理数北师大版练习：第七章 第八节　立体几何中的向量方法二求空间角 Word版含解析

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1、高考数学精品复习资料 2019.5课时作业A组基础对点练1若平面的一个法向量n(2,1,1)，直线l的一个方向向量为a(1,2,3)，则l与所成角的正弦值为()A.B.C D.解析：cosa，n.答案：B2在正方体A1B1C1D1ABCD中，AC与B1D所成的角的大小为()A. B.C. D.答案：D3(20xx郑州调研)在正方体ABCDA1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的正弦值为()A. B.C. D.答案：B4二面角的棱上有A、B两点，直线AC、BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB.已知AB4，AC6，BD8，CD2，则该二面角的大小为()A150 B45C60

2、D120答案：C5(20xx西安调研)已知六面体ABCA1B1C1是各棱长均等于a的正三棱柱，D是侧棱CC1的中点，则直线CC1与平面AB1D所成的角为()A45 B60C90 D30答案：A6在正方体ABCDA1B1C1D1中，点E为BB1的中点，则平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为()A. B.C. D.答案：B7(20xx新余月考)如图所示，在三棱柱ABCA1B1C中，AA1底面ABC，ABBCAA1，ABC90，点E，F分别是棱AB，BB1的中点，则直线EF和BC1所成的角是 答案：608在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA12AB，则CD与平面BDC1所成角的正

3、弦值等于 答案：9正ABC与正BCD所在平面垂直，则二面角ABDC的余弦值为 解析：取BC中点O，连结AO，DO.建立如图所示坐标系，设BC1，则A(0,0，)，B(0，0)，D(，0,0)(0,0，)，(0，)，(，0)由于(0,0，)为面BCD的法向量，可进一步求出面ABD的一个法向量n(1，1)，cosn，.答案：10已知点E，F分别在正方体ABCDA1B1C1D1的棱BB1，CC1上，且B1E2EB，CF2FC1，则平面AEF与平面ABC所成的二面角的正切值等于 答案：11.(20xx高考全国卷)如图，四边形ABCD为菱形，ABC120，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE平面ABC

4、D，DF平面ABCD，BE2DF，AEEC.(1)证明：平面AEC平面AFC；(2)求直线AE与直线CF所成角的余弦值解析：(1)证明：如图，连接BD，设BDACG，连接EG，FG，EF.在菱形ABCD中，不妨设GB1.由ABC120，可得AGGC.由BE平面ABCD，ABBC，可知AEEC.又AEEC，所以EG，且EGAC.在RtEBG中，可得BE，故DF.在RtFDG中，可得FG.在直角梯形BDFE中，由BD2，BE，DF，可得EF，从而EG2FG2EF2，所以EGFG.又ACFGG，可得EG平面AFC.因为EG平面AEC，所以平面AEC平面AFC.(2)如图，以G为坐标原点，分别以，的方

5、向为x轴，y轴正方向，|为单位长度，建立空间直角坐标系Gxyz，由(1)可得A(0，0)，E(1,0，)，F(1,0，)，C(0，0)所以(1，)，(1，)故cos，.所以直线AE与直线CF所成角的余弦值为.12.如图，在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AB2，AA14，E为BC的中点，F为CC1的中点(1)求EF与平面ABCD所成的角的余弦值；(2)求二面角FDEC的余弦值解析：建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则D(0,0,0)，A(2,0,0)，C(0,2,0)，B(2,2,0)，E(1,2,0)，F(0,2,2)(1)(1,0,2)，易得平面ABCD的一个法向量为n(0,0,1

6、)，设与n的夹角为，则cos ，EF与平面ABCD所成的角的余弦值为.(2)(1,0,2)，(0,2,2)，设平面DEF的一个法向量为m，则m0，m0，可得m(2，1,1)，cosm，n，二面角FDEC的余弦值为.B组能力提升练1(20xx济南质检)如图所示，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABCA1B1C1，CACC12CB，则直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为()A. B.C. D.答案：A2在正四棱锥SABCD中，O为顶点在底面上的射影，P为侧棱SD的中点，且SOOD，则直线BC与平面PAC所成的角是()A30 B45C60 D90答案：A3把正方形ABCD沿对角线AC折起成直二面角，点E

7、、F分别是AD、BC的中点，O是正方形中心，则折起后，EOF的大小为()A(0，90) B90C120 D(60，120)解析：()，()，()|2.又|，cos，.EOF120，故选C.答案：C4.如图所示，二面角的棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB.已知AB4，AC6，BD8，CD2，则该二面角的大小为 答案：605正方体ABCDA1B1C1D1中，直线BC1与平面A1BD所成的角的正弦值是 解析：如图，以DA、DC、DD1分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，取正方体的棱长为1，则A(1,0,0)，B(1,1,0)，C1(0,1,1)，易证

