斯特瓦尔特定理及应用

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1、第四章特瓦尔特定理及应用【基础知识】斯特瓦尔特定理设P为 ABC的BC边上任一点（P B, P C),则有AB2_ 2PC AC_2BP AP BC BP PC BC证明_ 2_ 2AP AB如图4-1,PC AC2 史BCBC2 BP PCBC BC BC不失一般性，不妨设 ZAPC 90 ,则由余弦定理，有图4 1_ 22_ 2_一AC AP PC 2AP PC cosZAPC ,_ 2_ 22AB AP BP 2AP BP cos(180 ZAPC)AP2 BP2 2AP BP cos/ APC .对上述两式分别乘以 BP, PC后相加整理，得式或式.AC上的点,斯特瓦尔特定理的逆定理设

2、B, P, C依次分另I为从 A点引出的三条射线 AB, AP,AB2 PC AC BP AP2 BC BP PC BC ,t 22 PC 2 BP 2 BP PC或 AP AB AC BC,BCBC BC BC则B, P, C三点共线.证明 令/BPA i , ZAPC 2,对 ABP和 APC分别应用余弦定理，有222222AB2AP2PB22AP PB cos i , AC2AP2PC22AP PC cos 2.将上述两式分别乘以 PC , BP后相加，再与已知条件式相比较得2AP BP PC cos 1 cos 20,由此推出 i 1802,即证.斯特瓦尔特定理的推广(1)设P为4AB

3、C的BC边延长线上任一点，则AP2ao2 PC 2 BP AB ACBCBC2 PC BPBC BC BC(2)设P为4ABC的BC边反向延长线上任一点，则AP22 PC 2AB2 AC2BCBP 2 PC BPBCBCBC BC注 若用有向线段表示，则，式是一致的.推论1设P为等腰 ABC的底边BC上任一点，则AP2 AB2 BP PC .注 此推论也可视为以 A为圆心，AB为半径的圆中的圆哥定理.推论2设AP为4ABC的BC边上的中线，则 AP21AB2 -AC2 -BC2 .224推论3 设AP为4ABC的A的内角平分线，则 AP2 AB AC BP PC .推论4 设AP为 ABC的A

4、的外角平分线，则 AP2 AB AC BP PC .推论5在4ABC中，若P分线段BC满足史 ,则 BCAP2( 1)BC2 (1 )AB2 AC2.注 若 BP k ,则 AP2AB2 -AC2 k- BC2 .PC1k 1 k 1 k2【典型例题与基本方法】1.选择恰当的三角形及一边上的一点，是应用斯特瓦尔特定理的关键.例 1 如图 4-2,凸四边形 ABCD 中，/ABC 60 , /BAD /BCD 90 , AB 2 , CD 1 ,对角线AC , BD交于点O .求sin/ AOB .(1996年北京中学生竞赛题)图42解延长BA , CD相交于P ,设BC2x,pc J3x,对P

5、BC及PB边上的点A,应用斯特瓦尔特定理,CA2 PC2 ABBC2PB3x2工 2xx2 2x 4 .2x2xPA ACABPB2 2 2xPA由 RtAADPRtACBPPDPCPA PB ,即3x1 3x 2x 22x ,求得 BC x 4 73于是，CA2 15 6石,又在RD BCD 中，22BD2 x2 1 20873 ,从而 BD AC5 22号7E理，有 x 1 x x 1x 5.（下略）BC x 1 , BD AC x 1.对四边形ABCD应用托勒【解题思维策略分析】1.获得线段倍分关系的一条途径例9如图4-11,已知4ABC的外接圆k的圆心为O,半径为R,内切圆的圆心为I

6、,半径为r ,另一个圆ko与边CA, CB分别切于点D , E ,且与圆k内切.求证:内心I是线段DE的中点.（IMO -34预选题）证明设圆ko的圆心为01 ,半径为则I01，且 01EIO1CO1连0COO12 CI OC2IO1注意到欧拉公式,sin -Z C2R2化简得从而ADOOE图4 11C三点共线,且CIrsin - Z C2，CO1-v， sinZ C对 C001 ,及边0上的点I,应用斯特瓦尔特定理，有0IOI2R22Rr 1sin - Z C2IO1CO1sin21/ C2即I01 C01因为O1E CE2 CO1 CI IO1 CO12R 2Rr ,及 0。1OC R,并

7、将其代入式，得到sin-C C2rsin Z C2rsin -Z C2sin -Z C2CO12O1E2 .CO1 1 DE且平分DE ,令DE的中点为I ,由射影定理，有 _ _ 2IO1 CO1O1E .比较式和式，知I与I重合，即得I为DE的中点.例10如图4-12,两个大圆e A, e B相等且相交；两个小圆 eC , e D不相等但相交，且交点为 P, Q.若eC, e D既同时与e A内切，又同时与 e B外切.试证：直线 PQ平分线段AB.（中等数学奥林匹克问题高中58题）证明MC ,径均是由于BC .eCAD eC图4 12eD半径不相等，此两圆交点所在直线 PQ必与线段AB相

