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1、12.2直接证明与间接证明基础知识自主学习课时作业题型分类深度剖析内容索引基础知识基础知识自主学习自主学习1.直接证明直接证明(1)综合法定义：从 出发，以已知的定义、公理、定理为依据，逐步下推，直到推出要证明的结论为止，这种证明方法常称为综合法.知识梳理已知条件思维过程：由因导果.(2)分析法定义：从 出发，追溯导致结论成立的条件，逐步上溯，直到使结论成立的条件和已知条件或已知事实吻合为止.这种证明方法常称为分析法.思维过程：执果索因.问题的结论2.间接证明间接证明反证法：要从否定结论开始，经过正确的推理，导致逻辑矛盾，从而达到新的否定(即肯定原命题).这个过程包括下面3个步骤：(1)反设假
2、设命题的结论不成立，即假定原结论的反面为真；(2)归谬从反设和已知条件出发，经过一系列正确的逻辑推理，得出矛盾结果；(3)存真由矛盾结果，断定反设不真，从而肯定原结论成立.思考辨析思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)综合法是直接证明，分析法是间接证明.()(2)分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充要条件.()(3)用反证法证明结论“ab”时，应假设“ab”.()(4)反证法是指将结论和条件同时否定，推出矛盾.()(5)在解决问题时，常常用分析法寻找解题的思路与方法，再用综合法展现解决问题的过程.()考点自测1.(2016扬州质检)已知点An(n，an)为函
3、数y 图象上的点，Bn(n，bn)为函数yx图象上的点，其中nN*，设cnanbn，则cn与cn1的大小关系为_.答案解析cn1cn由条件得则cn随n的增大而减小，cn10，sin(x1x2)0,1cos(x1x2)0，故只需证明1cos(x1x2)2cos x1cos x2，即证1cos x1cos x2sin x1sin x22cos x1cos x2，即证cos(x1x2)b(am)，只需证ambm，只需证ab，由已知得ab成立，题型三反证法的应用题型三反证法的应用命题点命题点1证明否定性命题证明否定性命题例例3(2016连云港模拟)设an是公比为q的等比数列.(1)推导an的前n项和公
4、式；解答设an的前n项和为Sn，当q1时，Sna1a1a1na1；当q1时，Sna1a1qa1q2a1qn1，qSna1qa1q2a1qn，得，(1q)Sna1a1qn，(2)设q1，证明：数列an1不是等比数列.证明假设an1是等比数列，则对任意的kN*，(ak11)2(ak1)(ak21)，a10，2qkqk1qk1.q0，q22q10，q1，这与已知矛盾.假设不成立，故an1不是等比数列.命题点命题点2证明存在性问题证明存在性问题例例4已知四棱锥SABCD中，底面是边长为1的正方形，又SBSD ，SA1.(1)求证：SA平面ABCD；证明由已知得SA2AD2SD2，SAAD.同理SAAB
5、.又ABADA，AB平面ABCD，AD平面ABCD，SA平面ABCD.(2)在棱SC上是否存在异于S，C的点F，使得BF平面SAD？若存在，确定F点的位置；若不存在，请说明理由.解答假设在棱SC上存在异于S，C的点F，使得BF平面SAD.BCAD，BC 平面SAD.BC平面SAD.而BCBFB，平面FBC平面SAD.这与平面SBC和平面SAD有公共点S矛盾，假设不成立.不存在这样的点F，使得BF平面SAD.命题点命题点3证明唯一性命题证明唯一性命题例例5已知a0，证明关于x的方程axb有且只有一个根.证明假设x1，x2是它的两个不同的根，即ax1b，ax2b，由得a(x1x2)0，因为x1x2
6、，所以x1x20，所以a0，这与已知矛盾，故假设错误.所以当a0时，方程axb有且只有一个根.应用反证法证明数学命题，一般有以下几个步骤第一步：分清命题“pq”的条件和结论；第二步：作出与命题结论q相反的假设綈q；第三步：由p和綈q出发，应用正确的推理方法，推出矛盾结果；第四步：断定产生矛盾结果的原因在于开始所作的假设綈q不真，于是原结论q成立，从而间接地证明了命题pq为真.所说的矛盾结果，通常是指推出的结果与已知公理、已知定义、已知定理或已知事实矛盾，与临时假设矛盾以及自相矛盾等都是矛盾结果.思维升华跟踪训练跟踪训练3 已知二次函数f(x)ax2bxc(a0)的图象与x轴有两个不同的交点，若
