电动力学知识点归纳及典型试题分析

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1、电动力学知识点归纳及典型试题分析一、试题结构总共四个大题：1 .单选题（10 2）:主要考察基本概念、基本原理和基本公式， 及对它们的理解。2 .填空题（10 2）:主要考察基本概念和基本公式。3. 简答题（5 3）：主要考察对基本理论的掌握和基本公式物理意 义的理解。4. 证明题 （8 7）和计算题（9 8 6 7）：考察能进行简单 的计算和对基本常用的方程和原理进行证明。例如：证明泊松方程、 电磁场的边界条件、亥姆霍兹方程、长度收缩公式等等；计算磁感强 度、电场强度、能流密度、能量密度、波的穿透深度、波导的截止频 率、空间一点的电势、矢势、以及相对论方面的内容等等。二、知识点归纳知识点1

2、:一般情况下，电磁场的基本方程为:tJ;（此为麦克斯?D ?B 0.韦方程组）；在没有电荷和电流分布（0, J 0的情形）的自由空间（或均匀t介质）的电磁场方程为:H卫；（齐次的麦克斯韦方程组） t?D 0;?B 0.知识点2:位移电流及与传导电流的区别。 答：我们知道恒定电流是闭合的：J 0恒定电流在交变情况下，电流分布由电荷守恒定律制约，它一般不再闭合。一般说来，在 非恒定情况下，由电荷守恒定律有J0.t现在我们考虑电流激发磁场的规律： B 0J. 取两边散度，由于B 0，因此上式只有当J 0时才能成立。在非恒定情形下，一般有J 0,因而式与电荷守恒定律发生矛盾。由于电荷守恒定律是精确的普

3、遍规律，故应修改 式使服从普遍的电荷守恒定律的要求。把式推广的一个方案是假设存在一个称为位移电流的物理量Jd，它和电流J合起来构成闭合的量j Jd 0, *并假设位移电流Jd与电流j 一样产生磁效应，即把 修改为 B 0 J Jd。此式两边的散度都等于零，因 而理论上就不再有矛盾。由电荷守恒定律得:J0.电荷密度与电场散度有关系式tE 一两式合起来E070.与*式比较可得Jd的一个可能表示式J D 0.t位移电流与传导电流有何区别：位移电流本质上并不是电荷的流动，而是电场的变化。它说明，与磁场的变 化会感应产生电场一样，电场的变化也必会感应产生磁场。 而传导电流实际上是 电荷的流动而产生的。知

4、识点3:电荷守恒定律的积分式和微分式，及恒定电流的连续性方程。答：电荷守恒定律的积分式和微分式分别为:VtdV恒定电流的连续性方程为：？j o知识点4:在有介质存在的电磁场中，极化强度矢量 p和磁化强度矢量M各的 定义方法；P与p ； M与j ； E、D与p以及B、H与M的关系。答：极化强度矢量p：由于存在两类电介质：一类介质分子的正电中心和负 电中心不重和，没有电偶极矩。另一类介质分子的正负电中心不重和， 有分子电 偶极矩，但是由于分子热运动的无规性，在物理小体积内的平均电偶极矩为零， 因而也没有宏观电偶极矩分布。在外场的作用下，前一类分子的正负电中心被拉 开，后一类介质的分子电偶极矩平均有

5、一定取向性， 因此都出现宏观电偶极矩分 布。而宏观电偶极矩分布用电极化强度矢量 P描述，它等于物理小体积 V内的总电偶极矩与V之比p .Pi为第i个分子的电偶极矩求和符号表示对V内所有分子求和。磁化强度矢量M :介质分子内的电子运动构成微观分子电流， 由于分子电流取向的无规性，没有外 场时一般不出现宏观电流分布。在外场作用下，分子电流出现有规则取向，形成 宏观磁化电流密度Jm。分子电流可以用磁偶极矩描述。把分子电流看作载有电流i的小线圈，线圈面积为a，则与分子电流相应的磁矩为: m ia.介质磁化后，出现宏观磁偶极矩分布，用磁化强度M表示，它定义为物理小体积V内的总磁偶极矩与 V之比，mi M