8、交，设交点为MMD , BD, PC, PD e D的半径分别为R,CD ,显然PQ，CD ,设垂足为N ,又设e A,r(R r),则易得ACR,BC.连 AC , e B的半 r ,BD因为 PQ LCD ,或 MP LCD ,2_2_2_22 2MC MD = CN NM2_ 2MN NDCN2ND2(PC2PN2) (PD2 PN2)PC2设AM2_2PD Rx, MB2r .y,对 CAB及边AB上的点M ,应用斯特瓦尔特定理,x BCy AC22x y MC x y x yMC2x MB2对 DAB及边AB上的点M ,应用斯特瓦尔特定理，有BD2 y AD2MD2x MB2，得BC

9、2BD2AC2AD2MC2MDR2 r2亦即从而xy 0,故AM MB ,即直线PQ平分线段AB .2.求解三角形问题的一种工具斯特瓦尔特定理在求解三角形中有关线段的问题有着重要作用,这可从习题A中的第6题，习题B中的第7题等可以看出.在求解三角形的其他问题中，它也有着重要作用.例11 设 ABC的三边为a, b, c,其面积为S ,则a2 b2 c2 473s ,当且仅当 ABC为正三角形时，等式成立.证明取BC的中点（IMO -3 试题）D ,对 ABC及BC边上的点D ,应用斯特瓦尔特定理的推论 2有 AD21AC221 2 AB2从而有a2b22AD2设4ABC的BC边上的高为121

10、2-BC -b 42|a22；2ADh ,则 AD h3 - a2于是273 AD a.1-2君 AD a 2J3 2 -a h 443s.2故 a2 b2c2 4底,其中等号当且仅当22AD3a2且AD h时成立，也即ADLBC且AD 虫a , 22此时4ABC恰为正三角形.例12且BD如图4-13,在 ABC中，D, E分别为 CE .当P在BC边的中线上时，则 ABAC和AB同方向延长线上的点， BD与CE相交于P , AC .图4 13证明 有设AP交BC于Q .分别对 BPQ及点八和 CPQ及点A应用斯特瓦尔特定理的推广结论,2BA2BPCA2CP2AQ PQAQPQBQ2CQAPP

11、QAP PQAPAP于是BA2CA2CP2BP2AQPQ_ 22BQ CQ由于QBQCBDECEPCE ,DPDB对 PBC及点A应用塞瓦定理,i,即四QCPE QBAPPQ有当P点在BC边上的中线上时，有 BQ QC .从而PD PE ,由此知PC PB ,故AB AC .例13 如图4-14,若D是ABC的边BC延长线上一点，则 AD平分/A的外角的充分必要条件是_2 _AD BD CD AB AC .F* 一齐一、 产 Ji S .图4 14证明 必要性：若AD平分/A的外角，则由推论 4即有AD2 BD CD AB AC .或者按证明斯特瓦尔特定理的方法来推导.充分性：设直线 AD交4

12、ABC的外接圆于E ,连BE、CE .由割线定理有 BD CD AD ED ,并将其代入条件式 AD2 BD CD AB AC可得AD ED AD AB AC .由此可知E必在DA的延长线上（因 ED AD 0）.于是 AD AE AB AC .由 ACD s BCD，有 AC BD AD BE .由得 AE BD AB BE .又由 ECD s BAD，有 EC AD CD AB .由得，AE CD AC CE .由得，AE BC AB BE AC CE .对四边形EBCA应用托勒密定理，有AE BC AB CE AC BE .于是 AB CE AC BE AB BE AC CE .即 AB

13、 AC CE BE 0 ,从而 CE BE .因此 / CAD / EBC / ECB / EAB .故AD平分/A的外角.例14 如图4-15,设正4ABC的内切圆圆心为I,半径为r,在e I内任取一点P,设点P到BC,CA,AB的距离分别为di , d2, d3.求证：以向，口，Jd?为边可以构成一个三角形，且其面积为3Vr2 PI2.（数学通报问题1356题）4A图4 15证明 设正三角形 ABC的边长为1,d d d 3d d2 d3 , IA IB IC 2 r 2连AP并延长交BC于D ,则由题设知则-733BDDCS*A APBd 3S*A APCd2DPPASA BPCS/ B

