New无限脉冲响应数字滤波器的设计

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1、1会计学New无限脉冲响应数字滤波器的设计无限脉冲响应数字滤波器的设计1. 1. 数字滤波器的分类数字滤波器的分类）经典滤波器：经典滤波器：输入信号中有用的频率成分和希望滤除的频率成分各占有不同的频带输入信号中有用的频率成分和希望滤除的频率成分各占有不同的频带，通过选频滤波器达到目的，通过选频滤波器达到目的现代滤波器现代滤波器：如维纳滤波器，卡尔曼滤波器，自适应滤波器等最佳滤如维纳滤波器，卡尔曼滤波器，自适应滤波器等最佳滤波器（按随机信号内部的统计分布规律，从干扰中最佳波器（按随机信号内部的统计分布规律，从干扰中最佳提取信号）提取信号）数字滤波器的频响函数都以为周期：滤波器的低通频带处于整数字

2、滤波器的频响函数都以为周期：滤波器的低通频带处于整数倍处，高频频带处于的奇数倍附近。数倍处，高频频带处于的奇数倍附近。22）从功能上分类：低通、高通、带通、带阻滤波器）从功能上分类：低通、高通、带通、带阻滤波器（1）低低通通数数字字滤滤波波器器 ccjj eHeH 0)()( |H(ej)|c-c-22|H(ej)|2-2 2-2-2221-1（2）高高通通数数字字滤滤波波器器 ccjj eHeH 0)()( （3）带带通通数数字字滤滤波波器器 0|,0)()(212 eHeH1jj |H(ej)|c- -c-2-222（4）带带阻阻数数字字滤滤波波器器 22100|,)()( 1jj eHe

3、H 其他较复杂的特性可以由基本滤波器组合。其他较复杂的特性可以由基本滤波器组合。1|H(ej)|2-2 2-2-222-1）数字滤波器从实现的网络结构或者从单位脉冲响应分类）数字滤波器从实现的网络结构或者从单位脉冲响应分类无限脉冲响应无限脉冲响应(IIR)滤波器滤波器有限脉冲响应有限脉冲响应(FIR)滤波器滤波器()()()jjjH eH ee 2 2数字滤波器的技术要求数字滤波器的技术要求通常用的数字滤波器一般属于选频滤波器。通常用的数字滤波器一般属于选频滤波器。(1)数字滤波器的传输函数数字滤波器的传输函数H(e j) 其中：幅频特性幅频特性：信号通过滤波器后的各频率成分衰减情况信号通过滤

4、波器后的各频率成分衰减情况相频特性：相频特性：各频率成分通过滤波器后在时间上的延时情况各频率成分通过滤波器后在时间上的延时情况) H(e j)(低通滤波器的技术要求选频滤波器选频滤波器：一般要求幅频特性，相频特性一般不要求一般要求幅频特性，相频特性一般不要求（但若对输出波形有要求，则需要考虑相频特性的技术指标，如语音合成，波形传输）若对输出波形有严格要求，则需设计线性相位数字滤波器若对输出波形有严格要求，则需设计线性相位数字滤波器。实用滤波器实用滤波器：通带：不一定完全水平通带：不一定完全水平阻带：不一定绝对衰减到零阻带：不一定绝对衰减到零过渡带：通带、阻带之间过渡带：通带、阻带之间设置一定宽

5、度的设置一定宽度的过渡带过渡带过渡带低通数字滤波器的幅频特性技术指标|H(ej)|通带阻带21-1p0.70701CSp p：通带截止频率，通带频率范围：通带截止频率，通带频率范围：00 p p ；S S ：阻带截止频率，：阻带截止频率，阻带频率范围：阻带频率范围：s s ； C C ：3dB3dB截止频率；截止频率； P P：通带最大衰减；通带最大衰减； S S：阻带最小衰减阻带最小衰减 1 1：通带内幅度响应误差范围；通带内幅度响应误差范围； 2 2：阻带内幅度响应误差范围；：阻带内幅度响应误差范围；00()20lg()()20lg()psjpjjsjH edBH eH edBH e00(

