【四川】高考数学 理二轮复习：专题7第3讲概率、随机变量及其分布列考点精讲精练及答案

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1、 第三讲概率、随机变量及其分布列1 古典概型和几何概型(1)古典概型的概率：P(A).(2)几何概型的概率：P(A).2 互斥事件与对立事件的关系(1)对立是互斥，互斥未必对立；(2)如果事件A，B互斥，那么事件AB发生(即A，B中有一个发生)的概率，等于事件A，B分别发生的概率的和，即P(AB)P(A)P(B)这个公式称为互斥事件的概率加法公式(3)在一次试验中，对立事件A和不会同时发生，但一定有一个发生，因此有P()1P(A)3 条件概率在A发生的条件下B发生的概率：P(B|A).4 相互独立事件同时发生的概率P(AB)P(A)P(B)5 独立重复试验如果事件A在一次试验中发生的概率是p，

2、那么它在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率为Pn(k)Cpk(1p)nk，k0,1,2，n.6离散型随机变量的分布列(1)设离散型随机变量可能取的值为x1，x2，xi，取每一个值xi的概率为P(xi)pi，则称下表：x1x2x3xiPp1p2p3pi为离散型随机变量的分布列(2)离散型随机变量的分布列具有两个性质：pi0，p1p2pi1(i1,2,3，)7 常见的离散型随机变量的分布(1)两点分布分布列为(其中0p1)01P1pp(2)二项分布在n次独立重复试验中，事件A发生的次数是一个随机变量，其所有可能取的值为0,1,2,3，n，并且P(k)Cpkqnk(其中k0,1,2，n，q1p)显

3、然P(k)0(k0,1,2，n)，Cpkqnk1.称这样的随机变量服从参数n和p的二项分布，记为B(n，p)8 离散型随机变量的期望若离散型随机变量的分布列为x1x2xnPp1p2pn1 (20xx四川)节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是()A. B. C. D.答案C解析设在通电后的4秒钟内，甲串彩灯、乙串彩灯第一次亮的时刻为x、y，x、y相互独立，由题意可知，如图所示两串彩灯第一次亮的时间相差不超过2秒的概率为P(

4、|xy|2).2 (20xx广东)从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个，其个位数为0的概率是()A. B. C. D.答案D解析个位数与十位数之和为奇数，则个位数与十位数中必有一个奇数一个偶数，所以可以分两类(1)当个位为奇数时，有5420(个)符合条件的两位数(2)当个位为偶数时，有5525(个)符合条件的两位数因此共有202545(个)符合条件的两位数，其中个位数为0的两位数有5个，所以所求概率为P.3 (20xx广东)已知离散型随机变量X的分布列为X123P则X的数学期望E(X)等于()A. B2 C. D3答案A解析E(X)123.4 (20xx课标全国)从n个正整数1,2，n

5、中任意取出两个不同的数，若取出的两数之和等于5的概率为，则n_.答案8解析由题意知，取出的两个数只可能是1与4,2与3这两种情况，在n个数中任意取出两个不同的数的总情况应该是C228，n8.5 (20xx江苏)现有某类病毒记作XmYn，其中正整数m，n(m7，n9)可以任意选取，则m，n都取到奇数的概率为_答案解析P.题型一古典概型与几何概型例1(1)(20xx上海)盒子中装有编号为1,2,3,4,5,6,7,8,9的九个球，从中任意取出两个，则这两个球的编号之积为偶数的概率是_(结果用最简分数表示)(2)在区间0,2上任取两个实数a，b，则函数f(x)x3axb在区间1,1上有且仅有一个零点

6、的概率是()A. B. C. D.审题破题(1)古典概型，可关注所取球编号的奇偶；(2)几何概型，可先用定积分求出阴影部分面积答案(1)(2)D解析(1)9个数5个奇数，4个偶数，根据题意所求概率为1.(2)因为f(x)3x2a，由于a0，故f(x)0恒成立，故函数f(x)在1,1上单调递增，故函数f(x)在区间1,1上有且只有一个零点的充要条件是即设点(a，b)，则基本事件所在的区域是画出平面区域，如图所示，根据几何概型的意义，所求的概率是以图中阴影部分的面积和以2为边长的正方形的面积的比值，这个比值是.故选D.反思归纳(1)有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的

7、基本事件总数，这常常用到排列、组合的有关知识；对于较复杂的题目要注意正确分类，分类时应不重不漏；(2)当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积、弧长、夹角等时，应考虑使用几何概型求解；利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域变式训练1(1)(20xx辽宁)在长为12 cm的线段AB上任取一点C.现作一矩形，邻边长分别等于线段AC，CB的长，则该矩形面积小于32 cm2的概率为()A. B. C. D.答案C解析设ACx，CB12x，所以x(12x)8或x4又因为0x2)0.5；X1对应第一个顾客办理业务所需的时间为

