屈曲稳定性分析

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1、 1概述圆端形空心墩因其横向刚度大、纵横向尺寸搭配合理、适应流水特性好、材料用量少以及施工适应性强等优点被广泛应用于铁路、公路桥梁中。随着交通大流量的发展，尤其是我国铁路运量的大幅度增加和高铁事业的迅猛发展，多线铁路的建设将成为我国铁路事业的一大发展方向，多线超宽圆端形薄壁空心桥墩的应用也将日益增多。过去，我国建造的桥墩粗大、笨重、不注重造型，不仅浪费材料而且影响美观。随着社会经济和科学研究的不断发展，近年来我国建造的桥墩也向着高强、高耸、轻型、薄壁、注重造型的方向发展，不仅可以合理有效地利用下部结构的功能，而且提高了桥梁结构的整体美感。因此，超宽圆端形薄壁空心桥墩的稳定性问题就越来越凸显出来

2、，其直接关乎着整座桥梁结构的安全和经济性问题。超宽圆端形薄壁空心桥墩的稳定性问题主要包括墩身的整体稳定和墩壁的局部稳定。在我国目前的相关规范中并没有明确规定其计算与设计方法，现阶段依然采用经验的办法来解决。尤其是超宽圆端形薄壁空心桥墩墩壁的局部稳定性，可以参考的规范与文献资料甚少。通常而言，空心墩的局部稳定问题，主要是采取控制墩壁厚度和设置隔板来增强空心墩墩壁的局部稳定性。但在过去的模型试验和理论计算中，至今尚未能确定隔板对桥墩稳定和强度有明显的作用。因在采用滑动模板技术施工时，隔板的影响很大，空心墩不设隔板能否满足各项力学指标，具有很高的研究价值。在目前我国的铁路桥梁中，单线或者双线圆端形空

3、心墩应用较多，双线以上的超宽桥墩并不多见。超宽圆端形薄壁空心桥墩壁厚的选取基于什么原则，目前研究很少。西南研究所、铁二院、西南交大在上世纪70年代曾对矩形、圆柱形、圆锥形空心墩的整体稳定和局部稳定问题进行了研究，但仅仅局限于宽度较小的单线或双线混凝土空心墩，且截面形式中并没有涉及到圆端形。多线超宽圆端形空心薄壁桥墩在这一方面的研究几乎是个空白，国内外的研究和报道很少。综上所述，对超宽圆端形薄壁空心桥墩进行稳定性问题的研究具有重要的意义和很高的科学价值。 1.1桥墩稳定性研究历史和现状1.1.1桥梁结构丧失稳定的例子世界上因桥梁失稳而造成事故的例子时有发生。例如：1875年，位于俄罗斯的克夫达敞

4、开式桥（）发生了因上弦压杆失稳破坏而引起的事故（图1-1）；1907年，位于加拿大的魁北克大桥（Quebec）在采用悬臂法架设中跨桥架时，悬臂端下弦杆的腹板发生翘曲失稳导致桥架倒塌，造成了严重的破坏事故（图1-3）；1925年，前苏联的莫兹尔桥（）在试车状态下由于压杆失稳而发生事故（图1-2）；1970年，位于澳大利亚墨尔本附近的西门大桥，在架设拼拢整孔左右两边（截面）钢箱梁时，在跨中上翼板发生失稳破坏，结果导致112m的整垮倒塌1。这些事故的发生值得广大研究人员、设计人员以及工程建设人员的深思。以上部分桥梁失稳事故足以见得桥梁结构的稳定性问题直接关乎其安全性和经济性。 图1-1 克夫达河桥失

5、稳 图1-2 莫兹尔桥失稳 图1-3 魁北克大桥失稳前后对比 1.1.2国外研究历史和现状关于结构稳定理论的研究在国外已有悠久的历史。(1) 轴心压杆的稳定早在18世纪中期，结构的稳定问题就由Euler提出来了，并得出了闻名一世的欧拉公式理论，现在仍然广泛应用于计算无初始缺陷的、弹性的中心受压长杆的屈曲荷载，但其仅限于线弹性问题。Engesser在1889年提出了适用于弹塑性阶段的切线模量理论。Considere和首先提出了双模量理论。Engesser又于1895年在摩西特尔研究的基础上推导出了双模量公式，即折减模量的第一个正确值。VonKarman于1910年以屈曲时的小挠度假定为基础，重新

6、推导了双模量理论公式，之后该理论才得到广泛的承认。之后人们一直认为双模量理论（折减模量理论）就是非弹性屈曲的完美理论，然而许多柱子的实验结果却更接近切线模量理论。直到1946年F.R.Shanley利用著名的模型试验，指出实际压杆可能存在的初始缺陷是产生上述矛盾的根本所在，压杆实际屈曲的实际应力位于两种理论计算的结果之间，由切线模量理论计算出的应力是实际屈曲应力的下限，而折减模量计算结果是其上限，因此，压杆的非弹性屈曲又开始改用切线模量理论2。(2) 板壳结构的屈曲随着社会经济的发展，板壳结构的应用日益广泛。此类结构在承受压力作用下，在很大程度上取决于其屈曲承载能力，然而著名的Eluer压杆稳

7、定理论又不能解释板壳结构的实际屈曲问题，于是大量学者便展开了对板壳结构屈曲的研究。Southwell和Flgge3等人应用Eluer压杆稳定理论，在20世纪初，提出了轴心1934年L.H.Donnell4-5第一个利用非线性大挠度理受压圆柱壳的经典屈曲荷载解。论对圆柱壳的后屈曲状态进行计算，建立了近似的非线性柱壳方程，并通过实验观察到了屈曲波形，计算了屈曲临界荷载。1941年VonKarman和钱学森6利用大挠度稳定理论，研究了轴向受压下圆柱壳的后屈曲性态，开拓了后人对圆柱壳稳定问1945年W.T.Koiter7提出了考虑原始缺陷的初始后屈曲理论，Koiter题研究的道路。Stein8-9在1

