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1、高考数学精品复习资料 2019.520xx艺体生文化课-百日突围系列专题10 线性规划与基本不等式利用线性规划求目标函数的最值【背一背基础知识】1. 二元一次不等式(组)表示的平面区域不等式表示区域AxByC0直线AxByC0某一侧的所有点组成的平面区域不包括边界直线AxByC0包括边界直线不等式组各个不等式所表示平面区域的公共部分2. 二元一次不等式表示的平面区域的确定：对于二元一次不等式所表示的平面区域的确定，一般来说有两种方法：（1）.是取不在直线上的点(x0，y0)作为测试点来进行判定，满足不等式的，则平面区域在测试点所在的直线的一侧，反之在直线的另一侧（2）.将“x”前系数变为正数，
2、观察“y”前面的符号如果“y”前面的符号为正且不等号方向为“”(或者)则区域在直线上方，反之在直线下方。3. 线性规划中的基本概念名称意义约束条件由变量x，y组成的不等式(组)线性约束条件由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式(组)目标函数关于x，y的函数解析式，如z2x3y等线性目标函数关于x，y的一次解析式可行解满足线性约束条件的解(x，y)可行域所有可行解组成的集合最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题4.求目标函数的最值步骤：（1）.作图画出约束条件表示的平面区域；（2）. 平移利用线性平移的方法找点使目标函数取得最
3、值；（3）.求值求出目标函数的最值.【讲一讲基本技能】1. 必备技能：.平面区域的确定。.求目标函数最值对目标函数的处理：可按照如下的步骤进行，如果目标函数为第一把目标函数整理成斜截式即这时候看z前面的符号本例中z前的符号为正那就是目标函数平移进可行域时截距最大的时候z有最大值，截距最小时z有最小值.第二令z=0画出目标函数。第三将目标函数平移进可行域找寻符合截距最大最小的最优解.2. 典型例题例1变量满足约束条件，若的最大值为2，则实数等于（ ）A B C D【答案】C【解析】【考点定位】线性规划【名师点睛】本题考查含参数的线性规划问题，首先要对目标函数进行分析，什么时候目标函数取到最大值，
4、其次要对的符号讨论，以确定可行域，解该类题目时候，往往还要将目标直线的斜率和可行域边界的斜率比较，否则很容易出错例2若变量满足约束条件 ，则的最小值为( )A、 B、0 C、1 D、2【答案】A【解析】【考点定位】简单的线性规划【名师点睛】求目标函数的最值的一般步骤为：一画二移三求其关键是准确作出可行域，理解目标函数的意义常见的目标函数有： (1)截距型：形如，求这类目标函数的最值常将函数转化为直线的斜截式：，通过求直线的截距的最值间接求出的最值 (2)距离型：形如. (3)斜率型：形如.注意：转化的等价性及几何意义【练一练趁热打铁】1. 若变量，满足约束条件，则的最大值为（ ）A B C D
5、【答案】C【解析】【考点定位】线性规划【名师点晴】本题主要考查的是线性规划，属于容易题线性规划类问题的解题关键是先正确画出不等式组所表示的平面区域，然后确定目标函数的几何意义，通过数形结合确定目标函数何时取得最值解题时要看清楚是求“最大值”还是求“最小值”，否则很容易出现错误；画不等式组所表示的平面区域时要通过特殊点验证，防止出现错误 2. 已知x，y满足约束条件，则的最大值是（ ）（A）-1 （B）-2 （C）-5 （D）1【答案】A【解析】根据题意作出约束条件确定的可行域，如下图：令，可知在图中处，取到最大值-1,故选A.【考点定位】本题主要考查了简单的线性规划.【名师点睛】在解决简单的线
6、性规划问题时，考生作图和确定可行区域一定要细心，本题考查了考生的数形结合能力和基本运算能力. 基本不等式【背一背基础知识】1. 基本不等式基本不等式成立的条件：a0，b0.等号成立的条件：当且仅当ab时取等号2. 几个重要的不等式.a2b22ab(a，bR)；2(a，b同号).ab2(a，bR)；2(a，bR)3. 算术平均数与几何平均数设a0，b0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数4. 利用基本不等式求最值问题已知x0，y0，则：(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当xy时，xy有最小值是2.(简记：积定和最小).(2)如果
7、和xy是定值p，那么当且仅当xy时，xy有最大值是. (简记：和定积最大)【讲一讲基本技能】必备技能：1.在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正各项均为正；二定积或和为定值；三相等等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误2对于公式ab2，ab2，要弄清它们的作用和使用条件及内在联系，两个公式也体现了ab和ab的转化关系3运用公式解题时，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用，例如a2b22ab逆用就是ab；(a，b0)逆用就是ab2(a，b0)等还要注意“添、拆项”技巧和公式等号成立的条件等典型例题例1. 若实数满足，则的最小值为( )A、 B、2 C、2 D、