6、 - V?P, jMM ,D oE P,H知识点5:导体表面的边界条件答：理想导体表面的边界条件为:0, n?D.n?B 0.它们可以形象地表述为：在导体表面上，电场线与界面正交，磁感应线与界面相切 知识点6:在球坐标系中，若电势 不依赖于方位角，这种情形下拉氏方程的 通解。答：拉氏方程在球坐标中的一般解为：R, ,anmRnbnmmn1 Pn cOS RcosmCnmRndnmmRn 1 ncos sinmn,mn,m式中 a nm,bnm , cnm和 d nm为任意的常数，在具体的问题中由边界条件定出。Pnm cos为缔合勒让德函数。若该问题中具有对称轴，取此轴为极轴，则电势不依赖于方位

7、角，这球形下通解为：=anRn -b陽Pn cos ,Pn cos为勒让德函数，an和bn是任意常数，由nR边界条件确定。知识点7:研究磁场时引入矢势 A的根据；矢势A的意义。答：引入矢势A的根据是：磁场的无源性。矢势 A的意义为：它沿任一闭 合回路的环量代表通过以该回路为界的任一曲面的磁通量。只有 A的环量才有 物理意义，而每点上的A （x）值没有直接的物理意义。知识点8:平面时谐电磁波的定义及其性质；一般坐标系下平面电磁波的表达式。 答：平面时谐电磁波是交变电磁场存在的一种最基本的形式。它是传播方向一定的电磁波，它的波阵面是垂直于传播方向的平面， 也就是说在垂直于波的传 播方向的平面上，相

8、位等于常数。平面时谐电磁波的性质：（1）电磁波为横波，E和B都与传播方向垂直；（2）E和B同相，振幅比为v;（3 E和B互相垂直，EX B沿波矢k方向。知识点9:电磁波在导体中和在介质中传播时存在的区别；电磁波在导体中的透 射深度依赖的因素。答：区别：（1）在真空和理想绝缘介质内部没有能量的损耗，电磁波可以无 衰减地传播（在真空和理想绝缘介质内部）；（2）电磁波在导体中传播，由于导 体内有自由电子，在电磁波电场作用下，自由电子运动形成传导电流，由电流产 生的焦耳热使电磁波能量不断损耗。因此，在导体内部的电磁波是一种衰减波（在 导体中）。在传播的过程中，电磁能量转化为热量。电磁波在导体中的透射深

9、度依赖于：电导率和频率。知识点10：电磁场用矢势和标势表示的关系式答：电磁场用矢势和标势表示的关系式为:知识点11:推迟势及达朗贝尔方程。x,t答：推迟势为：4 orJ x ,tA x,trdvoJ1 2Ak2 71C t达朗贝尔方程为:1 2?A 4t c t知识点12:爱因斯坦建立狭义相对论的基本原理（或基本假设）是及其内容。答：（1）相对性原理：所有的惯性参考系都是等价的。物理规律对于所有惯 性参考系都可以表为相同的形式。 也就是不论通过力学现象，还是电磁现象，或 其他现象，都无法觉察出所处参考系的任何“绝对运动”。相对性原理是被大量 实验事实所精确检验过的物理学基本原理。（2）光速不变

10、原理：真空中的光速相 对于任何惯性系沿任一方向恒为 c,并与光源运动无关。知识点13：相对论时空坐标变换公式（洛伦兹变换式）和速度变换公式x vtyI答：坐标变换公式（洛伦兹变换式）y yIz z洛伦兹反变换式:tzUxUx V1 vux1 2cI 2Uy 1 V速度变换公式：Uy1 VUxuZ2c1 V2Uzc21VUx1 c知识点14:导出洛仑兹变换时，应用的基本原理及其附加假设；洛仑兹变换同 伽利略变换二者的关系。答：应用的基本原理为：变换的线性和间隔不变性。基本假设为：光速不变原理（狭义相对论把一切惯性系中的光速都是 c作为 基本假设，这就是光速不变原理）、空间是均匀的并各向同性，时间