8、964年首先提出了圆柱理论在后来受到了广大研究者和工程师的重视。壳的非线性前屈曲协调理论，他考虑了和后屈曲一致的边界条件、非线性以及弯曲效应的影响。这种分析方法所得到的屈曲临界荷载比经典解稍低，部分解释了理论与实验结果之间所存在的差异。 (3) 第二类稳定问题米歇尔和普利特尔对桥梁侧倾问题进行了大量研究，并发表了研究的所得成果。二十世纪以后，随着高强度钢材和板壳结构的广泛使用，薄壁轻型结构的应用在近代桥梁工程中也与日增多，从而为稳定性问题又带来了一系列新的课题，弗拉索夫和瓦格纳尔等人的关于薄壁杆件的弯扭失稳理论，证明了临界荷载值远远低于欧拉经典理论的临界值，同时稳定分支点的概念也解释不了此问题

9、。从而引出了结构的第二类稳定问题，即极值点失稳和跳跃失稳10。1.1.3国内目前研究状况近年来，国内学者结合工程实际做出很多关于桥梁稳定性分析的研究。最著名的是我国的桥梁大师李国豪以理想的中心受压杆件的弹性稳定为基础，研究了实际中心压杆的弹塑性稳定理以及中心受压组合杆件的稳定理论，并基于结构的稳定问题，推导出了中心压杆的设计公式；对于薄壁杆件的弯扭屈曲、框架屈曲、拱桥的平面屈曲和侧倾失稳以及板梁腹板的局部翘曲等加以详细介绍，给出了许多具有实际应用价值的结构设计计算方法，这些为我国的桥梁结构设计提供了巨大的参考价值，并为后继研究者开辟了新的思路和方法11。郭敏12在1999年推导了高墩连续刚构桥

10、在施工阶段和使用阶段的稳定计算公式，计算结果和标准程序计算结果相比，具备很高的精度；2001年，白青侠和郝宪武13等分析了薄壁闭口桥墩的稳定性问题，推导了计算公式；2003年，王振阳、赵煌14等利用实体退化单元，进行了高墩桥梁的三维有限元稳定性研究，得出了在各种风荷载、主墩偏移以及主梁一侧夹重等条件下的多阶失稳模态。但仅限于分析线性的特征值。2003年，程翔云15对高桥墩之间几何非线性效应进行研究，创建了其相干分析计算的模型；同年，黄列夫16则利用有限元程序ANSYS对羊里大桥高桥墩的几何非线性与稳定性进行了分析计算；2005年，白浩与杨响17等考虑了材料的非线性力学特征和结构的几何非线性，对

11、最大悬臂状态下高墩大跨度连续刚构桥梁的稳定性进行数值分析，认为不能忽略几何非线性对结构稳定性的影响；余勇18等人于2007年分析论述了薄壁高墩的两类稳定问题，指出在研究稳定性问题时，考虑非线性因素影响的情况下对工程实际有更好的指导意义和应用价值。 关于空心桥墩的局部稳定问题研究，铁道科学研究院西南研究所在1975年曾对矩形、圆柱形、圆锥形空心墩进行墩身应力光弹模型试验，试验结果说明：此三种模型，在中心受压和偏压作用下，空心墩会突然发生脆性破坏，破坏前无显著征兆，发生破坏时的应力值和混凝土的抗压强度基本一致，故可以认为属于强度破坏，而不是因为局部失稳而破坏。对有横隔板模型与无横隔板模型进行比较，

12、有横隔板的模型并不能明显提高空心墩的承载能力，两者均属于强度破坏。对于有横隔板的模型，其横隔板之间的壁板会被压坏，然而在横隔板附近的壁板却比较完整而很少出现裂缝，这表明横隔板具有很明显的局部环箍作用19。管敏鑫20在空心桥墩墩壁的局部稳定一文中指出，通过理论和试验结果比较分析得出：对于钢筋混凝土圆形空心墩，当t/r1/13.5时（t为壁厚，r为中面半径）；对于钢筋混凝土矩形空心墩，当t0/b1/20时（适用范围：tc/t0b1；b为矩形长边长度，t0为长边壁厚；c为矩形短边长度，t为短边壁厚。），可以不必设置横隔板，而且不用考虑空心桥墩的墩壁局部稳定问题。对于一般尺寸的空心桥墩，上面两式得出的

13、最小壁厚足以满足局部稳定的要求。但是，若一味地减小墩壁的厚度，由于混凝土收缩、徐变和温度应力等因素的影响，墩身往往会产生竖向裂纹，墩壁的厚度越小，墩身内外的裂纹就越可能贯通。内外裂纹一旦贯通，墩壁发生局部失稳的临界应力就会大大降低。再加上没有设置横隔板，墩身的裂纹可能会沿柱面母线不断地扩展，这对于整个墩身结构而言，后果是不堪设想的。因此，为防止竖向裂纹的扩展，对于混凝土空心桥墩来说，上面限值可适当放大，并且宜在墩身按一定间距布置箍筋和环向钢筋。综上所述，国内外学者对桥墩稳定性方面进行了大量的深入研究，已经取得相当大的成果，为桥墩稳定性研究做出了卓越的贡献，给后继探索者提供了大量的宝贵经验。关于

14、完善结构的线弹性稳定理论已趋于成熟，但是构件存在的初始缺陷、收缩徐变、残余应力以及非线性等因素对结构稳定性问题的影响是非常明显的，因此第二类稳定问题尚需进行进一步的研究。对于空心墩的整体稳定和局部稳定问题，国内外规范中并没有明确的计算分析方法，尤其是超宽空心薄壁桥墩，只是根据经验的办法解决。空心桥墩的稳定性问题研究还远远不够，需要进一步的理论分析和试验研究才能为工程设计和施工提供更好的建议和指导。 1.2主要研究工作(1) 超宽圆端形薄壁空心桥墩的设计基本原理。主要基于影响空心墩局部稳定性因素，着重研究了空心薄壁桥墩的局部稳定性计算方法与实际工程中空心墩宽厚比的控制原则。(2) 桥梁结构稳定性

