最新高考数学三轮讲练测核心热点总动员新课标版 专题06 三角化简求值 Word版含解析

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1、 20xx年高考三轮复习系列：讲练测之核心热点 【全国通用版】 热点六 三角化简求值【名师精讲指南篇】【高考真题再现】1.【20xx新课标全国】设当时,函数取得最大值,则_【答案】；2.【20xx新课标全国】已知锐角的内角的对边分别为,则（ ）（A） （B） （C）（D）【答案】D；【解析】因为,且锐角ABC,故,故,解得.3.【20xx高考全国1文】若,则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】试题分析：由,可得：同正或同负,即可排除A和B,又由,故.4.【20xx全国1高考理】设且则（ ） （A） （B） （C） （D）【答案】C5.【20xx全国1理】（ ）.A. B C DB.

2、 原式.故选D【热点深度剖析】三角函数的化简、求值及最值问题,主要考查同角三角函数的基本关系式,三角函数的诱导公式,和、差、倍、半、和积互化公式在求三角函数值时的应用,考查利用三角公式进行恒等变形的技能,以及基本运算的能力,特别突出算理方法的考查 20xx年试题主要考查三角恒等变换,及倍角公式的灵活运用、同角的三角函数关系等知识以及相应的运算能力. 20xx年的试题文主要考查三角函数的同角的三角函数关系,理科考查三角函数的同角的三角函数关系,三角恒等变换.20xx主要考查两角和与差的三角函数公式.通过三年试题来看,二倍角公式,同角的三角函数关系是考试的重点从近几年的高考试题来看,利用同角三角函

3、数的关系改变三角函数的名称,利用诱导公式、和差角公式及二倍角公式改变角的恒等变换是高考的热点,常与三角函数式的求值、三角函数的图象与性质、三角形中三角恒等变化,向量等知识综合考查,既有选择题、填空题,又有解答题,属中低档题预测20xx年会加大对三角客观题考查的力度,同角三角函数基本关系式、诱导公式及三角恒等变换是考查重点【重点知识整合】一三角函数诱导公式1.对于形如即满足中取偶数时：等于角的同名三角函数,前面加上一个把看成是锐角时,该角所在象限的符号；2.对于形如即满足中取奇数时：等于角的余名三角函数,前面加上一个把看成是锐角时,该角所在象限的符号.3.口诀：奇变偶不变,符号看象限（看原函数,

4、同时可把看成是锐角）.4.运用诱导公式转化角的一般步骤：(1)负化正：当已知角为负角时,先利用负角的诱导公式把这个角的三角函数化为正角的三角函数值；(2)正化负：当已知角是大于的角时,可用的诱导公式把这个角的三角函数值化为主区间内的三角函数值；(3)主化锐：当已知角是到内的角时,可利用的诱导公式把这个角的三角函数值化为到内的角.二 两角和与差的三角函数公式1. 两角和与差的正弦公式：.变形式：；2.两角和与差的余弦公式：变形式：；3两角和与差的正切公式：.变形式：.注意：运用两角和与差的三角函数公式的关键是熟记公式,我们不仅要记住公式,更重要的是抓住公式的特征,如角的关系,次数关系,三角函数名

5、等抓住公式的结构特征对提高记忆公式的效率起到至关重要的作用,而且抓住了公式的结构特征,有利于在解题时观察分析题设和结论等三角函数式中所具有的相似性的结构特征,联想到相应的公式,从而找到解题的切入点.三二倍角公式的正弦、余弦、正切1.二倍角的正弦公式:；二倍角的余弦公式:；二倍角的正切公式: .2. 降幂公式：；.3.升幂公式：;.注意：在二倍角公式中,两个角的倍数关系,不仅限于2是的二倍,要熟悉多种形式的两个角的倍数关系,同时还要注意三个角的内在联系的作用,是常用的三角变换.【应试技巧点拨】1. 利用诱导公式求值：给角求值的原则和步骤(1)原则：负化正、大化小、化到锐角为终了.(2)步骤：利用

6、诱导公式可以把任意角的三角函数转化为之间角的三角函数,然后求值,其步骤为：给值求值的原则:寻求所求角与已知角之间的联系,通过相加或相减建立联系,若出现的倍数,则通过诱导公式建立两者之间的联系,然后求解.常见的互余与互补关系(1)常见的互余关系有：与；与；与等. (2)常见的互补关系有： 与;与等.遇到此类问题,不妨考虑两个角的和,要善于利用角的变换的思想方法解决问题.2.利用诱导公式化简三角函数的原则和要求(1)原则：遵循诱导公式先行的原则,即先用诱导公式化简变形,达到角的统一,再进行三角函数名称转化,以保证三角函数名称最少.(2)要求：化简过程是恒等变形；结果要求项数尽可能少,次数尽可能低,