6、)20lg()()20lg()psjpjjsjH edBH eH edBH e20lg()20lg()psjpjsH edBH edB 20lg()20lg()psjpjsH edBH edB 的）n边界频率，pspsdBeHeHpjjp0lg20dBeHeHsjjs0lg20pcp，c，s例：低通滤波器的技术要求1.)()(zHsHa频率变换 3. 数字滤波器设计方法概述n(1)(1)经常采用的是经常采用的是窗函数设计法窗函数设计法和和频率采样频率采样法法，n(2)(2)用计算机辅助的切比雪夫最佳一致逼近用计算机辅助的切比雪夫最佳一致逼近法设计法设计。)(jaH低通带通带阻高通)(jaH)(

7、jaH)(jaH000c)(jaH低通带通带阻高通)(jaH)(jaH)(jaH000c)(jaH低通带通带阻高通)(jaH)(jaH)(jaH000c)(jaH低通带通带阻高通)(jaH)(jaH)(jaH000c各种理想模拟滤波器的幅度特性各种理想模拟滤波器的幅度特性|Ha(j)|0.707ps通带阻带过渡带10Cps通带过渡带阻带(dB) 衰减pS02222()10lg()()10lg()apapasasHjHjHjHj2222()10lg()()10lg()apapasasHjHjHjHj|Ha(j0)|22222()10lg()()10lg()apapasasHjHjHjHj|Ha(

8、j0)|22222()10lg()()10lg()apapasasHjHjHjHj2210lg()10lg()papsasHjHj 2210lg()10lg()papsasHjHj 如果=0处幅度已归一化到1，即:|Ha(j0)|=1c称为3dB截止频率，因 ( )1 /2 ,2 0 lg ( ) 3a ca cHjHjd B ( ) 1 / 2 , 2 0 lg ( ) 3acacHjHjd B极点极点应位于应位于S S 左半平面内左半平面内。模拟滤波器若干典型滤波器模拟滤波器若干典型滤波器巴特沃斯(Butterworth)滤波器切比雪夫(Chebyshev)滤波器椭圆(Cauer)滤波器贝

9、塞尔(Bessel)滤波器等模拟滤波器的分类（按幅频特性）模拟滤波器的分类（按幅频特性）低通、高通、带通、带阻 图各种理想滤波器的幅频特性 )(jaH低通带通带阻高通)(jaH)(jaH)(jaH000c 1.模拟低通滤波器的设计指标及逼近方法模拟低通滤波器的设计指标：模拟低通滤波器的设计指标：低通滤波器的幅度特性低通滤波器的幅度特性2210lg()10lg()papsasHjHj 2222()10lg()()10lg()apapasasHjHjHjHj对于单调下降的幅度特性传输函数设计方法：传输函数设计方法：注意：注意：Ha(s)必须是稳定的，因此其极点落在s平面的左半平面1. 1.从模拟滤

10、波器到数字滤波器的设计过程从模拟滤波器到数字滤波器的设计过程按照设计要求设计一个模拟低通滤波器，得到模拟低通按照设计要求设计一个模拟低通滤波器，得到模拟低通滤波器的传输函数滤波器的传输函数H Ha a(s)(s)，再按一定的转换关系将，再按一定的转换关系将H Ha a(s)(s)转换成数字低通滤波器的系统函数转换成数字低通滤波器的系统函数H(Z)H(Z)。关键问题：关键问题：将将s平面上的平面上的Ha(s)转换成转换成Z平面上的平面上的H(Z)。为了保证转换后的为了保证转换后的H(z)H(z)稳定且满足技术要求，对转换关系稳定且满足技术要求，对转换关系提出两点要求：提出两点要求：(1)(1)因

11、果稳定的模拟滤波器转换成数字滤波器，仍是因果因果稳定的模拟滤波器转换成数字滤波器，仍是因果 稳定的。即稳定的。即S S平面的左半平面平面的左半平面ReRes s00必须映射到必须映射到Z Z 平面单位圆的内部平面单位圆的内部|z|1|z|1。 (2)(2)数字滤波器的频率响应模仿模拟滤波器的频响，数字滤波器的频率响应模仿模拟滤波器的频响，s s平面的虚轴映射平面的虚轴映射z z平面平面的单位圆，相应的频率之间成线性关系的单位圆，相应的频率之间成线性关系)(tha)(nTha)()(nThnha)()()()()(zHnhnThthsHZaaa 变换等间隔采样拉氏逆变换2. 2.脉冲响应不变法的

