第2章极限与连续

《第2章极限与连续》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第2章极限与连续（17页珍藏版）》请在装配图网上搜索。

1、第章极限与连续 . 数列的极限1. 数列及其极限一、数列极限的描述性定义1. 依照某种规律排列的一串数叫做数列。数列中的每一个数叫做数列的项。数列中的一般项称为通项 , 用 xn 表示。2. 看几个数列的实例：1,4,9,16,25,n 2,1,0,-1,0,1,0,-1,0,1,3. 数列可以看成为自变量取正整数值 n 的函数即:x nf(n)4. 数列的极限对于数列 x1,x 2,x 3, ,x n, ，当项数 n 无限增大时，它的通项 xn 无限趋近于某一个常数 a，则称 a 为数列 x n 的极限。记作lim xna或 xna(n +)n5. 具有极限的数列称为收敛数列，没有极限的数列

2、称为发散数列例如：1,1,1,1,242n12,3,4,5, ( 1) n n 1 ,234n1 ,2 ,3,nn,2341 1,-4,9,-16,25,-36,(-1) n+1n2,其中，是收敛数列，是发散数列。 几点说明 1. 数列的收敛与否与这个数列的增减性无关例如上面的收敛数列中，是递减数列，是递增数列。常数列一定是收敛数列。2. 收敛的数列一定有界，但有界的数列不一定收敛。3. 收敛数列的极限有的可以达到，有的不能达到。例如，常数列可以达到它的极限，但上面的例子都不能达到它们的极限。二、数列极限的精确定义1. 无限趋近于 a 的意义是指：随着 n 的增大，数列的项 xn 与 a 之间

3、的距离越来越小1只要 n 足够大，数列的项xn 与 a 之间的距离可以小于给定的任何正数无论你给定一个多小的正数，都一定可以在数列中找到一项 xN，使这一项后面所有的项与 a 之间的距离小于你给定的那个正数。定义 2.1对于给定的无论怎样小的正数 ，总存在一个自然数 N，使得当 nN时，不等式 |x na| 成立，那么，就称 a 是数列 x n 的极限。 重点提示 求 N的方法是：解不等式 |x na| 例 110证明： limnn思考：按照数列极限的定义，要证lim10 ，需求出使 10的正nnn整数。解1,两边平方得12,即 n11nn2 ,取 N2证：0 ,令 N12则当 nN时 ,n1

4、2 ,1n即 10始终成立 ,于是 lim10nnn2. 数列极限的重要性质： 如果一个数列的极限存在，则此极限是唯一的。 一个数列增加或删去有限项，不影响此数列的极限，即数列极限的存在性不变，极限的值不变。三、数列极限的运算法则1. 什么是数列的和、差、积、商设： x n: 1 , 1, 1,1,122432 n 1nyn:,23,4n1那么数列， 11,12131n称为数列 x 与y 的,223442 n 1n 1nn和, 记作 x nyn数列 x nyn ，称为数列数列 cx n ，称为常数 c 数列 x nyn ，称为数列x n 与y n 的差与数列 x n 的乘积x n 与y n 的

5、积数列xn，称为数列 x n 与y n 的商yn22. 数列极限的四则运算法则 如果数列 x n 和数列 y n 的极限都存在，且 limx na , lim y n bnn则这两个数列的和、差、积、商（在商的情况中y 0，b0）以及常数 cn与其中一个数列的积都是收敛的，且有lim( x ny n) limxnlim y nabnnnlim( cxn )c limxncann这说明求极限时，常数因子可以提到极限记号的前面来lim( xnyn )limxnlimy nabnnnx nlimx nalimny nlimy nbnn3. 三个基本极限运用下面介绍的三个基本极限，可以利用数列极限的运

6、算性质把复杂的数列极限化为简单的数列极限来解。 lim10n n lim q n0 (|q| 1)n公比 |q| 1 的等比数列称为无穷等比递缩数列，它的极限等于例如： a,aq,aq 2 , ,aq n-1 , 的极限为 ,即 lim aq n 10 (|q| 1)n23n特殊地，当 aq 时，有 q,q ,q ,q , 的极限也是n例 3求 lim3n25n16n24n7n3 n 25 n13 n解： limlim6 n24 n76 nnn25 n151n 23n 22limn4 n747n6n 2n 2nlim35 lim1lim13001nnnnn2lim64 lim17 lim160