15、分析的基本理论。主要介绍桥梁结构稳定问题的分类、判定准则以及计算方法，重点介绍了在有限元软件ANSYS中桥梁结构稳定分析处理方法。(3) 超宽圆端形薄壁空心桥墩的线弹性稳定性研究。以实际工程为例，采用有限元软件ANSYS对超宽圆端形薄壁空心墩的稳定问题进行分析计算。按照实际尺寸建立模型，以结构的线弹性稳定理论为基础，采用特征值屈曲分析方法，得到了超宽圆端形薄壁空心桥墩的失稳模态和最小屈曲特征值。 竖向隔板对超宽圆端形薄壁空心桥墩局部稳定性的影响研究。针对有竖向隔板和无竖向隔板表现出的失稳模态和最小屈曲特征解，对该空心墩内纵向中心处竖向隔板的作用进行分析。 墩壁厚度变化对超宽圆端形薄壁空心桥墩局

16、部稳定性的影响规律。建立不同壁厚的多组桥墩模型，计算分析其局部稳定性，研究不同的墩壁厚度对超宽圆端形薄壁空心桥墩局部稳定性的影响规律。 不同混凝土强度等级对该超宽圆端形薄壁空心桥墩局部稳定性的影响规律。建立不同混凝土强度等级的多组模型，计算分析其局部稳定性，研究不同的混凝土强度等级对超宽圆端形薄壁空心桥墩局部稳定性的影响规律。 该桥墩模型达到墩身强度极限状态下的稳定性研究。基于当墩身达到强度极限时的混凝土强度等级C30与墩壁厚度40cm组合的桥墩模型，研究该组合模型的稳定性问题。结合该工程实例，分析强度与稳定的关系，进一步研究该类桥墩的壁厚控制原则。(4) 超宽圆端形薄壁空心桥墩的非线性弹塑性

17、稳定性研究。以原桥墩模型（不设置竖向隔板）为例，根据非线性力学理论，考虑墩壁的几何初始缺陷，在线弹性 稳定分析的基础上研究非线性对该类桥墩的影响规律。 考虑墩壁初始缺陷的几何非线性研究。以大挠度理论为基础，建立不同初始缺陷的桥墩模型，研究几何非线性对该类桥墩的影响，以及不同的初始缺陷对其影响规律。 弹塑性稳定研究。针对混凝土受压本构关系的非线弹性考虑，研究混凝土材料的非线性对该桥墩的稳定性影响规律。 2.屈曲分析结构的失稳破坏是结构内部抗力的突然崩溃，很多实际工程事故实例己证实，失稳一旦发生，结构随即倒塌，因而这比强度破坏更危险“结构静力分析的目的是使结构在预定的外荷载作用下具有足够的安全性”

18、结构的破坏一般可分为两种基本形式“一种称为强度破坏，此时截面的内力超过了截面材料的最大抵抗能力，由此造成结构构件甚至整个结构的破坏；另一种称为丧失稳定破坏，此时虽然截面上的内力并未超过它的最大抵抗能力，但结构的平衡状态发生了分枝，或者是随着变形的开展内外力的平衡己不可能达到，于是结构在外荷载基本不变的情况下可能发生很大的位移并最终导致结构的破坏。随着桥梁跨径和桥墩高度的大幅度提高。轻质高强材料的应用以及科学技术的不断进步，结构己趋向于大跨度和轻型化，原有的桥梁计算理论和模式难以对它们进行准确地分析、计算。在以往设计和施工验算过程中，往往以线弹性分析的应力或内力作为强度控制指标。但对于多线超宽空

19、心墩来说，施工和营运过程中，除正常的线弹性稳定分析外，还应考虑计入结构的几何非线性与材料非线性的稳定验算，以保证结构安全！桥梁结构破坏的基本形式为强度破坏和丧失稳定破坏。桥梁结构的稳定性直接决定结构的极限承载能力和正常使用条件下的承载能力。在大量工程实践中：结构一旦丧失稳定，会随即发生倾倒。强度破坏是指结构或构件的截面上产生的最大应力超过了材料的容许应力；稳定破坏是指结构内部的抵抗力与荷载之间发生了不稳定的平衡状态，导致结构的变形急剧增大发生破坏1、2。故稳定问题属于结构或某个构件的变形问题。当结构所受载荷达到某一值时，若增加一微小的增量，则结构的平衡位形将发 生很大的改变，这种现象叫做结构失

20、稳或结构屈曲。在受压构件稳定性问题中，有两种基本类型的屈曲形态 16：分支点屈曲及极值点屈曲。分支点屈曲的临界荷载定义为使结构保持稳定平衡状态的极限荷载。当荷载达到临界荷载时，在任何微小扰动下构件都将发生显著的屈曲变形，导致结构的崩塌。在这类屈曲过程中，结构应力状态由屈曲前的应力状态变成显著的弯曲应力状态。分支点屈曲的基本特征是：在稳定平衡的基本状态附近存在着里一个相邻的平衡状态。在分支点处将发生平衡状态的转换，由原平衡状态转换到具有性质区分的平衡状态。如图 1-6 所示。这种状态转换导致了结构的变形状态和应力状态随之发生质的变化。 图 1-6在极值点屈曲过程中无分支点出现，在变形过程中存在一

21、个最大荷载值。达到最大荷载后，变形迅速增大而承载能力却下降，这种现象称为极值点屈曲。如图 1-7（a）。这种屈曲的基本特征是不存在平衡的分支转换，不存在不同性质的新平衡状态。整个过程只是平衡状态的数量变化。同时，变形状态与应力状态也无性质的变化。跳跃屈曲也属于极值点屈曲问题，这类问题的荷载与变形关系曲线上具有多个极值点。如图 1-7（b）所示。 图 1-7应该指出，根据屈曲时材料的性质，也可将屈曲分为弹性屈曲、塑性屈曲及弹 塑性屈曲三类：当结构屈曲前后仍处于弹性小变形状态时，称之为弹性屈曲;当结构在塑性应力状态下发生屈曲，则属于塑性屈曲;弹塑性屈曲为介于两者之间的一种屈曲形式，屈曲前结构处于弹