8、是平面A1BD的一个法向量(1,1,1)，(1,0,1)cos，.所以BC1与平面A1BD所成角的正弦值为.答案：6(20xx高考全国卷)如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，平面ABEF为正方形，AF2FD，AFD90，且二面角DAFE与二面角CBEF都是60.(1)证明：平面ABEF平面EFDC；(2)求二面角EBCA的余弦值解析：(1)证明：由已知可得AFDF，AFFE，所以AF平面EFDC.又AF平面ABEF，故平面ABEF平面EFDC.(2)过D作DGEF，垂足为G.由(1)知DG平面ABEF.以G为坐标原点，的方向为x轴正方向，|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系G

9、xyz.由(1)知DFE为二面角DAFE的平面角，故DFE60，则|DF|2，|DG|.可得A(1,4,0)，B(3,4,0)，E(3,0,0)，D(0,0，)由已知得ABEF，所以AB平面EFDC.又平面ABCD平面EFDCCD，故ABCD，CDEF.由BEAF，可得BE平面EFDC，所以CEF为二面角CBEF的平面角，CEF60.从而可得C(2,0，)所以(1,0，)，(0,4,0)，(3，4，)，(4,0,0)设n(x，y，z)是平面BCE的法向量，则即所以可取n(3,0，)设m是平面ABCD的法向量，则同理可取m(0，4)则cosn，m.故二面角EBCA的余弦值为.7.如图所示，在三棱

10、锥PABC中，PA底面ABC，PAAB，ABC60，BCA90，点D，E分别在棱PB，PC上，且DEBC.(1)求证：BC平面PAC；(2)当D为PB的中点时，求AD与平面PAC所成的角的正弦值；(3)是否存在点E，使得二面角ADEP为直二面角？并说明理由解析：以A为原点，分别为y轴、z轴的正方向，过A点且垂直于平面PAB的直线为x轴，建立空间直角坐标系Axyz，设PAa，由已知可得：A(0,0,0)，B(0，a,0)，C(a，a,0)，P(0,0，a)(1)证明：(0,0，a)，(a，0)，0，BCAP.又BCA90，BCAC，BC平面PAC.(2)D为PB的中点，DEBC，E为PC的中点，

11、D(0，)，E(a，a，)，由(1)知，BC平面PAC，DE平面PAC，垂足为点E.DAE是AD与平面PAC所成的角，(0，)，(a，a，)，cosDAE，AD与平面PAC所成的角的正弦值为.(3)DEBC，又由(1)知BC平面PAC，DE平面PAC，又AE平面PAC，PE平面PAC，DEAE，DEPE，AEP为二面角ADEP的平面角PA底面ABC，PAAC，PAC90.在棱PC上存在一点E，使得AEPC，这时AEP90，故存在点E，使得二面角ADEP是直二面角8.(20xx高考四川卷)如图，在四棱锥PABCD中，ADBC，ADCPAB90，BCCDAD.E为棱AD的中点，异面直线PA与CD所

12、成的角为90.(1)在平面PAB内找一点M，使得直线CM平面PBE，并说明理由；(2)若二面角PCDA的大小为45，求直线PA与平面PCE所成角的正弦值解析：(1)在梯形ABCD中，AB与CD不平行延长AB，DC，相交于点M(M平面PAB)，点M即为所求的一个点理由如下：由已知，知BCED，且BCED.所以四边形BCDE是平行四边形从而CMEB.又EB平面PBE，CM平面PBE，所以CM平面PBE.(说明：延长AP至点N，使得APPN，则所找的点可以是直线MN上任意一点)(2)由已知，CDPA，CDAD，PAADA，所以CD平面PAD.于是CDPD.从而PDA是二面角PCDA的平面角所以PDA45.由PAAB，可得PA平面ABCD.设BC1，则在RtPAD中，PAAD2.作AyAD，以A为原点，以，的方向分别为x轴，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则A(0,0,0)，P(0,0,2)，C(2,1,0)，E(1,0,0)，所以(1,0，2)，(1,1,0)，(0,0,2)，设平面PCE的一个法向量为n(x，y，z)，由得设x2，解得n(2，2,1)设直线PA与平面PCE所成角为，则sin .所以直线PA与平面PCE所成角的正弦值为.