7、02nn2nnn 解法总结 3如果数列的通项是分子、分母都是 n 的多项式的分式时，可将分子、分母同除以 n 的最高次幂，然后用极限的运算性质解。例 4求 lim 12n2nnn( n1)12nn 2n 1lim2lim解： lim222nnnnn2n2 解法总结 如果数列的通项的分子或分母是无限项之和时，应先将无限项之和求出，再用极限的运算性质解。例 5求 lim( n1n )n解： lim ( n1n )lim (n1n )(n1n )nnn 1n11lim1limlimnnn0nn1nnn11limn 1lim 1nnnn 解法总结 如果数列的通项的分子或分母含有无理式时，可先将无理式有

8、理化后再用极限的运算性质解。2n3n例 6求 limnnn232nn( 2 )n1lim( 2 ) nlim101解： lim3lim3n3n1nn22n23n)n1lim)nlim101(3n3n 解法总结 如果在数列通项的分子和分母中 n 在指数上时，可设法化为底数的绝对值小于的指数式后，再用基本极限和极限的运算性质解。作业： P.513 ,542.2函数的极限2. 函数的极限一、自变量趋于无限时的函数极限x1研究函数f ( x)x图象：Yy = 1X在 x0 的范围内，图象向 x 增大的方向 ( 向右 ) 无限延伸时，趋近于直线 y=1; 在 x0 的范围内，图象向 x 减小的方向 (

9、向左 ) 无限延伸时，也趋近于直线 y=1。1. x +时函数的极限 定义设函数 yf(x) ，如果当 x+时，函数值 f(x) 无限趋近于某常数A，则称 A 是当 x 趋于正无穷时函数yf(x) 的极限，记作 limf ( x) A 或 f(x)xA (x +)上例可表示为：lim x11x x又如： lim 10 ， lim 2x12 。xxxx12. x - 时函数的极限 定义对于函数 yf(x) ，如果当 x - 时， f(x) 无限趋近于某常数 A，则称 A是当 x 趋于负无穷时函数yf(x) 的极限 , 记作 lim f (x) A 或 f(x) Ax(x - )上例可表示为：li

10、m x11x x又如： lim 10 ， lim 2x 12 。xxxx 13. x时函数的极限5 定义对于函数 yf(x) ，如果 x 可正可负，且 |x| 无限增大时， f(x) 无限趋于某常数 A，则称 A 是当 x 趋于无穷时函数 yf(x) 的极限 , 记作 lim f ( x) xA 或 f(x) A(x )上例可表示为： lim x11x x又如：10， lim2 x1lim2 。xxxx1二、自变量 x 趋于某有限值 x0 时的函数极限x x0 的情况有两种，一种是x 不断增大趋近于 x0，即从 x0 的左边趋-，另一种是 x不断减小趋近于 x ，即从 x的右边趋近近于 x ，

11、记作 xx0000于 x0，记作 xx0+。这两种情况的结果可能不一样，特别是分段函数。例如：x,x0当 x0- 时 f(x)0( 左)f(x)x1,x 0 当 x0+时 f(x)1( 右)1 xx0- 时函数的极限 定义设函数 yf(x) 在点 x0的邻域内即 x0 的左右 (x 0 可除外 ) 有定义，且当 x-时，函数 yf(x)x0 时，函数值 f(x) 趋于常数 A，则称 A 是当 x 趋近于 x0的极限 ( 左极限 ) ，记作 lim f ( x) Axx02 xx0+ 时函数的极限 定义设函数 yf(x) 在点 x0 的邻域内即+x0 时，函数值 f(x) 趋于常数 A，则称x0

12、 的左右 (x 0 可除外 ) 有定义，且当 x A 是当 x 趋近于 x0+ 时，函数 yf(x)的极限 ( 右极限 ) ，记作limf ( x)Axx0函数的左极限和右极限统称为函数的单侧极限。3 xx0 时函数的极限 定义设函数 yf(x) 在点 x0 的邻域内即 x0 的左右 (x 0 可除外 ) 有定义，且当 x 从 x0 的左右两侧同时无限趋近于 x0 时，函数值 f(x) 都趋近于常数 A，则称 A 是当 x 趋近于 x0 时，函数 yf(x) 的极限，并记作lim f ( x)Axx06 函数极限存在定理 当且仅当 lim f (x)和 lim f (x)都存在且相等时，lim

13、 f (x) 才存在，x xx xx x000即 lim f (x)A成立的充分必要条件 lim f (x)lim f (x) Ax x0x x0x x0 说明函数极限的精确定义 ( 又称为 定义 ) 见课本 P.5254 重点提示 求分段函数的极限的方法就是计算它在指定点的左极限和右极限是否存在并且是否相等。例如：判断下列函数在指定点的是否存在极限x 1, x2sin x, x0 y1x 0yx 2x, x 2x, x03解： lim y2, lim y3, lim ylim yx2x2x2x 2 函数在指定点的极限不存在。 lim y sin 00, limy100, lim ylim y