22、性应力状态，而屈曲时由于扰动变形使一部分材料进入塑性，即屈曲发生后材料处于弹塑性应力状态。因上述三种屈曲形式中材料性质呈现本质差别，故整个屈曲过程的特点也各自不同。通常对前两种屈曲问题研究较多，而对弹塑性屈曲则很少有人问津，主要原因在于弹塑性交界处材料性质的变化使理论分析变得十分困难。也可按屈曲后路径是否稳定，分为具有稳定后屈曲路径的屈曲、具有不稳定后屈曲路径的屈曲和同时具有稳定及不稳定后屈曲路径的屈曲。当结构具有稳定后屈曲路径时，屈曲发生后载荷仍可继续增长，反之则出现下降趋势。而随着稳定数值分析方法的发展，特别是各种商业软件的出现，通常也将结构的屈曲分为两类：即线性屈曲和非线性屈曲。其中，线

23、性屈曲也就是第一类失稳问题；而非线性屈曲则主要针对第二类失稳或极值点失稳、跳跃屈曲等，研究对象包括理想完善结构与非完善结构。实际上，线性屈曲与非线性屈曲的本质差别在于是否考虑了大位移、材料非线性等非线性因素，但这并不等价于是否考虑了几何非线性。因稳定问题必须以变形后的体系作为计算依据，涉及到结构变形后的位移和变形对外力效应的影响，本质上是二阶分析，故无论是线性还是非线性屈曲，其均为“非线性”问题，至少几何方程中都考虑了非线性项，只是线性屈曲中只考虑了附加轴向应变、轴向位移（一阶项）和曲率对轴向应变的影响，而非线性屈曲中一般都考虑了轴向位移对轴向应变影响的二阶项（导致大位移的出现），或者考虑了材

24、料非线性。如果切线刚度矩阵为常量（不考虑轴力 P）则为线性曲屈问题，必然导致稳定特征方程的出现；若切线刚度与位移有关（考虑大位移或者材料非线性）则稳定特征方程在极值点（临界载荷）以外的地方不能成立。线性屈曲的求解方法可以用到非线性屈曲的求解中去，因为在极值点稳定特征方程会成立。MARC、ADINA 等商业软件就是用这一原理来求解非线性屈曲问题。线性屈曲可以看作是非线性屈曲的退化，由于其计算和编程简单，在满足工程精度的前提下，还是很有意义的。基于以上所述， 2.1屈曲分析理论结构稳定问题一般分为两类第一类失稳：又称平衡分岔失稳、分枝点失稳、特征值屈曲分析。结构失稳时相应的荷载可称为屈曲荷载、临界

25、荷载、压屈荷载或平衡分枝荷载。第二类失稳：结构失稳时，平衡状态不发生质变，也称极值点失稳。结构失稳时相应的荷载称为极限荷载或压溃荷载。跳跃失稳3：当荷载达到某值时，结构平衡状态发生一明显的跳跃，突然过渡到非邻近的另一具有较大位移的平衡状态。可归入第二类失稳。2.1.1第一类稳定第一类稳定又称为分枝点失稳，结构屈曲前的平衡形式成为小稳定，出现了新的与屈曲前平衡形式有本质区别的平衡形式,结构的内力和变形都发生了性质上的突然变化。对于理想轴心受压杆，其直线平衡状态（轴心受压）的稳定性与轴向荷载P的大小有关。当荷载P小于临界荷载值（P<Pcr）时，直线平衡状态是稳定的；当荷载P大于临界荷载值(P

26、> Pcr)时，由精确的大挠度理论分析结果表明，既可以具有直线平衡状态，又可以具有弯曲的平衡形式。以理想的受压构件（挺直、无缺陷、两端铰支）为例进行说明。如图1-1，当轴向荷载P作用于构件的两端，其没有到达一定限值时，构件始终保持挺直，处于稳定的平衡状态，只是产生了轴向的压缩变形D。此时给构件作用一微小的水平力，构件会微小弯曲，当去掉这一干扰后，构件又会恢复到之前的直线平衡状态，这种平衡状态称为稳定平衡状态，如图1-1(a)。当作用于构件顶端的轴向荷载P逐渐增加至Pcr时，对杆件施加微小扰动将使其发生弯曲，当取消干扰后，杆件将不会恢复到原来的直线平衡状态，仍然保持着微弯状态，这种平衡状态

27、称为中性平衡或者随遇平衡，如图1-1（b）。因此，当轴向荷载P达到Pcr时，杆件可能存在两种平衡状态，荷载-位移曲线可能出现两种可能的平衡路径，如图1-1(a)中的水平线AB（或 AB）和直线AC，这种现象称为平衡分岔失稳。当轴向荷载P超过Pcr时，微小的水平干扰就会使杆件产生很大的弯曲变形，导致杆件破坏，此刻的直线平衡状态是不稳定的。这种现象就成为杆件的弯曲屈曲或者弯曲失稳4-7。PP(a)(b)(c)图1-1 轴心受压构件弯曲屈曲 平衡分岔失稳又可以分为两类：稳定分岔失稳和不稳定分岔失稳3。(1) 稳定分岔失稳图1-1(a)中的荷载-位移曲线是以小变形理论为基础分析得到的。通过大变形理论分

28、析，轴心受压构件失稳后，在位移增加的时候，荷载还会略有增加，如图1-2(a)所示，荷载-位移曲线为AB或AB，此时构件处于稳定的平衡状态，此类失稳属于稳定分岔失稳。然而大变形理论分析表明，当作用于杆件的荷载增加量极小时，而相应位移的增量却非常大，杆件因弯曲变形而产生弯矩，杆件在压力和弯矩的同时作用下，中央截面的边缘纤维首先开始屈服，随着塑性不断地发展，杆件很快便达到极限状态。因此轴心受压杆件发生屈曲后的强度不能再被使用。此外，如图1-2(b)中四边有支撑的薄板，均匀压力P作用在该薄板中面。当P达到Pcr后，该薄板会凸曲失稳。因薄板自身的特点，受压时侧边会产生薄膜力，会阻止薄板的进一步变形，促进