8、1分钟且第二个顾客办理业务所需的时间超过1分钟，或第一个顾客办理业务所需的时间为2分钟所以P(X1)P(Y1)P(Y1)P(Y2)0.10.90.40.49；X2对应两个顾客办理业务所需的时间均为1分钟，所以P(X2)P(Y1)P(Y1)0.10.10.01.所以X的分布列为X012P0.50.490.01E(X)00.510.4920.010.51.反思归纳(1)求离散型随机变量的分布列的关键是正确理解随机变量取每一个值所表示的具体事件，然后综合应用各类求概率的公式求出概率(2)求随机变量的期望的关键是正确求出随机变量的分布列，若随机变量服从二项分布，则可直接使用公式求解变式训练3(20xx

9、天津)一个盒子里装有7张卡片，其中有红色卡片4张，编号分别为1,2,3,4；白色卡片3张，编号分别为2,3,4.从盒子中任取4张卡片(假设取到任何一张卡片的可能性相同)(1)求取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率；(2)在取出的4张卡片中，红色卡片编号的最大值设为X，求随机变量X的分布列和数学期望解(1)设“取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片”为事件A，则P(A).所以，取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率为.(2)随机变量X的所有可能取值为1,2,3,4.P(X1)，P(X2)，P(X3)，P(X4).所以随机变量X的分布列是X1234P随机变量X的数学期望E(X)1234.典

10、例(12分)某居民小区有两个相互独立的安全防范系统(简称系统)A和B，系统A和系统B在任意时刻发生故障的概率分别为和p.(1)若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为，求p的值；(2)设系统A在3次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量，求的概率分布列及数学期望E()规范解答解(1)设“至少有一个系统不发生故障”为事件C，那么1P()1p，解得p.4分(2)由题意，P(0)C3，P(1)C2，P(2)C2，P(3)C3.8分所以，随机变量的分布列为0123P故随机变量的数学期望：E()0123.12分评分细则(1)标记事件给1分，列出式子给1分；(2)四个值，每个概率给1分；(3)只写

11、出分布列没有四个概率式子的只给2分阅卷老师提醒(1)对于事件分类较多的，可利用对立事件求解；(2)求分布列时，一定要根据概率公式写出各个概率，而不能只写分布列；(3)E()也可以根据二项分布求解1 盒子中装有形状、大小完全相同的3个红球和2个白球，从中随机取出一个记下颜色后放回，当红球取到2次时停止取球那么取球次数恰为3次的概率是()A. B. C. D.答案B解析从5个球中随机取出一个球放回，连续取3次的所有取法有555125种，有两次取红球的所有取法有3AA36种所以概率为.2 (20xx陕西)如图，在矩形区域ABCD的A，C两点处各有一个通信基站，假设其信号的覆盖范围分别是扇形区域ADE

12、和扇形区域CBF(该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正常)若在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无信号的概率是()A1 B.1 C2 D.答案A解析由题意得无信号的区域面积为212122，由几何概型的概率公式，得无信号的概率为P1.3 甲射击命中目标的概率是，乙命中目标的概率是，丙命中目标的概率是.现在三人同时射击目标，则目标被击中的概率为()A. B. C. D.答案A解析设甲命中目标为事件A，乙命中目标为事件B，丙命中目标为事件C，则目标被击中的事件可以表示为ABC，即击中目标表示事件A、B、C中至少有一个发生P()P()P()P()1P(A)1P(B)1P(C).故目标被击中的概率为

13、1P()1.4 一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b，不得分的概率为c(a，b，c(0,1)，已知他投篮一次得分的数学期望为1(不计其他得分的情况)，则ab的最大值为()A. B. C. D.答案B解析由已知得3a2b0c1，即3a2b1，ab3a2b22，当且仅当3a2b时取等号，即ab的最大值为.5 将一枚均匀的硬币抛掷6次，则正面出现的次数比反面出现的次数多的概率为_答案解析正面出现的次数比反面出现的次数多，则正面可以出现4次，5次或6次，所求概率PC6C6C6.6 某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮

14、假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率为_答案0.128解析由题设，分两类情况：第1个正确，第2个错误，第3、4个正确，由乘法公式得P10.80.20.80.80.102 4；第1、2个错误，第3、4个正确，此时概率P20.20.20.80.80.025 6.由互斥事件概率公式得PP1P20.102 40.025 60.128.专题限时规范训练一、选择题1 甲从正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，乙也从该正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，则所得的两条直线相互垂直的概率是()A. B. C. D.答案C

15、解析甲从正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，乙也从该正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，所得的直线共有18(对)，而相互垂直的有5对，故根据古典概型概率公式，得P.2 从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A“取到的2个数之和为偶数”，事件B“取到的2个数均为偶数”，则P(B|A)等于()A. B. C. D.答案B解析P(A)，P(AB)，P(B|A).3 有一底面半径为1，高为2的圆柱，点O为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为()A. B. C. D.答案B解析设点P到点O的距离小于等于1的概率为P1，由几何概型，则P1，故点