8、4【答案】C【解析】【考点定位】基本不等式【名师点睛】基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，因此可以用在一些不等式的证明中，还可以用于求代数式的最值或取值范围如果条件等式中，同时含有两个变量的和与积的形式，就可以直接利用基本不等式对两个正数的和与积进行转化，然后通过解不等式进行求解例2若直线过点，则的最小值等于（ ）A2 B3 C4 D5【答案】C【解析】【考点定位】基本不等式【名师点睛】本题以直线方程为背景考查基本不等式，利用直线过点寻求变量关系，进而利用基本不等式求最小值，要注意使用基本不等式求最值的三个条件“正，等，定”，属于中档题例3.若正数满足，
9、则的最小值是（ ）A B C D【答案】C【解析】【练一练趁热打铁】1. 设函数 则（ ）A有最大值 B有最小值 C是增函数 D是减函数【答案】A【解析】,所以函数有最大值.2.若，则的最小值为 【答案】4【解析】所以最小值为43.已知a0，b0，且a2b1.则的最小值为_【答案】【解析】所以最小值为.（一） 选择题（12*5=60分）1. 已知点(3，1)和点(4，6)在直线3x2ya0的两侧，则a的取值范围为()A(24,7)B(7,24)C(，7)(24，) D(，24)(7，)【答案】B【解析】根据题意知(92a)(1212a)0.即(a7)(a24)0，解得7a24.2.设变量满足约
10、束条件：，则的最小值为( )A B C D【答案】C【解析】 3.若实数满足则的最小值是（ ） A18 B6 C2 D2【答案】B【解析】试题分析：4.若变量满足约束条件，则的最大值是( )A、12 B、26 C、28 D、33【答案】C【解析】 5. 若满足约束条件：，则目标函数的取值范围是( )A B C D 【答案】A【解析】如图，作出可行域，直线，将直线平移至点（2，0）处有最大值：，将直线平移至点处有最小值：6. 若变量， 满足约束条件，则的最小值为（ ）A.-7 B.-1 C.1 D.2【答案】A.【解析】【考点定位】线性规划. 【名师点睛】本题主要考查了利用线性规划求线性目标函数
11、的最值，属于容易题，在画可行域时，首先必须找准可行域的范围，其次要注意目标函数对应的直线斜率的大小，从而确定目标函数取到最优解时所经过的点，切忌随手一画导致错解.7. 若满足约束条件：；则的最小值是（ ） 【答案】A【解析】求的取值范围，则求出的最大值和最小值即可。作图，可知约束条件对应边际及内的区域：。当时，取得最小值。 的最小值是。故选.8已知，函数的最大值是 （ ） A. B.4 C.-4 D.-【答案】C【解析】 9 函数的最小值是（ ） A B C D【答案】A【解析】 ，当且仅当，即时，取等号10.若直线上存在点(x，y)满足约束条件则实数m的最大值为( )A1 B1 C. D2【
12、答案】B【解析】 11.已知,满足约束条件,若的最小值为,则（）ABCD【答案】B【解析】画出可行域，设z=2x+y，将最大值转化为y轴上的截距，当直线z=2x+y经过点B时，z最小，由 得：，代入直线y=a（x3）得，a=。故选B12已知O是坐标原点，点A(1,1)若点M(x，y)为平面区域上的一个动点，则的取值范围是 ()A1,0 B 0,1 C0,2 D1,2【答案】C【解析】（二）填空题（4*5=20分）13. 不等式的解集为_.【答案】【解析】由题意得：，解集为【考点定位】解指数不等式与一元二次不等式【名师点晴】指数不等式按指数与1的大小判断其单调性，决定其不等号是否变号；对于一元二
13、次方程的解集，先研究，按照，三种情况分别处理，具体可结合二次函数图像直观写出解集.14. 若满足约束条件，则的最大值为 .【答案】3【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，由斜率的意义知，是可行域内一点与原点连线的斜率，由图可知，点A（1,3）与原点连线的斜率最大，故的最大值为3.【考点定位】线性规划解法【名师点睛】对线性规划问题，先作出可行域，在作出目标函数，利用z的几何意义，结合可行域即可找出取最值的点，通过解方程组即可求出做最优解，代入目标函数，求出最值，要熟悉相关公式，确定目标函数的意义是解决最优化问题的关键，目标函数常有距离型、直线型和斜率型.15. 已知 则当a的值为 时取得最大值.
14、【答案】4【解析】【考点定位】本题主要考查对数运算法则及基本不等式应用.【名师点睛】在利用基本不等式求最值时,一定要紧扣“一正、二定、三相等”这三个条件,注意创造“定”这个条件时常要对所给式子进行拆分、组合、添加系数等处理,使之可用基本不等式来解决,若多次使用基本不等式,必须保持每次取等的一致性.16. 若满足约束条件则的最大值为 .【答案】【解析】画出可行域及直线，平移直线，当其经过点时，直线的纵截距最大，所以最大为.【考点定位】简单线性规划.【名师点睛】本题考查了简单线性规划的应用，解答本题的关键，是掌握方法，准确画图，细心计算.本题属于基础题，是简单线性规划问题中最为简单的一种求最值问题，在考查相关基础知识的同时，较好地考查了考生的作图能力及运算能力.
高考数学艺体生百日突围专题10线性规划与基本不等式基础篇含答案