29、了荷载增加的进程。如图1-2(b)所示，荷载-位移曲 然而由于薄板的极限荷载Pu可能远远大于其线中oAB或oAB也是稳定的平衡状态，屈曲荷载Pcr，故薄板屈曲后的强度仍然可以被利用。 P(a)PPPuw(b)图1-2 稳定分岔失稳 上面分析的轴心受压杆件和中面受压薄板的屈曲都是在理想状态下发生的。在工程实际中杆件和薄板多少都会存在一些几何缺陷或初始弯曲，这会使板或杆件的极限荷载Pu降低，其荷载-位移曲线将不会有分支点，如图1-2(a和b)的虚线所示。 不过对于属于稳定分岔失稳的构件，初始缺陷对其影响很小。对于有初始缺陷的薄板，其极限荷载仍可能大于屈曲荷载。(2) 不稳定分岔失稳另一类结构，在发

30、生失稳之后，只能在远比屈曲荷载小的情况下保持平衡状态。如在均匀压力的作用之下的圆柱壳，其荷载-位移曲线如图1-3，这种结构属于不稳定分支失稳，也称有限干扰屈曲；构件在非常微小而又不能够避免的有限干扰之下，圆柱壳在没有达到平衡分岔荷载的时候，就可能由丧失稳定前的稳定平衡状态跳跃至非临近的平衡状态，由曲线oABC可见，不通过理想的分支点A。此类结构的稳定性问题，初始缺陷对其影响非常大，使结构承受的极实际限荷载Pu远远小于理论计算所得到的屈曲荷载Pcr。其荷载挠度曲线如图1-3中的虚线所示。 PB(a)B(b)图1-3 不稳定分岔失稳 2.1.2第二类稳定1.极值点失稳结构在屈曲前后，变形的性质始终

31、保持不变，只是原来的变形大大的发展直到 到结构丧失稳定破坏，而不会出现新的变形形式。这就是极值点失稳或称为第二类稳定问题。以偏心受压构件为例来说明，如图1-4所示，两端铰支的杆件在偏心荷载P的作用下，产生弯曲变形。在曲线段的上升段oAB上，荷载的增加会使构件的挠度也不断地增加，但荷载P在没有大到Pu之前，只要荷载不继续变大，杆件的变形就不会增大，处于稳定平衡状态。当荷载达到A点时，杆件中点截面边缘纤维首先开始屈服，若荷载P继续增加，杆件塑性向内扩展至使弯曲变形加快。如曲线图中BC段，当荷载P达到荷载Pu以后，即使不增加荷载P甚至减小荷载P，也不能阻止结构变形的急剧增大。曲线中的B点表示结构在稳

32、定平衡状态和不稳定平衡状态的临界点（极值点），说明偏心受压构件已达到了极限状态，而荷载Pu就是杆件的极限荷载或者压溃荷载8-14。由于结构经常处于压弯状态，都存在初始弯曲、荷载初偏心及残余应力等缺陷，第一类稳定问题中的实际结构并不存在，所以实际工程中的稳定问题一般表现为第二类失稳。第二类稳定问题则需要考虑材料非线性和几何非线性以及边界非线性等因素，然而在很多情况下，第一类失稳的临界荷载近似地等于第二类失稳极限荷载的上限。故第一类稳定问题也具有很高的研究价值。P 图1-4 极值点失稳 2.跃越失稳除了上述两种常见的稳定问题之外，还有一类稳定问题，如扁壳、坦拱等结构，其在丧失稳定前后，平衡状态会在

33、毫无预兆的情况下跳跃到另一种状态。这种失稳模式既不会出现平衡分支点，也不会出现极值点。下面举例进行说明。如下图1-5所示，在均布荷载q作用下，两端铰接坦拱结构产生向下的挠度w。由荷载挠度曲线可见，在曲线oA段稳定上升，达到A点后立即跳跃到图中所示的C点，此时变形很大，结构急剧下降。结构在虚线AB段是不稳定的，尽管在上升段BC是稳定的，但是结构不能再被利用，因为结构已经发生了跳跃破坏。坦拱中临界荷载qcr对应的是图中的A点。这种失稳的现象称为跳跃失稳3。 qqwB图1-5 跃越失稳 2.2稳定问题的判定准则结构稳定性分析主要是研究结构所处的平衡状态是否唯一、是否稳定。其判定准则通常有三种：静力准

34、则、能量准则和动力准则 2.2.1静力准则对于某一结构体系，假定其满足静力平衡的所有条件。在外界微小的干扰之下，该结构体系偏离初始的平衡位置。如果取消干扰，结构可以立即恢复到初始位置，就说明结构初始的平衡状态是稳定的，这是因为干扰产生了一个正的恢复力；如果取消干扰之后，结构不仅没有回到初始的平衡位置，相反却越来越背离初始的平衡位置，这是微小干扰产生的负的恢复力所致，此时就称初始的平衡状态是不稳定的。若扰动在该体系上不产生任何作用力，当扰动消除后，结构体系既不会恢复到原来的平衡位置，也不会继续增大偏离，就称结构体系处于中性平衡。这就是判定结构是否稳定的静力准则15。对于理想受压杆件而言，当荷载增

35、加到临界荷载Pcr时，出现两种平衡形式，依据静力准则可判定原来的直线平衡状态是不稳定的。理想轴心压杆的荷载-位移曲线中，如图1-1所示。当PPcr时为稳定平衡，当P=Pcr为中性平衡，出现了平衡分岔现象，当PPcr为不稳定平衡。因此，可以用静力法建立压杆在中性平衡状态下的平衡微分方程，进而计算方程特征值和临界荷载Pcr，确定杆件失稳时的屈曲模态。静力法是求解结构临界荷载的最基本的方法。 2.2.2能量准则能量准则是根据最小势能原理提出来的。一般说来，某一结构体系的总势能可表示为：P=U+V (1-1)式中：U结构体系的应变能；V荷载势能。针对某一结构体系，其受到外界微小干扰后，在初始的平衡位置