14、ACS BPCd1d1d dad1d1d2 d3由于BI IC ,尔特定理的推论BA1,BIC及边BC上的点,对 ABC及边BC上的点D ,均应用斯特瓦ID2IB2BDDC, AD2AB2BD又由BDDCd 3d2知BDd3d2 d3BCd3d2 d3DCd2d2 d3ID2d2d32d2 d 3d2d32d2 d3又对 AID及边AD上的点P应用斯特瓦尔特定理,_ 2_ 2IP ID由史-PA dPAAD d12 d 3IA2DPAD PAADDP PA.d2d3d1 d2 d3将上述各式及式代入式,并注意 IADPAD332IP2 DP IAAD2IDPAADDP PAd1d1d3d3d2

15、d3d22d3_d2 d1d3d2 d3dd2d3d1d2d3d2d3d2 d3di d2d1d2d2d1d1d2d3d1DPADd3d2 d3PAAD2d1 d2 d3,2后 4d1 4d2 4d3 ,有2AD2d 2d 32d2 d34wdi d23d32.3d2 d3 4d1d2d33rd2d1 4d2d3 2 3 4didi d2 d3333 d2 d3一 一 d1d2 d1d3 d2d3 .3 321即 IP - 1 4 d1d2 d1d3 d2d3.3于是，d12 d； d； 2 d1d2 d1d3 d2d32d1 d2 d34 d1d2dGd2d33_ 22_ 2-1 3IP 3

16、 r IP4此式可写成为 d1 d2, d3 d2,_d3 d1. d1 q .d2. d d2, d33 r2 IP2 .由于P点在e I内部，则r2 IP2 0 ,从而，必有qdzy/dsJd10 ,Jd1Jd3Jd20,Jd7qd2d30.如若不然，比如JdTddsJd1M眄旗 0,则52Jd77d1加1M7d20，即晒。与已知矛盾，,d7,d7,d?, . d1,d?d7 , d?d7. d3 .可见，以 历，血, 国 为边可以构成三角形，且由海伦一秦九韶公式及式知其面4【模拟实战】习题A21.在 4ABC 中，AB AC 2 , BC 边有 100 个不同的点 P , P2,记 mi

17、 AP2 BP PC (0,则知积为i 1,2,，100）,求 m1 m2 m100 的值.2 .在4ABC中，/C的平分线交 AB于D.证明：CD JCA CB .（匈牙利中学生数学竞赛题）3 .在 4ABC 中，D 是 BC边上的点，已知 AB 13, AD 12, AC 15, BD 5 ,求 DC .4 .在4ABC中，AB 2拒，AC 阻,BC 2,设P为BC边上任一点，则（）22A. PA2 PB PCB, PA2 PB PCC. PA2 PB PCD . PA2与PB PC的大小关系不确定5 . D是ABC的边AC上的一点，且AD： DC 的外接圆的切线.2 ：1, /C 45

18、, ZADB 60，求证：AB 是 BCD、一. 一，.一_1、一6 .设 ABC的三边BC a, CA b, AB c, p - a b c .设ma , ha分别为BC边上的中线长2和高线长；ta, ta分别为BC边所对的角的内、外角平分线长.求证下列各式:(I)ma2 ,2 b2c2a2；(D)ta（出）ta2b2 b-Jb c p pa ； cha2Jp p a p b p c7 .在 ABC中，AB 2BC , ZB 2/A,求证： ABC是直角三角形.8 .证明：到三角形三顶点的距离的平方和最小的点是重心.习题I1 .设质，而，Jc分别是共线的,C对于e O所作切线的长.求证：a

19、BCc AB b AC BC AC AB .2.锐角 ABC的外接圆过B, C的切线相交于N,点M是BC的中点.求证：/ BAM / CAN .（IMO -26预选题）3 . PTi和PT?是e O的割线，分别交3。于6,S2,且PTiPT2 ,过P的直线交e O于Q1R与PN间），交TT2, S1S2于T, S.求证一4 . A, B, C, D四点在同一圆周上, 的长.5 .在正方形 ABCD中，E在BC上, 达到多少？PQ且 BC DCBE 2, CE6 .设凸四边形的边长是1PR1PSAEPT7 ,线段BE和DE的长都是整数，求BDP点在BD上，则PE和PC的长度之和最小可a , b

20、, c , d ,对角线长是e和f .求证:2mina , b , c , d ee f2 ,当且仅当这个凸四边形是菱形时等号成立.7.设I , O, G , H分别为 4ABC的内心，外心，重心，垂心，令1p - a b c , R, r分别为外接圆和内切圆的半径.求证下列各式： 2BC a , CA b , AB c ,(I ) a IA2 b IB2 c IC2abc ；22 abc 2(D) IO R R 2Rr ；abc222abc9abc21222222(m)IG 2a b c 2b c a 2c a b18p2252. 22-p a b c 4Rr ;318(W) IH 2 4R2 a2 b2 C abc .2P8.已知 ABC满足ZACB 2/ABC，设D是BC边上一点，且 CD 2BD ,延长线段 AD至E ,使AD DE.证明：ZECB 1802/EBC.(IMO-39 预选题)