12、转换原理脉冲响应不变法的转换原理核心原理：转换步骤：( )( )aaHsLT h t设模拟滤波器设模拟滤波器Ha(s)只有单阶极点，且分母多项式的阶次高于分子多项式的阶只有单阶极点，且分母多项式的阶次高于分子多项式的阶次，将次，将Ha(s)用部分分式表示：用部分分式表示： 1( )NiaiiAHsss将将Ha(s)进行逆拉氏变换得到进行逆拉氏变换得到ha(t)：si为Ha(s)的单阶极点u(t)是单位阶跃函数设模拟滤波器的传输函数为设模拟滤波器的传输函数为Ha(s),相应的单位冲激响应是相应的单位冲激响应是ha(t) 1( )()()iNs nTaiih nh nTAeu nT对上式进行对上式

13、进行Z变换，得到数字滤波器的系统函数变换，得到数字滤波器的系统函数H(z)： 11( )1iNis TiAH zez11zeAssATsiiii对对ha(t)进行等间隔采样，采样间隔为进行等间隔采样，采样间隔为T，得到：，得到：设ha(t)的采样信号用 表示，( )( ) ()aanhth ttnT)(tha(1) 拉氏变换与拉氏变换与Z变换的映射关系变换的映射关系( )aht( )( )( )( )sTsTsnTnaz ez ennHsh n eh n zH z 对对 进行拉氏变换，得到进行拉氏变换，得到: ha(nT)是ha(t)在采样点t=nT时的幅度值，它与序列h(n)的幅度值相等，即

14、h(n)=ha(nT)因此得到: 上式表示采样信号的拉氏变换与相应的序列的上式表示采样信号的拉氏变换与相应的序列的Z变换之间的映射关系可用下式变换之间的映射关系可用下式表示：表示：sTze标准映射关系jsjzre 按照式，得到按照式，得到:jTj Treee因此得到因此得到:TreT 设设（2）s平面与平面与Z平面的映射平面的映射那么那么 =0,r=1 0,r0,r1 另外，注意到另外，注意到z=esT是一是一个周期函数，可写成个周期函数，可写成2(),jM TsTTj TTTeeeeeM为任意整数图sT,s平面与z平面之间的映射关系( )aht()aHj模拟信号模拟信号ha(t)的傅里叶变换

15、的傅里叶变换Ha(j)和其采样信号和其采样信号 的傅里叶变换的傅里叶变换 之间的关系满足之间的关系满足将s=j代入上式，得由式和式得到:表明将模拟信号表明将模拟信号ha(t)的拉氏变换在的拉氏变换在s平面上沿虚轴按照周期平面上沿虚轴按照周期s=2/T延拓后，再按照式映射关系，映射到延拓后，再按照式映射关系，映射到z平面上，就得到平面上，就得到H(z)。图脉冲响应不变法的频率混叠现象（3）混叠失真()aHj()0,/aHjT 1()(),jaH eHjTT)(jeH)( jHa(4) 与 的关系那么此时1112211()sjs 极点为 可以推导出相应的数字滤波器二阶基本节(只有实数乘法)的形式为

16、 1111121211cos12cosTTTz eTz eTz e3.二阶基本节一般一般Ha(s)的极点的极点si是一个复数，且以共轭成对的形式出现，是一个复数，且以共轭成对的形式出现，在式中将一对复数共轭极点放在一起，形成一个二阶在式中将一对复数共轭极点放在一起，形成一个二阶基本节。如果模拟滤波器的二阶基本节的形式为基本节。如果模拟滤波器的二阶基本节的形式为1111112211112121,()sin12cosTTTjsz eTz eTz e 极点为 则对应的数字滤波器的二阶基本阶的形式为6. 6.总结总结脉冲响应不变法的优点：脉冲响应不变法的优点：1.频率坐标变换是线性的，即频率坐标变换是

17、线性的，即=T，如果不考虑频率混叠，如果不考虑频率混叠现象，用这种方法设计的数字滤波器会很好的重现原模拟滤现象，用这种方法设计的数字滤波器会很好的重现原模拟滤波器的频率特性。波器的频率特性。2.数字滤波器的单位脉冲响应完全模仿模拟滤波器的单位冲数字滤波器的单位脉冲响应完全模仿模拟滤波器的单位冲激响应，时域特性逼近好。激响应，时域特性逼近好。脉冲响应不变法的缺点：会产生混叠现象，适合低通、带通滤波器的设计，不适合高会产生混叠现象，适合低通、带通滤波器的设计，不适合高通、带阻滤波器的设计。通、带阻滤波器的设计。20.5012( )0.64490.7079aHsss0.32240.3224( )0.

