) =eax+b的导数为 f (x) = aeax+b,由题意可得 aeam+b=1, ean+b=m+1,且 aea+b=e,解得 a=1, b=0, m 0,可得

27、f (x) = ex；(2)函数g (x)的图象与曲线 y=kf (x) (kCR)关于y轴对称，可得 g (x) = kf ( x) = ke x,由 g (x)= x+1, g (x2)= x2+1,可得 ke x1=x1+1, ke x2 = x2+1,两式相加可得 k (e x1+e x2) =x1+x2+2,两式相加可得k (ex1-e) =x-x2,量- -H-贝u x1+x2+2 =:_2-?(x1 一 x2),量.1 K -s|16 -l+st令 x1一 x2= t (t0),贝U x1+x2+2 =-?t ,Het要证 x1+x2 4,即证？t 0,可令 h (t) = t

28、(1+et) - 2 (et - 1), t 0, h (t) = 1+te t - et, h (t) = tet0, h (t)在 t0递增，h (t) h (0) =0,可得 h (t)在 t0递增，即有 h (t) h (0) =0,可得X1+X2V - 4成立.【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调性，考查构造函数法和方程思想、化简运算能力，属于中档题.请考生在第22-23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.选彳4-4:坐标系与参数方程22 . (10分)在平面直角坐标系xOy中，已知曲线G的参数方程为1 flicks Q二(中为参数)，以坐标原点O为极点，X

29、轴正半轴为极轴建立极坐标系，IvVlOsinCP曲线G的极坐标方程为p = 4cos 0 .(1)求曲线G与曲线G两交点所在直线的极坐标方程；(2)若直线l的极坐标方程为p sin(G 4)=26，直线l与y轴的交点为M与曲 线G相交于A, B两点，求| MA+| MB的值.【分析】(1)由曲线。的参数方程消去参数力，得曲线 G的普通方程.把p= 4cos。两边同时乘以P,结合极坐标与直角坐标的互化公式得曲线G的普通方程.联立两圆的普通方程可得两交点所在直线的普通方程，进一步得到直线的极坐标方程；(2)由口 sin( 9-)=2点，展开两角和的正弦，得直线 l的直角坐标方程，求得 M (0,

30、4),写出直线l的参数方程，代入曲线 G (x-5) 2+y2=10,再由参数t的几何意义求解.【解答】解:（1）由WsinC的普通方程为：（x-5） 2+y2= 10.由 p = 4cos。，得 p 2= 4 p cos 0 ,得曲线 C2 的普通方程为：x2+y2=4x,即（x - 2） 2+y2由两圆心的距离d=3E 15+2）,得两圆相交,，两方程相减可得交线为-6x+21=5,即我直线的极坐标方程为 p oos白二名；(2)由 p sin(日匚=2匹得除口 sin 8有P cos 9 -2rj2 ,，直线l的直角坐标方程：x+y=4,则与y轴的交点为M (0, 4).直线l的参数方程

31、为2+y2=10,得土2将应hr .设A, B两点的参数为ti, t2,，t4t2 =-m，tit2=31,则 tl, t2 同号|=| t IMt? = | “ + 0【点评】本题考查参数方程与普通方程，以及极坐标方程与直角坐标方程的互化，考查直线参数方程中参数t的几何意义及其应用，着重考查了运算与求解能力，是中档题.选彳4-5 :不等式选讲23.已知x, y, z均为正数.(1)若 xyvl,证明:|x+z| ?| y+z| 4xyz；(2)若 中 =工,求2xy?2yz?2xz的最小值.x+y+z 3【分析】(1)利用基本不等式可得|x+z|?|y+z| 2Txz*2yi = 4zVxy

32、 ,再根据0Vxy4xyz;(2)由 仃芯=,得然后利用基本不等式即可得到xy+yz+xz3,x+y-i-z 3 yz xz xy从而求出2xy?2yz?2xz的最小值.【解答】解：(1)证明：.x, V，z均为正数，| x+z| ?| y+z| = ( x+z) (y+z) *2Vyz =,当且仅当x=y = z时取等号.又, 0Vxy v 1, ,| x+z| ?| y+z| 4xyz;当且仅当x=y = z=1时取等号,ity+yz+Hz*1-+ +，6，iy yz szxy+yz+xz 3,，2xy?2yz?2xz= 2xy+yz+z 4 8,. 2xy?2yz?2xz 的最小值为 8.【点评】本题考查了利用综合法证明不等式和利用基本不等式求最值，考查了转化思想和运算能力，属中档题.