11、是均匀的、 运动的相对性。洛仑兹变换与伽利略变换二者的关系： 伽利略变换是存在于经典 力学中的一种变换关系，所涉及的速率都远小于光速。洛仑兹变换是存在于相对 论力学中的一种变换关系，并假定涉及的速率等于光速。当惯性系S（即物体）运动的速度V c时，洛伦兹变换就转化为伽利略变换， 也就是说，若两个惯性 系间的相对速率远小于光速，则它以伽利略变换为近似。知识点15:四维力学矢量及其形式答：四维力学矢量为：(1)能量一动量四维矢量（或简称四维动量）:pp,-W (2)c速度矢量：Udxdx，-二（3）动量矢量：pddtmU(4)四维电流密度矢量：JcU ,jJ, ic （5）四维空间矢量：xx,ic

12、t(6)四维势矢量：AA丄(7)A反对称电磁场四维张量：FA(8)cx x四维波矢量：k k,iwc知识点16：事件的间隔：答：以第一事件P为空时原点（0，0，0，0）;第二事件Q的空时坐标为: （x,y,z,t），这两事件的间隔为：2 2,2 2 2 2 2,2 2s c t x y z c t r式中的r=.x2y2z2为两事件的空间距离。两事件的间隔可以取任何数值。在此区别三种情况：(1) 若两事件可以用光波联系，有r = ct,因而s2 0 (类光间隔)；(2) 若两事件可用低于光速的作用来联系，有 r ct，因而有s20 (类时间隔)；(a)绝对未来；(b)绝对过去。(3) 若两事件

13、的空间距离超过光波在时间t所能传播的距离，有r ct，因而有s20 (类空间隔)。知识点17:导体的静电平衡条件及导体静电平衡时导体表面的边界条件。答：导体的静电平衡条件：(1) 导体内部不带电，电荷只能分布在于导体表面上；(2) 导体内部电场为零；(3) 导体表面上电场必沿法线方向，因此导体表面为等势面。整个导体 的电势相等。导体静电平衡时导体表面的边界条件：=常量；n知识点18：势方程的简化。答：米用两种应用最广的规范条件：(1) 库仑规范：辅助条件为 ？ A 0.(2) 洛伦兹规范：1辅助条件为：？A二 0.c2 t例如：对于方程组2 1A 2 c2 A1(?A 2)tc t0 J(适用

14、于2? At0般规范的方程组)若采用库仑规范，可得:2 12a1AA2丄22 xctc t30(?A 0)0J7若采用洛伦兹规范，可得:c2 t22c2 t2?A c2 toJ（此为达朗贝尔方程）00知识点19：引入磁标势的条件。答：条件为：该区域内的任何回路都不被电流所环绕，或者说，该区域是没有传导电流分布的单连通区域，用数学式表示为：j 0:H ?dL 0Ls系中同一地点X2 X1，先后知识点20：动钟变慢：S系中同地异时的两事件的时间间隔，即(t2X）发生的两事件的时间间隔在S系的观测:t2t1v(t2 t1 ) 2 X2 C1 c：X1X2X1t1（ t21占称为固有时，它是最短的时间

15、间隔,t2 t11三Ct1)知识点21：长度收缩（动尺缩短）尺相对于S系静止，在S系中观测I,X2X1在S系中观测t2t1即两端位置同时测定X2 x/ X2 X11匚cV21。- 12(X2 X1 I,X2X1 CI。称为固有长度，固有长度最长，即I。 I知识点22:电磁场边值关系(也称边界上的场方程)n (E2 E1)0,n (H2 Hi),n ?(D2 Di),n ? (B2 B1)0.知识点23： A B效应1959年Aharonov和Bohm提出一种后来被试验所证实的新效应(这简称A B效应)，同时A B效应的存在说明磁场的物理效应不能完全用B描述。知识点24:电磁波的能量和能流1E