36、产生微小的可能变形。此时，该结构体系的总势能P产生增量dP。由最小势能原理可知：当dP0时，结构体系的总体势能P取得最小值，表明初始的平衡状态是稳定 的；当dP0时，结构体系的总体势能为最大值，表明结构的初始状态是不稳定的； 当dP=0时，结构体系的总势能不发生变化，结构处于临界状态，即中性平衡状态。这就是判定结构体系所处平衡状态是否稳定的能量准则。根据能量准则和能量特征分析，研究者提出了许多求解结构临界荷载的能量法：例如Timoshenko能量法、Rayleigh-Ritz法、Galerkin法以及势能驻值原理和最小势能原理等。 2.2.3动力准则某一结构体系在外荷载的作用下处于平衡状态，稍

37、加扰动然后放松，如果结构在原来的平衡位置附近自由振动，若运动随着时间的增加为收敛的，则结构体系的初始平衡状态是稳定的，相反则不稳定。这就是判定平衡稳定性的动力准则。依据动力准则，假设结构体系因扰动在原来的平衡位置附近作很小的自由振动，列出振动方程，求得自振频率表达式，根据自振频率为零（结构处于中性平衡状态）的条件求解出临界荷载，这就是以动力准则为基础的动力法。2.3结构稳定问题的设计方法目前我国结构稳定的设计方法主要有以下四种：（1）构造限差法：在我国铁路和公路的桥涵设计规范中均采用这种方法来计算桥梁结构的稳定性问题，当主梁（主桁）中心间距不小于跨度的1/20时，通常情况下可以不进行结构的整体

38、稳定性验算。因为在一般的桥梁结构中，其横向连系刚度比较大，通常情况下满足该限值时就能保证桥梁结构的整体稳定性，但当横向联系的刚度比较弱时不一定能够适用，需要另行计算。（2）计算长度方法：对于规则的框架体系多采用这种方法进行设计，比如我国钢结构设计规范中就是采用了这种方法对压弯构件进行稳定性计算。但是对于复杂 的任意空间结构，该方法就不便使用。（3）二阶弹性分析方法：对于网壳结构而言，我国现行网壳结构技术规程中明确规定，首先进行特征值计算，初始缺陷按照网壳结构的最低屈曲模态来分布，通过几何非线性弹性分析或几何非线性弹塑性分析计算出稳定承载力，用此值除以一个安全系数K，得到结构容许的稳定承载力。（

39、4）极限承载力分析方法：针对实际工程中的结构一般会受到几何非线性和材料非线性的影响，通过双非线性稳定分析，精确求出结构的实际极限稳定承载力。极限承载力与实际承载力之比应大于某个系数K。进入20世纪以后，尤其是在21世纪，计算技术的迅猛提高，使得特征值稳定问题变得容易求解，二阶弹性稳定分析或极限承载力分析也基本得到解决，也就是说，结构在不同条件下的临界荷载或极限荷载可求得，但如何分析或判别结构的稳定性是需要研究的问题。例如，针对结构的弹性整体稳定，解出的特征值屈曲荷载Pcr与实际荷载P的比值为弹性整体稳定安全系数Keb，但该值的容许值无从差得。通常说来，在我国目前各种规范或文献资料中，轴心受压构

40、件稳定设计公式为：Pf fA或PfAf (1-2)以两端简支中心受压构件为例，其最低阶屈曲特征值即欧拉荷载为： Pcr=LI和l=有： iAp2EIL2 (1-3) 引入i=Pcrp2Escr=2 (1-4) Al因此可得 ， KebPcrp2E1=2 (1-5) Pffl Keb是l的函数，由式(1-5)，随l的增大而减小，也即弹性整体稳定安全系数Keb的容许值不是一个恒值。针对整体结构，若无可靠经验或试验数据，可通过特征值稳定分析获得屈曲荷载及屈曲应力，然后通过(1-4)求得换算长细比leb，在按照长细比为leb的轴心受压构件验算其稳定性，或者通过式(1-5)验算弹性整体稳定安全系数。2.

41、4基于有限单元法的桥梁结构稳定理论有限单元法先要将构件划分成有限个数量的单元，以分段点的位移为未知量，之后按照各单元的两端 (1-6a) q4=KSd2+Cd4-(C+S)(d1-d3)/l (1-6b) q3=-q1=(q2+q4)/l+(d1-d3)P/l=K(C+S)(d22+d4)/l-2(C+S)/l-P/(EI)(d1-d3) (1-6c) qPP 图1-8 单元两段的力和位移 然后将q1,q2,q3和q4形成与d1,d2,d3和d4对应的矩阵。但C和S都是单元kl的三角函数。这种表达式不方便应用，运算过程复杂。故可以采用能量法并利用插值函数而导出q和d之间的近似式。 受弯构件的单

42、元刚度矩阵当p=0时，抗弯刚度的系数C=4,S=2,可以将式(1-6a,b和c)用矩阵的形式表示为：q112EI/l3q22-6EI/l=3q3-12EI/l2q4-6EI/l-6EI/l24EI/l6EI/l22EI/l-12EI/l36EI/l212EI/l36EI/l2-6EI/l2d12EI/ld2 (1-7a) 26EI/ld34EI/ld4或将上面的式子简写为:ed q=k(1-7b)式中ke为单元的弯曲刚度矩阵。 压弯构件的单元刚度矩阵如图1-8所示，当有轴心压力p作用于构件，k为单元刚度矩阵,它与单元刚度矩阵ke间的关系如下： q=kd=ke-pkgd (1-8) 可将k称作单