18、32240.77720.32240.7772ajjHssjsj极点为12(0.32240.772),(0.32240.7772)sjsj 那么H(z)的极点为 解： 首先将Ha(s)写成部分分式：1212,s Ts Tzeze111212120.3276( )1 1.03280.2470.0485( )1 1.93070.9375zH zzzzHzzz 转换时，也可以直接按照式进行转换。首先将Ha(s)写成式的形式，如极点s1,s2=1j1,则按照式，并经过整理，得到设T=1s时用H1(z)表示，T=0.1s时用H2(z)表示，则26449. 03224. 0113224. 0)772. 0c

19、os(21)7772. 0sin(3224. 02)(zeTezzTezHTT112222111110.5012( )0.6449()()aHsss再按照式，H(z)为111112121sin( )0.644912cosTTTz eTH zz eTz e图例的幅度特性复习：数字滤波器的幅频响应函数复习：数字滤波器的幅频响应函数 滤波器的指标常常在频域给出。滤波器的指标常常在频域给出。 数字滤波器的频响特性函数数字滤波器的频响特性函数H(ej)一般为复函一般为复函数，数， 所以通常表示为所以通常表示为H(ej)=|H(ej)|ej()其中，其中， |H(ej)|称为幅频特性函数，称为幅频特性函数

20、， ()称为相频特性函数。称为相频特性函数。 常用的典型滤波器常用的典型滤波器|H(ej)|是归一化的，是归一化的， 即即|H(ej)|max=1， 对对IIR数字滤波器，数字滤波器， 通常用幅频响应函数通常用幅频响应函数|H(ej)|来描述设计指标。来描述设计指标。 注意：注意： H(ej)是以是以2为周期的，为周期的， 这是数字滤波器与模拟滤波器的最大区别。这是数字滤波器与模拟滤波器的最大区别。 只给出主值区只给出主值区, 区间上的设计指标描述即可。区间上的设计指标描述即可。 1和和2分别称为通带波纹幅度和阻带波纹幅度，分别称为通带波纹幅度和阻带波纹幅度， p为通带边界频率，为通带边界频率

21、， p为通带最大衰减为通带最大衰减(dB)， s为阻带边界频率，为阻带边界频率， s为阻带最小衰减为阻带最小衰减(dB)。一般要求：当一般要求：当0|p时，时， 20lg|(Hej)|p 当当s|时，时， s20 lg|H(ej)|当当p=3 dB时，时， 记记p为为c， 称称c为为3 dB截止频率。截止频率。只能用于只能用于带限带限的频响特性的频响特性高频衰减越大，频响的混淆效应越小高频衰减越大，频响的混淆效应越小)2(tg1TcS平面的整个平面的整个j轴被压缩到轴被压缩到S1平面的平面的2/T 一段。一段。Tsez1:0 1:/0/TT11sino222c sTTT112 11s Ts T

22、eeT11112zszT 22sTTzs122TtgT 11112222222TTjjTTjjeejeTe111122222TTjjTTjjeesjeeT 111122222s Ts Ts Ts TTeeee1112 1Tzz1s Tzesj 11sj 12s Te图双线性变换法的映射关系211jjejTe2. 2.模拟频率模拟频率和数字频率和数字频率之间的关系之间的关系令令s=j,z=e js平面上平面上与与z平面上的平面上的 成非线性关系成非线性关系21tan2T 在零频率附近，在零频率附近，接近于线性关系；接近于线性关系； 进一步增加时，进一步增加时，增长变得缓慢，增长变得缓慢，(终止于

23、折叠终止于折叠频率处频率处) 所以双线性变换不会出现由于高频部所以双线性变换不会出现由于高频部 分超分超过折叠频率而混淆到低频部分去的现象。过折叠频率而混淆到低频部分去的现象。bktgjHeHbkjHtgj2)()()(2目前仍是使用得最普遍、最有成效的一种设计工具目前仍是使用得最普遍、最有成效的一种设计工具。原因：大多数滤波器都具有分段常数的频响特性，它们在通带内要求逼近一个衰原因：大多数滤波器都具有分段常数的频响特性，它们在通带内要求逼近一个衰减为零的常数特性，在阻带部分要求逼近一个衰减为减为零的常数特性，在阻带部分要求逼近一个衰减为的常数特性，这种特性的的常数特性，这种特性的滤波器通过双