14、x 0x03x 0x0 函数在指定点的极限 lim y0x0三、函数极限的运算法则如果当 xx0 时，函数 f(x)和 g(x) 的极限都存在，且 lim f ( x ) A ,xx0limg ( x )B ,则有x x0lim f ( x )g ( x )limf ( x )limg ( x)ABx x0x x0x x0lim c f ( x )c limf ( x )cAx x0xx0lim f ( x )g ( x )limf ( x )limg ( x ) nABx x0xx0xx 0f ( x)limf ( x)A,(Blimx x0g ( x)0)x x0g ( x)limBx x

15、02. 求函数的极限举例例如 求下列极限1x3lim1 x 1limlim 2xx 3 x 3x 3 x9x 071lim 111解： limx3x3lim xlim 3336x 3x3x3 limx3limx3lim119x 3 x2x 3 x 3 x 3x 3 x 3 6 lim1 x 1lim( 1 x 1)( 1 x 1)xlim11xx( 1 x 1)lim2x 0x 0x 0 x( 1 x 1)x 0 1 x 1例如求当 x时，下列函数的极限2x3x21y2x 2x 1yx1x3x1x32 x 3x 21211解： limlimxx3x3x11xx11x 2x 311lim 2li

16、mxlim3200xxxx211100lim 1limlim23xxxxx2112 x2x1 limxx2x3lim3x1xxx111x 2x 31112 limlimlim000xx230xxxxlim 1lim1lim1100x2x3xxx由此可见，求 x时函数的极限与求数列的极限方法是相同的。小结求极限的一般方法有意义，则极限为直接代入法。以x=x0代入 f(x) ，如 f(x 00)f(x )约分法。如 f(x) 为分式，且分子、分母可约分，约分后所得的式子代入有意义，则以 x=x0代入约分后的式子即可求得函数的极限。 有理化法。如 f(x) 为分式，且分子、分母中其一为无理式，可将其

17、有理化后再约分，如约分后可以以 x=x 0代入，则代入可求得函数的极限。若 x， f (x)为分式，分子、分母均为多项式时，可将分子、分母同除以 x的最高次幂，再逐项求极限。作业： P.592，4 ,52.3两个极限存在定理及其应用1两个极限存在准则：8两个重要的极限是：1.limsin x1x 0x1x2.lim1exx一、夹逼定理设在 x 0的某邻域内( 可不包括点x0 ) 有 g ( x)f ( x ) h ( x )且 lim g ( x)lim h ( x )A ，则 limf ( x) 存在且lim f ( x ) Axx0x x0xx0x x 0这个定理称为夹逼定理，它同样适用于

18、x的情况下面我们就用这一定理证明lim0sinx1 , 请看下图， O为单位圆xxS OABS扇形 OABS OAE112sin x112 x1 1 (1 tan x)222即 sin xxtan x，同除以 sin x得1x1，即 1sin xsin xcos xcos xxlim 1lim cos x，根据夹逼定理，1x0x0则limsin x1x0xEBxOA 注意在这个公式里 x 趋近于哪个数是非常重要的，x 趋近于不同的数 , 极限是不同的。例如， limsinx1, 但 limsinx0x0xxx前者是0 型的，而后者的分母趋向于。0例: 求下列极限limsin 3x1 cos x

19、xlimx2x 0x0解: limsin 3xlim sin 3x33x0xx03x2xsin xlim 1cos x2 sin 211limx2lim2x 0x 2x 0)22 x 0x24(229二、单调数列极限存在定理单调增加 ( 上升 ) 数列：单调减少 ( 下降 ) 数列：x1x2x3xnxn1x1x2x3xnxn1单调增加数列和单调减少数列统称为单调数列。 定理单调有界数列一定有极限。例5证明数列 xn(11 ) n 极限存在n证明：先证一个辅助不等式当 0ab，n 为自然数时， b n 1a n 1(ba)(bnab n 1a 2b n2a n )(ba)(n1)b n(n 1)

20、b n 1a(n1)b n即a ( n 1)bnnb n 1a n 1，故 (n1)anbbna n 1令a 11， b 11， 则有 (11 ) n(11 ) n 1n1nnn1数列 xn 单调上升令a 1， b11 ， 有1(11 ) n1， (11 ) n2， (11 ) 2n42n22n2n2n则(11 ) n(11 )2 n4n2n(1 1 ) n 极限存在，我们用 e 来表示这个极限数列 xn 有界，故 xnn1nlim1e , e 2.71828.nn函数 f ( x)(11) x 称为幂指函数，当 xx是一个重要的无理数。时它是 1 型的。1x同样，lime1xx11如令上式中