16、(n E) . E2n.平面电磁波的能量为：w E 1波有最低截止频率 丄Wc10 若管内为真空，此最低截止频率为c2a， 2a-B2平面电磁波的能流密度为：S E H能量密度和能流密度的平均值为：1212WE0B0 ,221*1厂2SRe(EH ).E。 n22 知识点25：波导中传播的波的特点:电场E和磁场H不同时为横波。通常选种波模为Ez o的波，称为横电波(TE);另一种波模为Hz 0的波，称为横磁波(TM ) 知识点26：截止频率 定义:能够在波导内传播的波的最低频率 Wc称为该波模的截止频率 知识点27:相对论的实验基础：计算公式：(m,n)型的截止频率为:;若 ab, J则 TE

17、10 横向多普勒（Doppler）效应实验（证实相对论的运动时钟延缓效应）； 高速运动粒子寿命的测定（证实时钟延缓效应）； 携带原子钟的环球飞行实验（证实狭义相对论和广义相对论的时钟延缓总效 应）； 相对论质能关系和运动学的实验检验（对狭义相对论的实验验证）? E 厶；知识点28:静电场是有源无旋场：q。（此为微分表达式）E 0.? B 0；稳恒磁场是无源有旋场：（此为微分表达式）B oj-知识点29:相对论速度变换式:Uydy dTUxUz_21 vux cdx Ux v其反变换式根据此式dtdzdt1VUx2 c1 VUx c2Ux求Uy。0 JS?ds知识点30:麦克斯韦方程组积分式和微

18、分式，及建立此方程组依据的试验定律。E?dlL答：麦克斯韦方程组积分式为:；B?dlL；E?ds dVS0 V;B ? ds 0麦克斯韦方程组微分式为:tB ojE0 0it依据的试验定律为：静电场的高斯定理、静电场与涡旋电场的环路定理、 磁场中 的安培环路定理、磁场的高斯定理。三、典型试题分析1、证明题：1、试由毕奥一沙伐尔定律证明 ？B 0证明：由式B0 J4X3 r-dv0 J X 4Svr又知：B01J X , dvA式中11J X _J x ，因此4r1 1由rrA0J x dvA4r?B ? A 0所以原式得证2、试由电磁场方程证明一般情况下电场的表示式E证：在一般的变化情况中，电

19、场 E的特性与静电场不同。电场 E 方面受到电 荷的激发，另一方面也受到变化磁场的激发，后者所激发的电场是有旋的。因此 在一般情况下，电场是有源和有旋的场，它不可能单独用一个标势来描述。 在变 化情况下电场与磁场发生直接联系，因而电场的表示式必然包含矢势 A在内。BA式代入E得: tEt0该式表示矢量E上是无旋场，因此它可以用标势描述，EA t。因此，在般情况下电场的表A示式为：E.。即得证。t3试由洛仑兹变换公式证明长度收缩公式1宀:2。答：用洛伦兹变换式求运动物体长度与该物体静止长度的关系。如图所示，设物体沿x轴方向运动，以固定于物体上的参考系为。若物体后端经过P点（第事件）与前端经过P2

20、点（第二事件）相对于同时，则RP2定义为上测得的物体长度物体两端在上的坐标设为Xi和X2在上Pi点的坐标为Xi，P2点的坐标为X2，两端分别经过Pi和P2的时刻为tit2。对这两事件分别应用洛伦兹变换式得Xi空,X2X2Vt2，两式相减，计及tit2，有2i 2x2xi：2 X： * .式中X2 Xi为 上测得的物体长度I （因为坐标Xi和X2是在 i ；：i v2。c上同时测得的），X2 xi为上测得的物体静止长度Io。由于物体对静止,所以对测量时刻ti和t2没有任何限制。由*式得I l04、试由麦克斯韦方程组证明静电场与电势的关系E -答：由于静电场的无旋性，得：E?dl 0设Ci和C2为