24、线性变换后，滤波器通过双线性变换后，虽然频率发生了非线性变化，但其幅频特性仍保持分虽然频率发生了非线性变化，但其幅频特性仍保持分段常数的特性。段常数的特性。 校正方法：校正方法： 将模拟滤波器的临界频率事先加以畸变，然后通将模拟滤波器的临界频率事先加以畸变，然后通 过双线性变换后过双线性变换后正好映射到所需要的频率上。正好映射到所需要的频率上。 利用关系式：利用关系式： 将所要设计的数字滤波器临界频率点变换成对应的模拟域频率临界频率点，将所要设计的数字滤波器临界频率点变换成对应的模拟域频率临界频率点，设计模拟滤波器，再通过双线性变换，即可得到所需的数字滤波器设计模拟滤波器，再通过双线性变换，即

25、可得到所需的数字滤波器22iitgT11112112)()(11zzTHsHzHazzTsa置换过程置换过程:频响：频响：22)()(22tgTjHjHeHatgTaj1( ),aHssRC利用脉冲响应不变法转换，数字滤波器的系统函数利用脉冲响应不变法转换，数字滤波器的系统函数H1(z)为为 11( )1TH zez解：首先写出该滤波器的传输函数首先写出该滤波器的传输函数Ha(s)为为111121212112(1)( )( )12,22azsTzzHzHsa zTTTTH1(z)和和H2(z)的网络结构分别如图所示。的网络结构分别如图所示。图例图H1(z)和H2(z)的网络结构 (a)H1(z

26、); (b)H2(z) 数字滤波器数字滤波器H1(z)和和H2(z)的幅频特性的幅频特性 21tan()2TT 如果采用双线性变换法，边界频率的转换关系为如果采用双线性变换法，边界频率的转换关系为6. 6.利用模拟滤波器设计利用模拟滤波器设计IIRIIR数字低通滤波器的步骤数字低通滤波器的步骤(1)确定数字低通滤波器的技术指标：通带截止频率确定数字低通滤波器的技术指标：通带截止频率p、通带衰减通带衰减p、阻带截止频率、阻带截止频率s、阻带衰减、阻带衰减s。(2)将数字低通滤波器的技术指标转换成模拟低通滤波器的将数字低通滤波器的技术指标转换成模拟低通滤波器的技术指标。技术指标。(3)按照模拟低通

27、滤波器的技术指标设计模拟低通滤波器。按照模拟低通滤波器的技术指标设计模拟低通滤波器。 (4)将模拟滤波器将模拟滤波器Ha(s)，从，从s平面转换到平面转换到z平面，得到数字低通平面，得到数字低通滤波器系统函数滤波器系统函数H(z)。如果采用脉冲响应不变法，边界频率的转换关系为如果采用脉冲响应不变法，边界频率的转换关系为7.T7.T的选择的选择脉冲响应不变法：脉冲响应不变法：如采用脉冲响应不变法，为避免产生频率混叠现象，要求所如采用脉冲响应不变法，为避免产生频率混叠现象，要求所设计的模拟低通滤波器带限于设计的模拟低通滤波器带限于 之间，由于实际滤波器之间，由于实际滤波器都有一定宽度过渡带，可选择

28、都有一定宽度过渡带，可选择T满足公式满足公式 。若先给定数字低通的技术指标时，由于数字滤波器传输函数以若先给定数字低通的技术指标时，由于数字滤波器传输函数以2为周期，最高频率在为周期，最高频率在=处，因此处，因此 ，按照线性，按照线性关系关系 ，那么一定满足，那么一定满足 ，这样，这样T可以任选。可以任选。T/Ts/sTss/双线性变换法：双线性变换法：不存在频率混叠现象，尤其对于设计片断常数滤波器，不存在频率混叠现象，尤其对于设计片断常数滤波器，T可可任选任选Ts/ss例设计低通数字滤波器，要求在通带内频率低于例设计低通数字滤波器，要求在通带内频率低于0.20.2radrad时，容许幅度误差