7、结构尽可能简单,能求值的要求出值.2. 利用诱导公式证明三角恒等式的主要思路(1)由繁到简法：由较繁的一边向简单一边化简.(2)左右归一法：使两端化异为同,把左右式都化为第三个式子.(3)转化化归法：先将要证明的结论恒等变形,再证明.提醒：由终边相同的角的关系可知,在计算含有的整数倍的三角函数式中可直接将的整数倍去掉后再进行运算,如.4. 正、余弦三兄妹“、”的应用与通过平方关系联系到一起,即,因此在解题中若发现题设条件有三者之一,就可以利用上述关系求出或转化为另外两个.5.如何利用“切弦互化”技巧（1）弦化切：把正弦、余弦化成切得结构形式,这样减少了变量,统一为“切”得表达式,进行求值. 常

8、见的结构有: 的二次齐次式（如）的问题常采用“”代换法求解；的齐次分式（如）的问题常采用分式的基本性质进行变形 （2）切化弦：利用公式,把式子中的切化成弦.一般单独出现正切、余切的时候,采用此技巧.6.三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的基本思路基本思路是：一角二名三结构.即首先观察角与角之间的关系,注意角的一些常用变式,角的变换是三角函数变换的核心.第二看函数名称之间的关系,通常“切化弦”；第三观察代数式的结构特点.基本的技巧有:（1）巧变角：已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换. 如,等.(2)三角函数名互化：切割化弦,弦的齐次结构化成切.(

9、3)公式变形使用：如(4)三角函数次数的降升：降幂公式与升幂公式.(5)式子结构的转化.(6)常值变换主要指“1”的变换：等.（7）辅助角公式：(其中角所在的象限由的符号确定,的值由确定.在求最值、化简时起着重要作用,这里只要掌握辅助角为特殊角的情况即可.如等.【考场经验分享】1在利用三角函数定义时,点可取终边上任一点,如有可能则取终边与单位圆的交点一定是正值2同角三角函数关系及诱导公式要注意象限角对三角函数符号的影响,尤其是利用平方关系在求三角函数值时,进行开方时要根据角的象限或范围判断符号,正确取舍3使用诱导公式时一定要注意三角函数值在各象限的符号,特别是在具体题目中出现类似k(kZ)的形

10、式时,需要对k的取值进行分类讨论,从而确定三角函数值的正负4.重视三角函数的“三变”： “三变”是“变角”,“ 变名”,“ 变式”；变角为：对角的拆分要尽可能化为同名、同角、特殊角；变名：尽可能减少函数名称；变式：对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等在解决求值、化简、证明问题时,一般是观察角度、函数名、所求(或所证明)问题的整体形式中的差异,再选择适当的三角公式恒等变形4两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式,二倍角的正弦、余弦、正切公式在学习时应注意以下几点：（1）不仅对公式的正用逆用要熟悉,而且对公式的变形应用也要熟悉；（2）善于拆角、拼角如,等； （3）注意倍角的相对性（4）要

11、时时注意角的范围（5）化简要求熟悉常用的方法与技巧,如切化弦,异名化同名,异角化同角等.5证明三角等式的思路和方法.（1）思路：利用三角公式进行化名,化角,改变运算结构,使等式两边化为同一形式.（2）证明三角不等式的方法：比较法、配方法、反证法、分析法,利用函数的单调性,利用正、余弦函数的有界性,利用单位圆三角函数线及判别法等.6解答三角高考题的策略.（1）发现差异：观察角、函数运算间的差异,即进行所谓的“差异分析”.（2）寻找联系：运用相关公式,找出差异之间的内在联系.（3）合理转化：选择恰当的公式,促使差异的转化.7加强三角函数应用意识的训练由于考生对三角函数的概念认识肤浅,不能将以角为自

12、变量的函数迅速与三角函数之间建立联系,造成思维障碍,思路受阻.实际上,三角函数是以角为自变量的函数,也是以实数为自变量的函数,它产生于生产实践,是客观实际的抽象,同时又广泛地应用于客观实际,故应培养实践第一的观点.总之,三角部分的考查保持了内容稳定,难度稳定,题量稳定,题型稳定,考查的重点是三角函数的概念、性质和图象,三角函数的求值问题以及三角变换的方法.8变为主线、抓好训练变是本章的主题,在三角变换考查中,角的变换,三角函数名的变换,三角函数次数的变换,三角函数式表达形式的变换等比比皆是,在训练中,强化变意识是关键,但题目不可太难,较特殊技巧的题目不做,立足课本,掌握课本中常见问题的解法,把