16、P到点O的距离大于1的概率P1.4 一个电路如图所示，A、B、C、D、E、F为6个开关，其闭合的概率都是，且是相互独立的，则灯亮的概率是()A. B.C. D.答案B解析设A与B中至少有一个不闭合的事件为T，E与F至少有一个不闭合的事件为R，则P(T)P(R)1，所以灯亮的概率P1P(T)P(R)P()P().5 如图，用K、A1、A2三类不同的元件连接成一个系统当K正常工作且A1、A2至少有一个正常工作时，系统正常工作已知K、A1、A2正常工作的概率依次为0.9、0.8、0.8，则系统正常工作的概率为()A0.960 B0.864 C0.720 D0.576答案B解析方法一由题意知K，A1，

17、A2正常工作的概率分别为P(K)0.9，P(A1)0.8，P(A2)0.8，K，A1，A2相互独立，A1，A2至少有一个正常工作的概率为P(A2)P(A12)P(A1A2)(10.8)0.80.8(10.8)0.80.80.96.系统正常工作的概率为P(K)P(A2)P(A12)P(A1A2)0.90.960.864.方法二A1，A2至少有一个正常工作的概率为1P(1 2)1(10.8)(10.8)0.96，系统正常工作的概率为P(K)1P(1 2)0.90.960.864.6 某人射击一次击中的概率为，经过3次射击，此人至少有两次击中目标的概率为()A. B. C. D.答案A解析该人3次射

18、击，恰有两次击中目标的概率是P1C2，三次全部击中目标的概率是P2C3，所以此人至少有两次击中目标的概率是PP1P2C2C3.7 (20xx湖北)如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体，经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的油漆面数为X，则X的均值E(X)等于()A. B.C. D.答案B解析125个小正方体中8个三面涂漆，36个两面涂漆，54个一面涂漆，27个没有涂漆，从中随机取一个正方体，涂漆面数X的均值E(X)123.8 在三次独立重复试验中，事件A在每次试验中发生的概率相同，若事件A至少发生一次的概率为，则事件A恰好发生一次的概率为()A. B. C.

19、 D.答案C解析设事件A在每次试验中发生的概率为x，由题意有1C(1x)3，得x，则事件A恰好发生一次的概率为C2.二、填空题9 (20xx上海)三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛若每人都选择其中两个项目，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是_(结果用最简分数表示)答案解析三位同学每人选择三项中的两项有CCC33327(种)选法，其中有且仅有两人所选项目完全相同的有CCC33218(种)选法所求概率为P.10在日前举行的全国大学生智能汽车总决赛中，某高校学生开发的智能汽车在一个标注了平面直角坐标系的平面上从坐标原点出发，每次只能移动一个单位，沿x轴正方向移动的概率是，沿y轴正方向移动的

20、概率为，则该机器人移动6次恰好移动到点(3,3)的概率为_答案解析若该机器人移动6次恰好到点(3,3)，则机器人在移动过程中沿x轴正方向移动3次、沿y轴正方向移动3次，因此机器人移动6次后恰好位于点(3,3)的概率为PC3320.11(20xx福建)利用计算机产生01之间的均匀随机数a，则事件“3a10”发生的概率为_答案解析由3a10得a，由几何概型概率公式得p.12已知抛物线yax2bxc (a0)的对称轴在y轴的左侧，其中a，b，c3，2，1,0,1,2,3，在这些抛物线中，记随机变量X“|ab|的取值”，则X的数学期望E(X)为_答案解析依题意知0.X可能取的值为0,1,2.则P(X0

21、)，P(X1)，P(X2)，E(X)012.三、解答题13现有4个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏(1)求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率；(2)求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率解依题意，这4个人中，每个人去参加甲游戏的概率为，去参加乙游戏的概率为.设“这4个人中恰有i人去参加甲游戏”为事件Ai(i0,1,2,3,4)，则P(Ai)Ci4i.(1)这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率P(A2)C22.(2

22、)设“这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数”为事件B，则BA3A4.由于A3与A4互斥，故P(B)P(A3)P(A4)C3C4.所以，这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率为.14(20xx陕西)在一场娱乐晚会上，有5位民间歌手(1至5号)登台演唱，由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手，其中观众甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，不选2号，另在3至5号中随机选2名观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至5号中选3名歌手(1)求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率；(2)X表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，求X的分布列及数学期望解(1)设A表示事件“观众甲选中3号歌手”，B表示事件“观众乙选中3号歌手”，则P(A)，P(B).事件A与B相互独立，观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率为P(A )P(A)P()P(A)1P(B)，(或P(A )(2)设C表示事件“观众丙选中3号歌手”，则P(C)，X可能的取值为0,1,2,3，且取这些值的概率分别为P(X0)P( )，P(X1)P(A )P( B )P( C)，P(X2)P(AB )P(A C)P( BC)，P(X3)P(ABC)，X的分布列为X0123PX的数学期望E(X)0123.