29、在时，容许幅度误差在1dB1dB以内；在频率以内；在频率0.30.3到到之间的阻之间的阻带衰减大于带衰减大于15dB15dB。指定模拟滤波器采用巴特沃斯低通滤波器。指定模拟滤波器采用巴特沃斯低通滤波器。试分别用脉冲响应不变法和双线性变换法设计滤波器试分别用脉冲响应不变法和双线性变换法设计滤波器。 解：0.10.1lglg0.31.50.21010.092101lg0.0925.884lg1.5psspspssppspkNkN 取N=6为求3dB截止频率c,将p和p代入 得到c=0.7032rad/s，显然此值满足通带技术要求，同时给阻带衰减留一定余量，这对防止频率混叠有一定好处。10.12(1

30、01)paNcp 234561( )13.86377.46419.14167.46413.8637aHppppppp为去归一化，将p=s/c代入Ha(p)中，得到实际的传输函数Ha(s), 62652433425665432( )3.86377.46419.14167.46413.86370.12092.7163.6913.1791.8250.1210.1209accccccHsssssssssssss根据阶数N=6，查表，得到归一化传输函数为用脉冲响应不变法将Ha(s)转换成H(z)。首先将Ha(s)进行部分分式，并按照式、式，或者式和式，得到：1112121120.28710.44662.

31、14281.1454( )10.12970.69491 1.06910.36991.85580.630410.99720.2570zzH zzzzzzzz图例图用脉冲响应不变法设计的数字低通滤波器的幅度特性21tan,122tan0.10.65/ ,12tan0.151.019/ ,15ppPpssTTrad sdBrad sdB lglg1.0191.5680.650.092lg0.0925.306lg1.568spspssppspkNkN 取N=6。为求c,将s和s代入式中，得到c=0.7662rad/s。这样阻带技术指标满足要求，通带指标已经超过。2220.2024( )(0.3960.

32、5871)(1.0830.5871)(1.4800.5871)aHsssssss111 61212121120.0007378(1)( )( )(1 1.2680.7051)(1 1.0100.358)110.90440.2155azszzH zHszzzzzz图例图用双线性变换法设计的数字低通滤波器的幅度特性(2) 将所需类型数字滤波器的技术指标转换成所需类型模拟滤波器的技术指标，转换公式为21tan2T 具体设计步骤如下：(1) 确定所需类型数字滤波器的技术指标。(3)将所需类型模拟滤波器技术指标转换成模拟低通滤波器技术指标(具体转换公式参考本章6.2节)。(4)设计模拟低通滤波器。(5)

33、将模拟低通通过频率变换，转换成所需类型的模拟滤波器。(6)采用双线性变换法，将所需类型的模拟滤波器转换成所需类型的数字滤波器。(2) 模拟高通的技术指标计算如下： 令T=1，则有12tan6.155/ ,3212tan1.655/ ,32pppsssrad sdBrad sdB 1,3.71spsp(3)模拟低通滤波器的技术指标计算如下：10.163/ ,36.15510.604/ ,151.655ppssrad sdBrad sdB 将p和s对3dB截止频率c归一化，这里c=p, (4)设计归一化模拟低通滤波器G(p)。模拟低通滤波器的阶数N计算如下：0.10.1lglg1010.18031

34、013.711.31,2psspspspssppkNkNN 22221( )21( )2cccG pppG sss 为去归一化，将p=s/c代入上式得到：(5) 将模拟低通转换成模拟高通。将上式中G(s)的变量换成1/s，得到模拟高通Ha(s)： 22221( )( )21caccsHsGsss 查表，得到归一化模拟低通传输函数G(p)为(6)用双线性变换法将模拟高通H (s)转换成数字高通H(z)11121( )( )azszH zHs实际上(5)、(6)两步可合并成一步，即1111211 21 21212( )( )0.106(1)0.0653(1)( )1.6241.9470.5661

35、1.1990.349zszH zG szzH zzzzz2211012tan1.453/212tan1.019/212tan2/212tan0.650/21.217/0.434/uullssssululrad srad srad srad srad sBrad s (通带中心频率) (带宽) 222022.902sss归一化通带截止频率p=1p=3dB,s=18dB0.10.11010.1271012.902lg0.1271.940,2lg2.902psspssppkNN 查表，得到归一化低通传输函数G(p),21( )21G ppp220()( )( )ulaspsHsG p 11121zs