21、的 u1 ，则有 lim 1 u ue ，即 lim 1x x exu0x 0例求下列极限1n 3lim (11 ) nenn lim 1e1nnlim (131)nn222 nnnlim 11lim11lim 11e 2nnnnnn10 lim (11) xlim 11xkxxkx11kx kkxk1lim 11ekx kxx1lim1lim11xxxx1 lim1 kx xlim 1 kxx0x0作业 :P.69 1 ,2x11x1lim 1xe 1x1kekkx2.4无穷小量与无穷大量一、无穷小量概念 定义 2.5极限为 0 的量称为无穷小量当 xa（或）时，如果函数 f(x) 的极限为

22、 0，则称当 xa（或）时， f(x) 是无穷小量。若数列 a n 的极限为 0，则 a n 是无穷小量。例如： lim sin x0，所以，当 x0 时， sin x是无穷小量。x 0同样，当 x0 时， x( 0) ，1-cosx ，arcsinx等都是无穷小量。lim10, 所以 1 是无穷小量。当 x+时， nnn同样，当 x时， 1，1，1 都是无穷小量。nn22n 定理 2.1若 limf ( x) A, 则 f ( x)A( x)。x x0其中( x)为无穷小量: lim( x)0，逆命题也成立。x x 0二、无穷小量的性质1. 有限个无穷小量的代数和是无穷小量。例如，当 x0

23、时， x2+sinx 也是无穷小量2. 有限个无穷小量之积是无穷小量。例如，当 x0 时， x2sinx 也是无穷小量3. 任一常数与无穷小量之积是无穷小量。11例如，当 x0 时， 3sinx 也是无穷小量4. 无穷小量与有界量之积是无穷小量。例如当x时，1 是有界量，x sin1 也是无穷小量，故lim10。0 sinxsinxxx 0x三、 无穷小量的比较如果 f(x)、g(x) 都是无穷小量，若：(1)g(x) 仍是无穷小量，即 limg( x)0，则称 g( x)是关于 f (x)的f (x)f ( x)高阶无穷小量，记作 g(x) o( f (x)例如 lim sin 2 xlim

24、 sin xlim sin x 0x 0xx0xx 0所以， x0 时， sin2x 是比 x 高阶的无穷小量。(2)lim g( x)c(c为非零常数 )，则称 f ( x)和 g ( x)是同阶无穷小量，f ( x)特别地如果 limg( x)1，则称 g ( x)是 f ( x)的等价无穷小量，f ( x)并记作 g(x) f(x) 。例如 lim sin x1，所以， x0 时， sinx x。x 0x四、 无穷大量f(x) 的绝对值无限增大，则称当 x当 xx （或）时，如果函数0是无穷大量。记作 lim f(x)= , 或 f(x) 。x （或）时， f(x)0若数列 x n 当

25、n+时，它项的绝对值无限增大，则 x n 是无穷大量。如果当 xx （或）时，函数f(x) 是无穷大量，那么1就是当 x0f (x)x （或）时的无穷小量，反过来，如果当xx （或）时，函数00f(x) 是非零无穷小量，那么1就是当 xx （或）时的无穷大量。0f (x)即无穷大量的倒数是无穷小量。无穷小量 ( 非零 ) 的倒数是无穷大量因此，证明一个变量是无穷小量的方法就是证明它的极限为 0，证明一个变量是无穷大量的方法就是证明它倒数是无穷小量。122.5函数的连续性一、函数在一点处的连续和间断 定义 2.6设函数 yf(x) 在 xx0 的一个邻域内有定义，当xx0 时 f(x) 的极限等

26、于函数在 x0 处的函数值，即lim f ( x)f (x0 ) ，则称函数 yf(x) 在 x0x x0处连续，称 x0 为 f(x) 的连续点。 注意函数在 x0点的极限存在不一定在x0点就连续，反过来说，函数在 x0点连续，那么它在 x0 点的极限一定存在。可见，函数在 x0 点连续是比极限存在要求更高的条件。 连续的几何意义 函数 f(x)的图形在 x 处是不间断的。0例 研究函数在指定点的连续性sin x, x0f ( x)xx001, x0解limf ( x )limsinx1x x 0x 0x而 f ( x0 )f (0 )1limf ( x )f ( 0)x0函数 在 x0处连

