等量同种点电荷的电场线的分析

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1、浅析等量同种点电荷的电场线在平面上的分布郑大江1 余晓铃2（1.谷城县第一中学 2.谷城县第二中学 湖北襄阳 441700）摘 要 利用复变函数相关知识推导出等量同种点电荷电场线的方程，然后对电场线的方程进行分析，得出等量同种点电荷的电场线为双曲线，并对该双曲线的定义域和渐近线进行分析讨论，从而对等量同种点电荷的电场线有一个清晰的认识。关键词 等量 同种点电荷 电场线 双曲线 渐近线0 前 言等量异种点电荷的电场线在有些文献中有详尽的分析，而做为常见电场之一的等量同种点电荷的电场物理教材中经常涉及到，但是各种版本的教材都只是简单地绘制出其电场线（如图1所示，为等量正点电荷电场线的分布图），却回

2、避详尽地分析等量同种点电荷电场的分布情况。在此，利用有关数学知识对等量同种点电荷的电场线做一分析。1 利用复变函数知识推导出等量同种点电荷的电场线在坐标系中的方程 若点电荷放在复平面上的（复常数）点，其复位势为： （为复变数） 因而，分别放在点（复常数）和（复常数）的两个等量同种点电荷复位势分别为：所以，该组合的复位势为： 在复平面上，由于，（其中，为实变数）满足条件，于是 所以,电场线方程为（其中为实常数，以下同）即 （1）在复平面上，取（为实常数，且），（，为实变数），则 （2）由（1）（2）式知电场线方程可以表示为即 （3）2 利用数学分析知识对等量同种点电荷的电场线的方程（3）式进行分

3、析2.1 将坐标系绕原点沿逆时针旋转角度变成坐标系，则有： （4）由（3）、（4）式可知，（3）式可以变形为整理，得 （5）令的系数，即 （）， （6）所以（5）式可变形为 即 （7）当实常数时，即时，由（7）式可以判定，等量同种点电荷的电场线为双曲线。当实常数时，即时，由（6）式得，由（7）式可以判定，在坐标系中电场线为相互垂直的两条直线和，在坐标系中电场线为轴和轴。如图2所示。2.2 在坐标系中分析（3）式 由（3）式可得 （8）再由（8）式可得（3）式的渐近线的斜率为 （9）即 或 （10）由（8）、（9）式可得 （11）所以，由（11）式可得（3）式的渐近线在轴上的截距为 （12）由（

4、10）、（12）可知，（3）式的斜渐近线的方程为 （13）或者 （14）由（10）式可得 （15）由（3）式可以看出，由于实常数，所以当时，或，此即两个场源电荷的位置。当场源电荷为正电荷时，电场线的方向背离场源电荷；当场源电荷为负电荷时，电场线的方向指向场源电荷。（3）式中的可以取所有的实数，取不同的值，对应于不同的电场线。下面以场源电荷为正电荷为例，结合来讨论（3）式。当时，由（10）式可得 （16） （17）当时，由（13）、（16）式可以看出斜率，电场线的渐近线与轴重合，由（14）、（17）式可以看出斜率，电场线的渐近线与轴重合。当时，由（3）式可以看出电场线为双曲线（见正文1），（13

5、）、（14）式表示其渐近线方程，由（15）式可以看出该电场线的两条渐近线互相垂直。如图3所示，实线表示取负实数时所对应的电场线，虚线表示该电场线的渐近线和。由（8）式可知渐近线和的斜率的关系为01，-1， ，且越大，越大，越小，即渐近线变陡，渐近线变平缓。 当时，由（3）式可以看出电场线为双曲线，由（13）、（14）式可以看出其渐近线为或，两条渐近线互相垂直。 当时，由（3）式可以看出电场线为双曲线（见正文1）。（13）、（14）式表示其渐近线方程，由（15）式可以看出该电场线的两条渐近线互相垂直。如图4所示，实线表示取正实数时所对应的电场线，虚线表示该电场线的渐近线和。由（10）式可知渐近线

6、和的斜率的关系为1，-10， ，且越大，越大，越小，即渐近线变陡，渐近线变平缓。 当时，由（10）式可得 （18） （19）当时，由（13）、（19）式可以看出斜率，电场线的渐近线与轴重合，由（14）、（18）式可以看出斜率 -0，电场线的渐近线与轴重合。3 结 论综合正文1，可知当时，一条电场线由轴正半轴和轴的负半轴组成，另一条电场线由轴负半轴和轴的正半轴组成；综合正文1，可推知当时，一条电场线由轴正半轴和轴的正半轴组成，另一条电场线由轴负半轴和轴正半轴组成。综上正文1、2，可推知：当时，电场线为双曲线，取不同的值对应不同的电场线。换言之，当时，等量同种点电荷的电场线是轴和轴，亦即此时两等量

7、同种点电荷的连线和中垂线构成了两条不同的电场线，如图1所示。参考文献1赵凯华，陈熙谋.电磁学（上册）.第二版.北京：高等教育出版社，1985.49.2四川大学数学系高等数学微分方程教研室.高等数学（第四册）（数学物理方法）. 第二版.北京：高等教育出版社，1985.21,6163.3四川大学数学系高等数学教研室.高等数学（第一册）. 第二版.北京：高等教育出版社，1987.167168.作者简介作 者：郑大江 余晓铃工作单位：湖北省襄阳市谷城县第一中学、谷城县第二中学联系电话：15971151838Email: 714510752 郑大江，男，生于1974年3月，籍贯湖北省谷城县，系湖北省谷城县第一中学物理教师，中学高级教师，1998年至2001年于华中师范大学物理系进修，一直从事高中物理教学工作；余晓铃，女，生于1979年10月，籍贯湖北省谷城县，系湖北省谷城县第二中学教师，中学一级教师，毕业于湖北大学，长期从事高中教学工作。二人合作的论文多次获奖，并被相关杂志登载，其中2001年论文在高中进行狭义相对论教学的初步探索被湖北省教研室评为一等奖，同时受邀参加省物理年会，进行学术交流。