36、z11221 221 20021211212224(1)(1)()2(1)()5.484.57.4816.3135.18806190.868(1)1zsululzszzpszzzzzzz 将上面的p等式代入G(p)中，得 2412340.021(12)( )1 1.4912.8481.681.273zzHzzzzz1122112tan0.615/ ,2tan0.685/22112tan0.615/ ,2tan0.685/22lluussssrad srad srad srad s 阻带中心频率平方为 20=lu=0.421阻带带宽为 B=u-l=0.07rad/s222204.434,13ss

37、ssdB0.10.11010.2291014.434lg0.2290.99,1lg4.434psspssppkNN 220220( )( )asBpssBpsHsG p(5) 将G(p)转换成模拟阻带滤波器Ha(s)：1121 221 202221 221 21200112122(1)4(1)(1)2(1)4(1)(1)0.969(1619)( )( )1 1.5690.939zszzBpzzsBzBpszzzzH zG pzz 1. 零极点累试法(2)在确定零极点位置时要注意：极点必须位于z平面单位圆内，保证数字滤波器因果稳 定；复数零极点必须共轭成对，保证系统函数有理式的系 数是实的。(1

38、)定义根据幅度特性先确定零极点位置，再按照确定的零极点写出系统函数，画出其幅度特性，并与希望的进行比较，如不满足要求，可通过移动零极点位置或增加（减少）零极点，进行修正。这种修正是多次的，因此称为零极点累试法。 图例图(a)零极点分布； (b)幅度特性 121211( )1Kiiiiia zbzH zAc zd zHd(e j)是希望设计的滤波器频响。如果在(0,)区间取N点数字频率i,i=1,2,:,N，在这N点频率上，比较|Hd(e j)|和|H(e j)|，写出两者的幅度平方误差E为21()()iiNjjdiEH eHe2.在频域利用幅度平方误差最小法直接设计IIR数字滤波器设IIR滤波

39、器由K个二阶网络级联而成，系统函数用H(z)表示，A是常数；ai,bi,ci,di是待求的系数,中共有(4K+1)个待定的系数，求它们的原则是使E最小1 1 112( , )TKKKKEEAa bc d aa b c d21(),()( , )iijjiddNidiH eHHHeAEAA HH下面我们研究采用式网络结构，如何求出(4K+1)系数按照式，E是(4K+1)个未知数的函数，用下式表示表示4K个系数组成的系数向量为推导公式方便，令为选择A使E最小，令121NiddefigNiiH HAAH 设k是 的第k个分量(ak或bk或ck或dk)，1 ,2(),1,2,4NgiggidikkEA

40、HAA AHkK 因为 ,式中H*i表示对Hi函数共轭。 12iiiHHH121112Re22ReiiiiiikkkikiiiiikHHHHHHHHH HHHH 将上式具体写成对ak,bk,ck,dk的偏导，得到：211112ReRe1ReRe1jjiiiiiiiiikkikiiiizeikkikiHHHHHHHaHaHzHHHaa zb z同理求得212112212Re1Re1Re1jiijiijiiiiizekkikiiiizekkikiiiizekkikiHzHba zb zHzHcc zd zHzHdc zd z 11111111112111() ()11()()11jjjjjjjjj

41、jjjez ezezezezezzeezeezzzeezz 图例图(a)要求的幅度特性；(b)k=1，2时的幅度特性例设计低通数字滤波器，其幅度特性如图所示。截止频率s=0.1rad。 ()jdHeN=29，取k=1，系统函数为121112111( )1a zb zH zAc zd zg误差函数用下式表示：1()()()iiiNpjjjPdiEW eH eHe0010( )( )MiikiNikibzH zh k za z 3. 在时域直接设计IIR数字滤波器设滤波器是因果性的，系统函数为a0=1未知系数ai和bi共有N+M+1个，取h(n)的一段，0np-1，使其充分逼近hd(n)，用此原则

42、求解M+N+1个系数。将式改写为令p=M+N+1,则00(),0()0,kjkjkjja h kjbkMa h kjMkMN令上面等式两边z的同幂次项的系数相等，可得到N+M+1个方程：上式表明h(n)是系数ai,bi的非线性函数，考虑到iM时，bi=0，一般表达式为：1201200 ( )( )( ) ()( )NdnNndnmEy nynh m x nmyn 为选择h(n)使E最小，令0,0,1,2,1( )EiNh ix(n),0nM1；yd(n)，0nN-111120001112000111000( )(1) ( )(1) ( )( ) (1)(1)() (1)( ) (1)(1) (