27、续。如果函数 yf(x)在 xx0 的右边附近有定义， 且 limf (x)f ( x0 ) ，则x x0称 f(x) 在 x0处右连续 ;如果函数 yf(x)在 xx0 的左边附近有定义， 且 limf (x)f ( x0 ) ，则x x0称 f(x) 在 x0处右连续。显然，函数在 x0处连续的充分必要条件是它在 x0 处既左连续又右连续。 函数连续的等价定义 1. 变量的增量研究函数 yx2，当 x 从 1 增加到 1.1 ，函数值 y 从 1 增加到 1.21 ，我们把 1.1 10.1 称为自变量的增量，把 1.21 10.21 称为函数 y 的增量。习惯上，我们常用 x0 表示自变

28、量的原值， 用 x 表示自变量的增量， 则自变量的终值可表示为 x0 x，13如果我们用 y 表示函数值的增量，则有 yf(x0 x) f(x 0)2.函数在一点处连续的另一种表述方式设函数 yf (x) 在 x0 的一个邻域内有定义，当自变量在 x0 处的增量 x，即lim y 0，则函数在 x0 处连续。0 时， lim f ( x0x) f ( x0 ) 0x 0x 0处的增量 x 为无穷因此，函数在 x 处连续的意义是指 :当自变量在 x00小量时，函数的增量 y 也为无穷小量。二、间断点的分类函数连续的定义包括三个方面的要求函数 yf(x) 在 x0 处有定义 ;函数 yf(x) 当

29、 xx0 时有极限存在 ;极限值与函数值 f(x 0) 相等。其中任何一条不满足， 函数在点 x 处就不连续，此时称函数在点 x处间断，00x0 称为函数的间断点。函数间断点的三种情况：1. f(x)在x0处无定义，如 P.74图2-5-1中的 f 2(x) 。2. f(x)在x0处的极限不存在 , 如图 2-5-1 中的 f 1(x),f4(x) 。3. f(x)在x0处的极限与 f(x 0) 不相等 , 如图 2-5-1 中的 f 3(x) 。如果 f(x) 在间断点 x 处的左右极限都存在，则称x 为第一类间断点，00如果 f(x) 在间断点处的左右极限至少有一不存在，则称 x0 为第二

30、类间断点。例指出下列函数在指定点是否间断，如果间断，指出是哪类间断点。f ( x )1, x 1 f ( x)1 , x0x 0xx,10, x0f (x)x 2 , x0,x 01, x0解：间断，函数在 x1 处无定义且左右极限不存在，第二类间断点间断，函数在 x0 处左右极限不存在，第二类间断点间断， lim f ( x) 0 但 f(0) 1，两者不相等，第一类间断点x0三、初等函数的连续性1. 连续函数的意义如果函数 f(x) 在区间 (a,b) 内每一点都连续，则称函数 f(x) 在区间 (a,b)上连续。如果函数 f(x) 在它的定义域上连续，则称函数 f(x) 为定义域上的连续

31、函数。 证明函数连续的方法 14设 x0 是函数定义域内的任意一点，然后证明函数在 x0 点连续即可。例 证明 f(x) x2 是连续函数证明：x0( , ) limf ( x)lim x2( lim x) 2x02 ，f(x 0)=x 02x x 0x x0x x0 limf ( x)f (x0 )x x02因此，函数 f(x) x 是连续函数。基本初等函数在它们的定义域上都是连续的。 定理连续函数的和、差、积、商以及有限个连续函数复合而成的函数都是连续函数。 推论如果一个初等函数在某个区间内有定义，则它在该区间内是连续的。四、利用连续性求极限连续函数的极限运算与函数运算的顺序可以互换，即l

32、im f(x)=f(lim x) 。这是我们证明函数连续和计算连续函数的极限常用的办法。由于初等函数是连续函数，所以求初等函数 f(x) 在定义域内的某一点 x0 处的极限，只需求出 f(x) 在 x0 处的函数值 f(x 0) 即可。例3求 lim ln(1x)x0x11lim ln(1x)解 :lim ln(1x) xln lim (1x) xln e 1x 0xx0x0例求 limx21ln xx1x1解 :limx21 ln xlimx 1 ln x2 00x 1x1x 1五、闭区间上连续函数的性质在闭区间上的连续函数有一些重要的性质： 有界性定理 若函数 f(x) 在闭区间 a,b上连续，则它在 a,b上有界。 定理 2.3 (最大最小值存在定理 )在闭区间上连续的函数必定在该区间上达到函数的最大值和最小值。即函数 f(x