13、课本中习题进行归类,并进行分析比较,寻找解题规律.针对高考中题目看,还要强化变角训练,经常注意收集角间关系的观察分析方法.另外如何把一个含有不同名或不同角的三角函数式化为只含有一个三角函数关系式的训练也要加强,这也是高考的重点.同时应掌握三角函数与二次函数相结合的题目.三角函数求值中要特别注意角的范围,如根据求的值时,中的符号是根据角的范围确定的,即当的范围使得时,取正号,反之取负号注意在运用同角三角函数关系时也有类似问题9.本热点一般难度不大,属于得全分的题目,一般放在选择题与填空题的中间位置,但是因题目解法的灵活性造成在紧张的考试氛围里面,容易一时的思路堵塞,需冷静处理,如果一时想不到化简

14、的方向,可暂且放一放,不要钻牛角尖,否则可能造成心理负担,情绪受到影响,因新课标高考对这个热点考查难度已经降低,学生应有必胜的信心.【名题精选练兵篇】1【20xx届江西师大附中、鹰潭一中高三下第一次联考】式子的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】,当且仅当,即时,等号成立.故C正确.2【20xx届江西省高安中学等九校高三下学期联考】在中,内角所对的边分别为,若则（ ）A.成等差数列 B.成等比数列C.成等差数列 D.成等比数列【答案】B【解析】, ,由正弦定理可知,所以成等比数列,故选B.3【20xx届广东省肇庆市高三上期末】已知tan=2,则=（ ）A B C D【答案】

15、A【解析】tan=2,则=sincos=,故选A4【20xx届广东省佛山市高三上期末】已知tanx=,则sin2（+x）=（ ）A B C D【答案】D【解析】tanx=,则sin2（+x）=+=+=+=,故选D5【20xx届四川省成都七中高三下学期模拟】直线的倾斜角是,则的值是（ ）A-3 B-2 C D3【答案】C【解析】由于直线的倾斜角是,所以,因此,故选C6【20xx届浙江省宁波市“十校”高三联考】函数,的单调递增区间是 .【答案】.【解析】,当时,故令,单调递增区间是,故填：7【16届浙江省宁波市“十校”高三联考】已知,且有,则 . 【答案】. 【解析】,故填：.8【20xx届江苏省

16、苏中三市高三第二次调研】若存在,使得,则实数的取值范围是 【答案】【解析】令,当时,当时,由得,故,即存在,使得成立,利用导数知识可得为上的单调增函数,所以,为上的单调减函数,所以,从而9【20xx届福建省厦门第一中学高三下模拟】的三个内角的对边分别为,若,则的取值范围是 .【答案】10【20xx届甘肃省河西五市部分普通高中高三第一次联考】已知,则的值为 【答案】.【解析】,故填：.11【20xx届湖北省襄阳市高三上学期期末】若tan=2tan,则= 【答案】【解析】：tan=2tan,则= = =,故答案为：12. 【20xx届新高考单科综合调研卷（浙江卷）】若,是第三象限的角,则 （ ）A

17、 B C D【答案】B.【解析】由题意,因为是第三象限的角,所以,因此.13. 【惠安一中、养正中学、安溪一中20xx届高三上学期联合考试】已知角的顶点与原点重合,始边与轴的非负半轴重合,终边上一点,则 等于（ ）A B C D【答案】D.【解析】根据任意角的三角函数的定义,.14. 【宿迁市20xx届高三年级摸底考试】若,则的值是 【答案】.【解析】.15. 【浙江省效实中学20xx届高三上学期期末考试】化简：A B C D【答案】D【解析】,答案D.16. 【拉萨中学高三年级（20xx届）第三次月考试卷】若, ,则=（ ） A. B. C. D. 或【答案】D.17. 若,则 A B C

18、D【答案】C.【解析】因为,所以,且；又因为,且,所以,且又因为,所以故应选C.18. 【北京101中学20xx20xx学年度高三第一学期期中模拟】在中,若 .【答案】2【解析】因为,所以【名师原创测试篇】1. 若锐角满足,则的值为（ ） A. B. C. D.【答案】A2. 已知,则_【答案】2【解析】由已知得,所以3. 已知第三象限角的终边经过点,则( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】由题可得,因为角是第三象限角,所以,根据三角函数的概念可得,故选C. 4. 执行如图所示的程序框图,则输出结果的值为（ ）A. B. C. D.【答案】B【解析】由程序框图可知.5.在中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知,则角_.【答案】【解析】, ,两式相减得,由正弦定理得.