43、1)(1)NNNnnnNNNnnnNNNnnnxnx nx nx nx nx n x nxnx nN x nx n x nx nx nNx nN101010( ) ( )(0)(1)( ) (1)(1)( ) (1)NdnNdnNdnyn x nhhyn x nh Nyn x nN10300(0)3.2531030(1)0.85(2)0.3103103(3)0.030039hhhh列出方程：10h(0)+3h(1)=3.25 3h(0)+10h(1)+3h(2)=0.85 3h(1)+10h(2)+3h(3)=0.31 3h(2)+9h(3)=0.03 1120.33330.0330( )10

44、.18240.1126zH zzz()()()jjjH eH ee 2 2数字滤波器的技术要求数字滤波器的技术要求通常用的数字滤波器一般属于选频滤波器。通常用的数字滤波器一般属于选频滤波器。(1)数字滤波器的传输函数数字滤波器的传输函数H(e j) 其中：幅频特性幅频特性：信号通过滤波器后的各频率成分衰减情况信号通过滤波器后的各频率成分衰减情况相频特性：相频特性：各频率成分通过滤波器后在时间上的延时情况各频率成分通过滤波器后在时间上的延时情况) H(e j)(复习：数字滤波器的幅频响应函数复习：数字滤波器的幅频响应函数 滤波器的指标常常在频域给出。滤波器的指标常常在频域给出。 数字滤波器的频响

45、特性函数数字滤波器的频响特性函数H(ej)一般为复函一般为复函数，数， 所以通常表示为所以通常表示为H(ej)=|H(ej)|ej()其中，其中， |H(ej)|称为幅频特性函数，称为幅频特性函数， ()称为相频特性函数。称为相频特性函数。 常用的典型滤波器常用的典型滤波器|H(ej)|是归一化的，是归一化的， 即即|H(ej)|max=1， 对对IIR数字滤波器，数字滤波器， 通常用幅频响应函数通常用幅频响应函数|H(ej)|来描述设计指标。来描述设计指标。 注意：注意： H(ej)是以是以2为周期的，为周期的， 这是数字滤波器与模拟滤波器的最大区别。这是数字滤波器与模拟滤波器的最大区别。

46、只给出主值区只给出主值区, 区间上的设计指标描述即可。区间上的设计指标描述即可。 目前仍是使用得最普遍、最有成效的一种设计工具目前仍是使用得最普遍、最有成效的一种设计工具。原因：大多数滤波器都具有分段常数的频响特性，它们在通带内要求逼近一个衰原因：大多数滤波器都具有分段常数的频响特性，它们在通带内要求逼近一个衰减为零的常数特性，在阻带部分要求逼近一个衰减为减为零的常数特性，在阻带部分要求逼近一个衰减为的常数特性，这种特性的的常数特性，这种特性的滤波器通过双线性变换后，滤波器通过双线性变换后，虽然频率发生了非线性变化，但其幅频特性仍保持分虽然频率发生了非线性变化，但其幅频特性仍保持分段常数的特性

47、。段常数的特性。 校正方法：校正方法： 将模拟滤波器的临界频率事先加以畸变，然后通将模拟滤波器的临界频率事先加以畸变，然后通 过双线性变换后过双线性变换后正好映射到所需要的频率上。正好映射到所需要的频率上。 利用关系式：利用关系式： 将所要设计的数字滤波器临界频率点变换成对应的模拟域频率临界频率点，将所要设计的数字滤波器临界频率点变换成对应的模拟域频率临界频率点，设计模拟滤波器，再通过双线性变换，即可得到所需的数字滤波器设计模拟滤波器，再通过双线性变换，即可得到所需的数字滤波器22iitgT1( ),aHssRC利用脉冲响应不变法转换，数字滤波器的系统函数利用脉冲响应不变法转换，数字滤波器的系统函数H1(z)为为 11( )1TH zez解：首先写出该滤波器的传输函数首先写出该滤波器的传输函数Ha(s)为为图例图用双线性变换法设计的数字低通滤波器的幅度特性