21、由R点到P2点的两条不同路径。C占C2合成闭合回路，因此E?dl E?dl 0CiC2即E?dl E?dl因 此， 电 荷 由CiC2P点移至p2点时电场对它所作的功 与路径无关，而只和两端点有关。把单位正电荷由Pi点移至P2,电场E对它所作的功为：E?dl,这功定义为Pi点和P2点的电PiP2势差。若电场对电荷作了正功，则电势下降。由此，P2P E?dl由Pi这定义，只有两点的电势差才有物理意义，一点上的电势的绝对数值是没有物理相距为 dl的两点的电势差为dE?dl. 由于d-一 dx dydz?dl，因此，电场强度E等于电势的负梯度xyzE5、试由恒定磁场方程证明矢势A的微分方程2 Aj

22、答：已知恒定磁场方程BoJ（1）（在均匀线性介质内），把意义的BA（2）代入（1）得矢势A的微分方程A J.由矢量分析公式A?A2A.若取A满足规范条件 ？A 0，得矢势A的微分方2A J.?A 06试由电场的边值关系证明势的边值关系证：电场的边值关系为：“ E2E10, $，* 式可写为D2nD1nn ? D2 D1.*21ni式中n为由介质1指向介质2的法线。利用DE及E，可用标势将表为:221势的边值关系即得证7、试由静电场方程证明泊松方程答：已知静电场方程为：?E需并知道E.（3）在均匀各向同性线性介质中，DE，将（3）式代入（2）得-， 为自由电荷密度于是得到静电势满足的基本微分方程

23、，即泊松方程。8、试由麦克斯韦方程证明电磁场波动方程。答：麦克斯韦方程组?E(x)E(x)?B xB x o j x(x)oB xt00 0表明，变化的磁场可以激发E xt电场，而变化的电场又可以激发磁场，因此，自然可以推论电磁场可以互相激发， 形成电磁波。这个推论可以直接从麦克斯韦方程得到， 在真空的无源区域，电荷 密度和电流密度均为零，在这样的情形下，对麦克斯韦方程的第二个方程取旋度 并利用第一个方程，得到 一2E(x)，再把第四个方程对时间求t2导，得到0 0二彳，从上面两个方程消去A，得到tt2t2E xt20。这就是标准的波动方程。对应的波的速度是1c.0 09、试由麦克斯韦方程组证

24、明电磁场的边界条件n E2 E1 0; n ? D2 D1;n ? B2 B10.D?ds dVSV解：即：Sn D2 Sn D1S.n D 2fD2n D1 n对于磁场B，把心B ds 0应用到边界上无限小的扁平圆柱高斯面上，重复以S上推导可得：B2n B1n即：n B2 B10作跨过介质分界面的无限小狭长的矩形积分回路，矩形回路所在平面与界面垂直，矩形长边边长为I，短边边长为丨。因为: E dl 0，作沿狭长矩形的E的路径积分。由于 丨比I小得多，当l 0时，E沿l积分为二级小量，忽略沿丨的路径积分，沿界面切线方向积分为：E2t I E1t I 0即：E2t Eit 0, *。*可以用矢量

25、形式表示为：E2 El t 0 式中t为沿着矩形长边的界面切线方向单位矢量。II令矩形面法线方向单位矢量为t，它与界面相切，显然有 t n t #将#式代入式，贝UE2 E1 nt 0, $ ，利用混合积公式ABC CAB，改写#式为：t E2 E1 n 0此式对任意t都成立,因此E2 Ei n 0,此式表示电场在分界面切线方向分量是连续的10、试由麦克斯韦方程组推导出亥姆霍兹方程2E k2E 0答：从时谐情形下的麦氏方程组推导亥姆霍兹方程。在一定的频率下，有D E,B H，把时谐电磁波的电场和磁场方程:E x,tB x,tiwtiwt代入麦氏BE,tD+方程组 H -p消去共同因子e 后得D

