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1、 北京市西城区高三二模试卷 数 学（文科） 20xx.5第卷（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1已知复数满足，则（ ）（A）（B）（C）（D）2给定函数：；，其中奇函数是（ ）（A） （B） （C） （D） 3执行如图所示的程序框图，若输入如下四个函数：； ； 则输出函数的序号为（ ）（A） （B）（C） （D）4设，是不同的直线，是不同的平面，且. 则“”是“且”的（ ）（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充要条件（D）既不充分又不必要条件5已知双曲线的一个焦点是，则其渐近线的方程为（ ）（A）（B
2、）（C）（D）6右图是，两组各名同学体重（单位：）数据的茎叶图设，两组数据的平均数依次为和，标准差依次为和，那么（ ）（注：标准差，其中为的平均数）（A），（B），（C），（D），7某大楼共有层，有人在第层上了电梯，他们分别要去第至第层，每层人因特殊原因，电梯只允许停次，只可使人如愿到达，其余人都要步行到达所去的楼层假设乘客每向下步行层的“不满意度”增量为，每向上步行层的“不满意度”增量为，人的“不满意度”之和记为则最小时，电梯所停的楼层是（ ）（A）层（B）层（C）层（D）层8已知集合，其中，集合，则集合中的元素至多有（ ）（A）个（B）个（C）个（D）个第卷（非选择题 共110分）二、填空
3、题共6小题，每小题5分，共30分.9在中，则_ 10设变量，满足 则的最小值是_11已知向量，其中随机选自集合，随机选自集合，那么的概率是_ 12已知函数是上的偶函数，则实数_；不等式的解集为_ 13一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为的两个全等的等腰直角三角形，该几何体的体积是_；若该几何体的所有顶点在同一球面上，则球的表面积是_14已知曲线的方程是，给出下列三个结论： 曲线C与两坐标轴有公共点； 曲线既是中心对称图形，又是轴对称图形； 若点P，在曲线C上，则的最大值是.其中，所有正确结论的序号是_三、解答题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 1
4、5（本小题满分13分）在等差数列中，（）求数列的通项公式；（）设数列是首项为，公比为的等比数列，求的前项和16（本小题满分13分）已知函数的部分图象如图所示，其中，（）求与的值； （）若，求的值17（本小题满分13分）如图，四棱锥中，（）求证：；（）线段上是否存在点，使/ 平面？若存在，求出；若不存在，说明理由 18（本小题满分13分）已知函数，其中（）当时，求曲线在原点处的切线方程；（）求的单调区间19（本小题满分14分）已知椭圆的离心率为，且经过点（）求椭圆的方程；（）过点的直线交椭圆于，两点，求（为原点）面积的最大值20（本小题满分14分）若正整数，则称为的一个“分解积”（）当分别等于时
5、，写出的一个分解积，使其值最大；（）当正整数的分解积最大时，证明：中的个数不超过；（）对任意给定的正整数，求出，使得的分解积最大北京市西城区高三二模试卷 数学（文科）参考答案及评分标准 20xx.5一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1A； 2C； 3D； 4A； 5D； 6B； 7C； 8C 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9； 10； 11； 12，； 13，； 14 注：12、13题第一问2分，第二问3分;14题少选、错选均不给分.三、解答题：本大题共6小题，共80分.15（本小题满分13分）（）解：设等差数列的公差是 依题意 ，从而 2分 所以 ，解得
6、 4分所以数列的通项公式为 6分（）解：由数列是首项为，公比为的等比数列， 得 ，即， 所以 8分 所以 10分 从而当时，； 11分 当时， 13分16（本小题满分13分） （）解： 2分 设的最小正周期为由图可得 ，所以 ， 4分 由 ，得 ，因为 ，所以 6分（）解： 8分 由 ，得 ， 9分 所以 11分 所以 13分17（本小题满分13分）（）证明：取中点，连结，因为 ，所以 2分因为 ，所以 ，又因为 ，所以四边形为矩形， 所以 4分 因为 ，所以 平面 5分所以 6分 （）解：点满足，即为中点时，有/ 平面7分证明如下：取中点，连接， 8分因为为中点，所以， 因为，所以，所以四边
7、形是平行四边形，所以 11分因为 平面，平面， 12分所以 / 平面 13分 18（本小题满分13分）（）解：当时， 2分由 ， 得曲线在原点处的切线方程是4分 （）解： 6分 当时，所以在单调递增，在单调递减 7分当， 当时，令，得，与的情况如下：故的单调减区间是，；单调增区间是10分 当时，与的情况如下： 所以的单调增区间是；单调减区间是， 13分综上，时，在，单调递减；在单调递增. 时，在单调递增，在单调递减；时，在，单调递增；在单调递减19（本小题满分14分）（）解： 由 ， 得 2分 由椭圆经过点，得 3分联立 ，解得 ， 4分 所以椭圆的方程是 5分 （）解：易知直线的斜率存在，设
8、其方程为将直线的方程与椭圆的方程联立，消去得 7分令，得设，则， 9分 所以 10分因为 ，设 ，则 13分当且仅当，即时等号成立，此时面积取得最大值 14分20（本小题满分14分）（）解：，分解积的最大值为； 1分，分解积的最大值为； 2分，分解积的最大值为 3分（）证明：由（）可知，中可以有个 4分 当有个或个以上的时， 因为，且， 所以，此时分解积不是最大的 因此，中至多有个 7分（）解： 当中有时， 因为，且， 所以，此时分解积不是最大，可以将加到其他加数中，使得分解积变大 8分 由（）可知，中至多有个 当中有时， 若将分解为，由 可知分解积不会最大； 若将分解为，则分解积相同； 若有两个，因为，且，所以将改写为，使得分解积更大 因此，中至多有个，而且可以写成 10分 当中有大于的数时，不妨设， 因为， 所以将分解为会使得分解积更大 11分 综上所述，中只能出现或或，且不能超过个，不能超过个 于是，当时，使得分解积最大； 12分 当时，使得分解积最大； 13分 当时，使得分解积最大 14分
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