43、元的压弯刚度矩阵，kg称作几何刚度矩阵，或称作初应力刚度矩阵，轴心压力对于抗弯刚度的影响用它进行反映。应用能量法对式(1-8)中的kg进行推导时，需要先将应变能U和外力功W的表达式建立出来。需要注意的是，单元开始弯曲后才产生了外力功中的力q。 U=1l2EI(y)dx (1-9) 021Tpl1Tpl2W=dq+(y)dx=dKd+(y)2dx (1-10) 220220由U=W得到dTkd=EI(y)2dx-p(y)2dx (1-11) 00ll单元中挠曲线AB可以用三次抛物线的插值函数来代替,它的坐标系由图1-8可见，此时d1和d3均与y反向。23 Y=a+bx+cx+dx (1-12)l

44、)=d4,将其单元的两端几何边界的条件如下y(0)=-d1,y(0)=d2,y(l)=-d3,y(代到式(1-12)后得到：y=(3x2/l2-2x3/l3-1),(x-2x2/l+x3/l2)d1d3322322(2x/l-3x/l),(x/l-x/l)2=Ad (1-13a)d3d4y=(6x/l2-6x2/l3),(1-4x/l+3x3/l2),d1d23222(6x/l-6x/l),(3x/l-2x/l)2=Cd (1-13b)d3d4 y=(6/l2-12x/l3),(-4/l+6x/l2)，d1d(12x/l3-6/l2),(6x/l2-2/l)2=Dd (1-13c)d3d4(y

45、)2=dTCTCd (y2)=dTDTDd 将(y)2和(y)2代入式(1-13)可得到dTKd=dTEIDTDdx-PCTCdxd 00ll但是，12/l32l-6/lTEIDDdx=EI0-12/l32-6/l-6/l24/l6/l22/l-12/l36/l212/l36/l2-6/l22/l=ke (1-14a) 26/l4/l6/5l-1/10-6/5l-1/102l/151/10lT0CCdx=-6/5l1/106/5l-1/10-l/301/10-1/10-l/30=kg (1-14b) 1/102l/15e-PKg (1-14c) 故 k=k从结果来看，几何刚度矩阵仅与单元长度有

46、关，而弯曲刚度矩阵除了与单元长度有关之外，还与截面的几何性质有关。在弹塑性的受力阶段，抗弯刚度取决于截面弹性区的惯性矩，这时可以用单元中点的截面来代表整个单元的截面。为了运算的方便，用相同单位来表示单元刚度矩阵中的各项，这样可写出q与d的关系式：q1q/l2EI=3q3lq4/l12-6-12-66/5-1/10-6/5-1/10d1-64-1/102/151/10-1/30d62P2l-126126l-6/51/106/51/10d3-6264-1/10-1/301/102/15d4l(1-15) 结构刚度矩阵与受压构件的屈曲条件通过转换矩阵与单元刚度矩阵相乘可得到结构刚度矩阵。但对于比较简

47、单的受压构件，例如轴心受压构件，转换坐标轴的问题并不存在，所以可以通过变形的协调条件和力的平衡而把相同结点 (1-16a) W1W/l21EIW3=3W/l41l1W5W6/l1012-6-12-60-646200-126240-12-6-62086200-1261260-6264000D16/5-1/10-6/5-1/10-1/102/151/10-1/30Dl0021D30-6/5-1/10P-6/51/1012/5- (1-16b) 04/151/10-1/30D4l1l1-1/10-1/3000-6/51/106/51/10D5Dl0-1/10-1/301/102/15061 上面的式

48、子也可以写成D=K-1W (1-17) 构件丧失稳定时，其抗弯刚度等于零，位移趋向于无限大，而式中K-1是K的伴随矩阵除以行列式K，只有当K=0时，位移才有可能趋向于无穷大，所以构件丧失稳定的条件是K=0。因为在K中有荷载P，故由此可以得到构件的屈曲荷载Pcr。2.5基于ANSYS的桥梁结构稳定分析方法ANSYS软件是一种在国际上应用广泛的大型通用有限元分析软件，其功能极其强大，可对结构的应力、变形及稳定问题等进行全面分析计算。对于桥梁结构的稳定性问题，第一类稳定问题（分支点失稳）属于结构弹性稳定分析，临界荷载值Pcr的求解就成为问题的关键。在有限元软件ANSYS中，其分析类型就是特征值稳定分

49、析（Buckling Analysis）；极值点失稳和跳跃失稳则属于结构静力非线性分析，其前屈曲或后屈曲平衡状态均可以一次求得。 2.5.1特征值稳定分析在结构体系的稳定平衡状态，依据势能驻值原理，结构静力计算的平衡方程可以表示为：U=P (1-18) (KE)+(KG)式中：KE结构的弹性刚度矩阵；KG结构的几何刚度矩阵；P节点荷载向量；U节点位移向量。当结构达到随遇平衡状态，结构体系的系统势能的二阶变分等于零，可得下式： (KE)+(KG)dU=0 (1-19)故必有： KE+KG=0 (1-20) 其中，式(1-20)中KE已知， KG是未知的。故可假设任意一组外荷载P0，0此时结构的几

50、何刚度矩阵为KG，并假定结构失稳时的荷载为lP0，则有0,于是式(1-20)就可以简化为： KG=lKG0=0 (1-21) KE+lKG上式写成特征值方程即为：fi=0 (1-22) (KE+liKG)式中：li第i阶特征值；fi与li对应的特征向量， 即为对应的的结构变形形状，也称失稳模态。 因此，在利用ANSYS对桥梁结构进行特征值稳定分析时，结果输出的是结构fi，结构的失稳临界荷载Pcr则为lP0。 的失稳荷载系数li与失稳模态 2.5.2非线性稳定分析对于桥梁结构而言，非线性稳定分析更接近实际情况，故我们在进行桥梁结构稳定承载能力设计时，应计入非线性影响。非线性稳定分析是以非线性静力

