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1、最新精品资料最新精品资料最新精品资料1.3中国古代数学中的算法案例【入门向导】秦朝末年，楚汉相争一次，韩信率1 500名将士与楚王大将李锋交战苦战一场，楚军不敌，败退回营，汉军也死伤四五百人，于是韩信整顿兵马也返回大本营当行至一山坡，忽有后军来报，说有楚军骑兵追来只见远方尘土飞扬，杀声震天汉军本来已十分疲惫，这时队伍大哗韩信骑马到坡顶，见来敌不足五百骑，便急速点兵迎敌他命令士兵3人一排，结果多出2名；接着命令士兵5人一排，结果多出3名；他又命令士兵7人一排，结果又多出2名韩信马上向将士们宣布：我军有1 073名勇士，敌人不足五百，我们居高临下，以众击寡，一定能打败敌人汉军本来就信服自己的统帅，
2、这一来更相信韩信是“神仙下凡”“神机妙算”于是士气大振，一时间旌旗摇动，鼓声喧天，汉军步步进逼，楚军乱作一团，交战不久，楚军大败而逃这就是历史上有名的“韩信点兵”，这类问题的有解条件和解题方法被称为“中国剩余定理”，是一个典型的算法案例1用等值算法求两个正整数的最大公约数“等值算法”在我国古代也称为“更相减损之术”有人称其为“约分术”，是一种对分数约分的算法；也可以用来求最大公约数对于给定的两个不相等的正整数，用较大的数减去较小的数，接着把所得的差和较小的数作比较，并以较大数减去较小数，继续这个操作，直到所得的两数相等为止，则这个数就是所求的最大公约数例1用“等值算法”求84与294的最大公约
3、数分析根据等值算法算理计算如下：29484210；21084126；1268442；844242；42420.解(294,84)(210,84)(126,84)(42,84)(42,42)故84与294的最大公约数是42.2割圆术所谓“割圆术”，就是用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆面积，并以此求取圆周率的方法这个方法，是刘徽在批判总结了数学史上的各种旧的计算方法之后，经过深思熟虑才创造出来的一种方法割圆术的步骤：第一，从半径为1的圆内接正六边形开始，计算它的面积S6.第二，逐步加倍圆内接正多边形的边数，分别计算圆内接正十二边形、正二十四边形、正四十八边形的面积，到一定的边数(设为2m)为止，
4、得到一列递增的数S6，S12，S24，S2m.第三，在第二步中各正n边形每边上作一高为余径的矩形，把其面积(S2nSn)与相应的正n边形的面积S2n相加，得S2n(S2nSn)，这样又得到一列递增数：S12(S12S6)，S24(S24S12)，S48(S48S24)，S2m(S2mSm)第四，圆面积S满足不等式S2mSS2m(S2mSm)估计S的近似值，即圆周率的近似值3秦九韶算法是多项式求值的最先进的算法(1)秦九韶算法把求一个n次多项式的值转化为求n个一次多项式的值，把求f(x)anxnan1xn1a1xa0的值转化为求递推公式：(k1,2，n)中vn的值，所以我们可以将这个递推关系通过
5、循环结构编写程序在计算机上实现(2)运算次数减少，只需至多n次乘法和n次加法运算，而直接求和所用乘法的次数为，加法的次数为n次，从而大大提高了运算效率计算机做一次乘法运算需要的时间是做加法运算的几倍到十几倍，衡量一个算法“优”“劣”的标准之一就是运算效率，减少乘法运算的次数也就加快了计算速度所以说，秦九韶算法是多项式求值的最先进的算法例2用秦九韶算法求多项式f(x)x50.11x30.15x0.04，当x0.3时f(x)的值分析本题中有些项不存在，如x4，x2要补上，x4写为0x4，x2写为0x2.解将f(x)写为：f(x)(x0)x0.11)x0)x0.15)x0.04.按从内到外的顺序，依
6、次计算多项式的值v01；v110.300.3；v2v10.30.110.2；v3v20.300.06；v4v30.30.150.132；v5v40.30.040.079 6.所以，当x0.3时，多项式的值为0.079 6.点评当多项式中有几项不存在时，可将这几项看作0xn.1秦九韶算法计算多项式的值，要对多项式进行正确改写例1f(x)3x42x24x2，求f(2)的值错解f(x)(3x22)x4)x2v13(2)2214v214(2)424v324(2)250f(2)50.正解f(x)3x40x32x24x2(3x0)x2)x4)x2v03v13(2)06v26(2)214v314(2)424
7、v424(2)250f(2)50.2利用秦九韶算法，当多项式中出现空项时要用0xn补齐例2用秦九韶算法，求当x2时，f(x)x55x4x31的函数值错解利用秦九韶算法递推公式，有v01；v11253；v2(3)215；v3(5)2111.所以f(2)11.正解利用公式有v01；v11253；v2(3)215；v3(5)2010；v4(10)2020；v5(20)2141.所以f(2)41.课本在算法案例中所介绍的等值算法(即更相减损之术)与辗转相除法(即欧几里得算法)都是求两个正整数的最大公约数的方法，它们既有相同之处，也有不同之处更相减损之术的具体算法是：用两数中较大的数减去较小的数，用所得
8、的差与较小的数构成新的一对数，对这一对数再用较大的数减去较小的数，以同样的操作一直做下去，直到产生一对相等的数，这个数就是所求的最大公约数辗转相除法的具体算法是：用两数中较大的数除以较小的数，若余数等于零，则除数为最大公约数；否则把前面的除数作为被除数，余数作为除数，继续运算，直到余数为零，此时除数即为最大公约数例如：我们用上述两种方法来求68与48的最大公约数等值算法操作如下：(68,48)(20,48)(20,28)(20,8)(12,8)(4,8)(4,4)所以4是68与48的最大公约数辗转相除法操作如下：(68,48)(20,48)(20,8)(4,8)所以4是68与48的最大公约数通
9、过比较不难看出，两种方法相同之处是：都在逐步降低两个数的差；不同之处是：更相减损之术要做到产生一对相等的数为止，辗转相除法做到余数等于零即可如此看来，辗转相除法要比等值算法的操作程序快捷一些例1现有长度为240 cm和560 cm两种规格的钢筋若干，要焊接一批同规格的正方体模型，问怎样设计才能保证正方体体积最大且不浪费材料？分析剪裁的长度应能被240和560同时整除，本题即为求240和560的最大公约数解(560,240)(320,240)(80,240)(80,160)(80,80)，即240和560的最大公约数为80.故将正方体的棱长设计为80 cm时，体积最大且不浪费材料例2有甲、乙、丙
10、三种溶液分别重147 g,343 g,133 g，现要将它们分别全部装入小瓶中，每个小瓶装入液体的质量相同，每瓶最多装多少克溶液？解每个小瓶装的溶液的质量应是三种溶液质量的最大公约数，先求147和343的最大公约数(147,343)(147,196)(147,49)(98,49)(49,49)147和343的最大公约数为49.同理可求得49与133的最大公约数为7.所以每瓶最多装7克.1(泰安模拟)用秦九韶算法计算多项式f(x)3x64x55x46x37x28x1，当x0.4时的值时，需要做乘法和加法的次数分别为()A6,6 B5,6C5,5 D6,5答案A2(烟台模拟)三个数390,455,546的最大公约数是()A65 B91 C26 D13答案D最新精品资料
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