26、 0,B 0.E iw H ,iw E,0,H 0.在此注意一点在w 0的时谐电磁波情形下这组方程不是独立的。取第一式的散度，由于E 0，因而 H 0，即得第四式。同样，由第二式可导出第三式。在 此，在一定频率下，只有第一、二式是独立的，其他两式可由以上两式导出。取第一式旋度并用第二式得E w E 由2 2EE 2E2E，上式变为 E k0,此为亥姆霍兹方k程。11、试用边值关系证明：在绝缘介质与导体的分界面上，在静电的情况下，导体外的电场线总是垂直于导体表面； 在恒定电流的情况下，导体内的电场 线总是平行于导体表面。证明：(1)导体在静电条件下达到静电平衡，所以导体内E10，而：n (E2

27、E1)0, n E20,故E。垂直于导体表面。(2)导体中通过恒定的电流时，导体表面0.导体外E20,即：D20。而：n?（D2 D1） f 0,即：n ?D“ n?。巳 0 , n ? E“ 0。导体内电场方向和法线垂直，即平行于导体表面。12、设A和是满足洛伦兹规范的矢势和标势，现引入一矢量函数Z x,t （赫兹矢量），若令?Z,证明A丄c2 t证明：A和满足洛伦兹规范，故有1 ?A 20.c2 t?乙代入洛伦兹规范，有：?A 2 ?c2 t1 z?Z 0,即？A =?飞一c t2、计算题:1、真空中有一半径为Ro接地导体球，距球心为a a Ro处有一点电荷Q,求 空间各点的电势。解：假设

28、可以用球内一个假想点电荷 Q来代替球面上感应电荷对空间电场的作,II用。由对称性，Q应在OQ连线上。关键是能否选择Q的大小和位置使得球面上=0的条件使得满足？考虑到球面上任一点P。边界条件要求-r r0.式中r为Q到P的距离,Q 常数。（1）由图可看Q两三角形相似的条件为Q.（4） （3）和（4）式确 ar为Q到P的距离。因此对球面上任一点，应有 -r出，只要选Q的位置使 OQp OPQ,则=0 常数。（2） 设Q距球心为b ，r a或b匹.3由（1）和（2）式求出QRoaa定假想电荷Q的位置和大小。由Q和镜象电荷Q激发的总电场能够满足在导体面上=0的边界条件，因此是空间中电场的正确解答。球外

29、任一点扛p 的电势是： 1QR0Q1QR0Qa式中r4 0rar4 0 . roc R a22Racos、R22b 2Rbcos为由Q到P点的距离，r为由Q到P点的距离，R为由球心O到P点的距离,为OP与OQ的夹角2、两金属小球分别带电荷 和一，它们之间的距离为I，求小球的电荷（数值 和符号）同步地作周期变化，这就是赫兹振子，试求赫兹振子的辐射能流，并讨 论其特点。解：可知赫兹振子激发的电磁场:L3- PeikR sin e4 oC3R1oR|PikR esin电荷分布区内，并以P方向为极轴，则可知B沿纬线上振荡, 兹振子辐射平均能流2（取球坐标原点在E沿径线上振荡。）。 密度为：-Re2E*

30、 H 说 ReB.232 sinn.因子sin2表示赫兹振子辐射的角分布,即辐射的方向性。在900的平面上辐射最强，而沿电偶极矩轴线方向0和 没有辐射。3、已知海水的r 1, 1s m 1试计算频率v为50、106和109Hz的三种电磁波在海水中的透入深度。解：取电磁波以垂直于海水表面的方式入射，透射深度v 50 Hz 时:v 106 Hz时:v 109Hz 时:10 72250410 7 1122106410 7 1L22109410 7 1272m20.5m16mm的球体内,4、电荷Q均匀分布于半径为a 电场的散度。解：作半径为r的球（与电荷球体同心）。求各点的电场强度，并由此直接计算由对