51、分析理论为基础，施加一种逐渐增加的荷载对结构发生失稳时的临界荷载进行分析的方法37。下面以结构的几何非线性问题为例，分析结构的非线性方程求解方法。为求解方便，对于结构非线性平衡方程组的解法我们一般采用NR法。首先将结构的平衡方程展开成泰勒级数，近似化为线性公式。具体求解方法如下结构的平衡方程为：K(u)u=F (1-23) 用NR法写成迭代公式为：KT(un)Dun+1=F-Fn (1-24) u=u+Dunn+1n+1式中，Fn=K(un)un如以单自由度系统描述上式，可用图1-10(a)进行图解表示，在ANSYS中称为完全NR法。 F=F4F3KT3KT4F=KuFKnF=KuF2KF11

52、2u34 (a) (b)图1-10 完全NR法和修正NR法 但完全NR法每次迭代后都要重新形成一次刚度矩阵，计算相当繁琐，为了减少形成总刚的次数，可采用修正的NR法（NROPT命令中的Option=MODI），这样仅修正一次切线刚度矩阵，进行线性方程组的回代，如图1-10（b）所示。基于几何非线性的屈曲分析方法将结构的屈曲稳定视为第二类稳定问题进行非线性屈曲分析、并按规定的荷载增量步长加载时，一旦所施加的结构荷载达到极限值或临界值，就会出现系统刚度矩阵的奇异，从而给系统方程组的求解带来困难，甚至可能导致求解的失败。此时，只有采用足够小的荷载增量逐渐逼近极限荷载，才可能获得极限荷载的近似值。但这

53、需要多次反复试算出合适的加载步长，很不方便。如何求得尽可能接近真实的桩身稳定临界荷载，以及分析结构后屈曲性状，成为结构非线性屈曲问题研究的难点所在。针对这一问题，不少学者己提出一些解决办法 1736：方法之一就是采用位移控制的加载方式。事实上，对极限荷载求解问题，采用位移控制的加载方式分析确实更为有效。然而，实际问题中，因结构可能出现的屈曲失稳形式、所能承受的位移极值（或荷载极限）可能有多个未知量，若试图预先给定使结构保持稳定的最大位移（或荷载）值，按位移（或荷载）控制加载往往难以理想。而为了追踪这类问题的加载路径，纯位移（或荷载）控制的加载方式更不能胜任，需要更有效地加载控制方式。近年来广泛

54、讨论和应用的弧长法，成为解决上述问题的一种主流型方法。该法自 Riks 于 1972 年提出以来，陆续得到不少学者的修正和完善，目前该法不仅可用于非线性屈曲的极值点附近的分析，且能用于软化性材料的结构分析。弧长法的基本思路是在由弧长控制的、包含真实平衡路径的增量位移空间中，沿着平衡路径迭代位移增量大小（也叫弧长）和方向、确定荷载增量的自动加载方案，从而搜索到满足平衡方程的平衡路径。应该说，失稳路径的弧长法是求解包含各种非线性因素影响力平衡方程的有效方法。与特征值问题的屈曲分析相比，弧长法用于分析非线性屈曲失稳问题时，不仅考虑刚度奇异失稳点附近的平衡，且通过追踪整个失稳过程中实际的荷载位移关系来

55、获得结构失稳前后的全部信息。这种能追踪屈曲后加载路径的特性使得弧长法对分析极限荷载等问题十分有效，并且可考虑各种非线性以及组合非线性（如材料非线性、几何非线性、边界条件非线性等）的影响。 3. 超宽圆端形薄壁空心桥墩的稳定性数值分析兰渝线兰州枢纽大砂坪特大桥位于兰州市西南郊区，其中5#12#桥墩均为四线超宽圆端形空心墩。该桥墩设计时，按照相关规范要求和以往设计经验分别对桥墩墩身强度、稳定性以及墩顶水平位移、固端干扰应力、温度应力风振、地震等项目进行检算，其各项力学指标均满足设计要求。此桥墩的特点为横桥向尺寸b与顺桥向尺寸a的比值以及宽厚比很大，如图2-5中截面，b/a=4.54,t/b=1/4

56、0.31/10，属于超宽薄壁结构。在此仅定义b/a4, t/b1/10的结构为超宽薄壁结构。此外，其高度达到40m,属于高墩范畴。故其失稳形式有整体稳定（沿顺桥向侧倾）和墩壁的局部失稳两种类型。此外，为偏安全设计，该超宽圆端形空心墩在纵向中心处还设置一道80cm厚的竖向隔板。3.1.1线弹性稳定分析3.1.1.1超宽圆端形薄壁空心墩模型的建立利用ANSYS进行整体建模，以桥墩实际尺寸建立模型，墩身从上到下由顶帽、托盘、上实体段、空心段、下实体段构成，墩身高度为39.5m，内、外坡均采用85/1的坡度值，墩身顶设置1.5m实体过渡段，墩底设置9.5m实体过渡段，在纵向中心处还设置带有50cm50

57、cm倒角的一道80cm厚隔板，具体尺寸见第二章中图2-2。分别建立有竖向隔板和无竖向隔板两种模型，如图4-1和图4-2。3.1.1.2单元类型的选取在有限元数值模拟分析中，单元类型的选取尤为重要，应该针对结构的具体构造特点和力学性能特点，确定最切合实际的仿真分析力学模型。 个自由度：节点x,y和z方向的位移。该单元具有空间的任意方向。SOLID95单元有可塑性、大应变能力与大变形的特性44。3.1.1.3材料属性的定义定义材料属性：混凝土的弹性模量EC=3.30104MPa，混凝土的密度D=2500Kg/m3，混凝土的泊松比=0.2。 图4-1桥墩模型（有竖向隔板） 图4-2桥墩模型（无竖向隔板）3.1.1.4单元的划分在创建模型之后，通过对几何模型进行单元的划分才能生成有限元模型，合理的网格划分对有限元软件求解结果的好与坏有直接的影响。为避免自由网格划分生成的不规则单元对计算精准度的影响， （a）整个墩身网格划分 （b）局部网格划分图4-3 桥墩网格划分3.1.1.