7、f(c)0，且0 x0.证明f(x)的图象与x轴有两个不同的交点，f(x)0有两个不等实根x1，x2，f(c)0，x1c是f(x)0的根，(2)试用反证法证明 c.证明典例典例(14分)直线ykxm(m0)与椭圆W： y21相交于A、C两点，O是坐标原点(1)当点B的坐标为(0,1)，且四边形OABC为菱形时，求AC的长；(2)当点B在W上且不是W的顶点时，证明：四边形OABC不可能为菱形 反证法在证明题中的应用思想与方法思想与方法系列系列22思想方法指导规范解答在证明否定性问题，存在性问题，唯一性问题时常考虑用反证法证明，应用反证法需注意：(1)掌握反证法的证明思路及证题步骤，正确作出假设是
8、反证法的基础，应用假设是反证法的基本手段，得到矛盾是反证法的目的(2)当证明的结论和条件联系不明显、直接证明不清晰或正面证明分类较多、而反面情况只有一种或较少时，常采用反证法(3)利用反证法证明时，一定要回到结论上去 返回(1)解解因为四边形OABC为菱形，则AC与OB相互垂直平分由于O(0,0)，B(0,1)，(2)证明证明假设四边形OABC为菱形，因为点B不是W的顶点，且ACOB，所以k0.消y并整理得(14k2)x28kmx4m240.7分设A(x1，y1)，C(x2，y2)，则因为M为AC和OB的交点，且m0，k0，所以OABC不是菱形，与假设矛盾所以当点B不是W的顶点时，四边形OAB
9、C不可能是菱形 14分 返回课时作业课时作业1.(2017泰州月考)用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x2axb0至少有一个实根”时，要做的假设是_答案解析因为“方程x2axb0至少有一个实根”等价于“方程x2axb0有一个实根或两个实根”，所以该命题的否定是“方程x2axb0没有实根”方程x2axb0没有实根123456789101112132.若一元二次不等式2kx2kx 0对一切实数x都成立，则k的取值范围为_.(3,012345678910111213答案解析解得3k0.答案解析都大于2 至少有一个大于2至少有一个不小于2 至少有一个不大于2当且仅当xyz时等号成立所以三个数中至
10、少有一个不小于2，正确12345678910111213答案解析P2Q2，PQ.P0，ab0，b0，a0，b0，则实数p的取值范围是_.若二次函数f(x)0在区间1,1内恒成立，12345678910111213证明12345678910111213因为m0，所以1m0.所以要证原不等式成立，只需证(amb)2(1m)(a2mb2)，即证m(a22abb2)0，即证(ab)20，而(ab)20显然成立，故原不等式得证.10.设f(x)ax2bxc(a0)，若函数f(x1)与f(x)的图象关于y轴对称，求证：f(x )为偶函数.证明由函数f(x1)与f(x)的图象关于y轴对称，可知f(x1)f(
11、x).1234567891011121311.(2016苏州模拟)已知函数f(x)ax (a1).(1)证明：函数f(x)在(1，)上为增函数；证明12345678910111213任取x1，x2(1，)，不妨设x10.a1， 且 0，又x110，x210，211xxa21121(1)0.xxxxxaaaa1xa12345678910111213故函数f(x)在(1，)上为增函数.21xxaa12345678910111213(2)用反证法证明方程f(x)0没有负数根.证明假设存在x01，0 1，故方程f(x)0没有负数根.0 xa0 xa12345678910111213证明12345678910111213(1)f(x)1xx2；所以f(x)1xx2.证明由0 x1得x3x，12345678910111213*13. (2015课标全国)设a，b，c，d均为正数，且abcd，证明：证明12345678910111213证明12345678910111213若|ab|cd|，则(ab)2(cd)2， 即(ab)24ab(cd)24cd.因为abcd，所以abcd.因为abcd，所以abcd，于是(ab)2(ab)24ab(cd)24cd(cd)2.因此|ab|cd|.12345678910111213
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