31、称性，在球面上各点的电场强度有相同的数值E,并沿径向。当r a时，球面所围的总电荷为Q,由高斯定理得ds 4 r2E Q0,写成矢量式得Qr3 . r0r若r a,则球面所围电荷为:Qr33_a应用高斯定理得：-Edsr2EQr33.0a由此得E為.r现在计算电场的散度。当r a时E应取式，在这区域r0，由直接计算可因而0, r当r a时E应取*式，由直接计算得3QF；? a5、半径为R的均匀带电球体,电荷体密度为 ，球内有一不带电的球形空腔,其半径为R，偏心距离为a，(a R1 R )求腔内的电场。解：这个带电系统可视为带正电的R球与带负电的的Ri球的迭加而成。因此利用场的迭加原理得球形空腔

32、的一点M之电场强度为:r r3 06无穷大的平行板电容器内有两层介质，极板上面电荷密度为f 求电场和束缚电荷分布。解：由对称性可知电场沿垂直于平板的方向，把E2H2D2B2E1H1D1B10,0.*应用于下板与介质1界面上，因导体内场强为零，故得D1f -同样把*式应用到上板与介质2界面上得D2f -由这两式得E1束缚电荷分布于介质表面上。在两介质界面处，E2nE1np0 E2 E1在介质0 E2nE1 n0E1在介质2与上板分界处,pf0 E2容易验证，p p p0,介质整体是电中性的7、截面为S ,长为I的细介质棍，沿X轴放置，近端到原点的距离为 b，若极（1）求每端的束缚电荷面密度；（2

33、）求棒内的束缚电荷体密度。（3）总束缚电荷。解：（1）求在棍端 P2n Pin P2 P2n 0，Rn ，P kxARn AP/x bkb1BRn BP/x b1 k(b l)1P，P kxi(2)求由dPkdx(3)求q1 1qbAS si k b l kb S ksl 08、两块接地的导体板间的夹角为，当板间放一点电荷 q时，试用镜像法就=90、60的情形分别求其电势。解：设点电荷q处于两导体面间R,0 点，两导体面间夹角为 ，各象电荷处 在以R为半径的圆周上，它们的位置可用旋转矢量 R表示，设q及其各个象电 荷的位置矢为R。、Ri、 ，则有R0Re，R12Rei 2R2Re i2ReR3

34、R1ei 2 2Re i2R4R2ei2Rei2R5R32 2Rei4?R6R4ei 2 2Re i2?R7R5ei 2 4Re i4R8R6ei2 2Re1i 42， R1ReiR2Re i，1)R3Re iR4Rei，2i eie，R4 R3,象电荷只有3个，各象电荷所处在的直角坐标为:x1Rcos , x2 Rcos , x3Rcos ,y1Rsin , y2 Rsin , y3 Rsin2 iRe 3，R2Re i .2 i2 iRe 3，R4Re 3，R64i 3Rei 42) R5Re 233.2i3 e.4 i3 e2式中rx Rcosy Rsi n2 2 z，1:x Rcos2

35、yRsi n22 z，21x R cos2yRsi n22 z，3fx R cos2yRsi n22 z .空间任意一点的电势Rs R5,象电荷只有5个。各象电荷所在处的直角坐标为:X1Rcos23Rcos3X2RcosyiRsi n2Rsin ，y2Rsin332X3RcosRcos33X4Rcos2Rcos33yRsin21 Rsin33y4Rsi n2Rsi n ，334X5RcosRcos33y5Rsi n4Rsin -33q1 111 114 0rr12arz1r59、在一平行板电容器的两板上加U VoCOSWt的电压，若平板为圆形，半径为各个r由相应的象电荷坐标确定a,板间距离为d

36、,试求（1）、两板间的位移电流jD ；（2）、电容器内离轴r处的磁场强度;（3）、电容器内的能流密度。DE .EUUVoW丄J D,J D Si nwtt解：（1）tttdd tdJ DJ D ezVoWSi nwtezd；H dl I2 rH jD r2HHrv0w26rSi nwt泌 rSinwte2da时,空aSinwte2d(3)ds2 ad U dHa2 auH2 2a VoW-Sin wtCoswt d10、静止长度为l-的车厢，以速度v相对于地面S运行，车厢的后壁以速度为U- 向前推出一个小球，求地面观察者看到小球从后壁到前壁的运动时间。解：S系的观察者看到长度为I-.1 2的车

37、厢以vv vi运动，又看到小球以u ui追赶车厢。小球从后壁到前壁所需的时间为：c2uo vu- v v 1 vu- 2 cvu0c2vuoI2/ cv2/2cv 2 X2X1CX2 x1 I-lo 1 vu/c2uo 1 v2 C2t2tl1 v2 C2t2tl1I-uotllo1vuoc11、求无限长理想的螺线管的矢势 A （设螺线管的半径为a,线圈匝数为n,通 电电流为I）解：分析：A JdV，J x dV Idl。4 v rA?dlIB?ds，又对于理想的无限长 螺线管来说，它的B为：nls（1）当 ra 时，可得：2 rA r2B B onl 2 rA r2 onlAo 02(2)当

38、r a时，同理可得：2220 nla 12 rA a B 2 rA a 0nlAey2rJ210 5 cos 107 koz Am(1)求koo ( 2)写出E的瞬时值表达式解:1 kow 107；8-.v 3 1030E i 242410 4 cos 107 tkoz410 4 cos 107 tk0z413、内外半径分别为a和b的球形电容器,加上 v v0coswt的电压，且 不大,12、在大气中沿+ Z轴方向传播的线偏振平面波，其磁场强度的瞬时值表达式故电场分布和静态情形相同，计算介质中位移电流密度jD及穿过半径R a R b的球面的总位移电流Jd o解：位移电流密度为:v0 coswt

39、Vw.丄0sin wtR 口2穿过半径a R b 的球的总位移电流JD为：14、证:2Jd jD4 R4 R2v0w 0asin wt证明均匀介质内部的体极化电荷密度p总是等于体自由电荷密度的即证明了均匀介质内部的体极化电荷密度p总是等于体自由电荷密度。15、一根长为I的细金属棒，铅直地竖立在桌上，设所在地点地磁场强度为H ,方向为南北，若金属棒自静止状态向东自由倒下，试求两端同时接触桌面的瞬间 棒内的感生电动势，此时棒两端的电势哪端高？解：金属棒倒下接触桌面时的角速度 w由下式给出1 I1-Iw2 mg-式中为棒的质量，I为棒绕端点的转动惯量（-ml2 ）,g为重2 23力加速度，代入得-m

40、l 2w2 mgl ，3棒接触桌面时的感生电动势为：E dlv B dl0wx0Hdxlw0Hoxdx此时棒的A点电动势高。16、点电荷q放在无限大的导体板前，相距为 a,若q所在的半空间充满均匀的 电介质，介质常数为 ，求介质中的电势、电场和导体面上的感生面电荷密度。I解：设象电荷q位于 a ,0,0 ,尝试解为：丄q ,x 04 r r1）求q与a设在导体板上，十余青c当 R,RJ_q_1R0,0,qRc 0.q r._q_RR.a22yz2,R22 2a y z2 2a y2 2 z2q2 2 2 2 a y z q此式对任何y、z都成立，故等式两边y、z的对应项系数应相等,即:2 2q

41、2q ,1qqJ又2 2 a2q2 2 a q ,2 2 a2qa2q2,1aa.故q41 11r r2 2 r x a(2) 求 E Ex xq x a4(3) 求D2n D1n, D1nDx /x o E2 2y zi,rx2 2a y2 zq1r11r4r rx1 1x rxx a3 r0./qa / x 02 R317、设有两根互相平行的尺，在各自静止的参考系中的长度为I。，它们以相同速率v相对于某一参考系运动, 测量另一根尺的长度但运动方向相反，且平行于尺子，求站在一根尺上解：s系观察到s的速度24vI I0 121 v.-I。c22v1 v2c2V2有关，S测得S的尺子长度也是s测

42、得S的尺子长度是运动尺的收缩，只与相对运动的速度的绝对值2 2I0 c v22。c v18、两束电子作迎面相对运动，每束电子相对于实验室的速度v 0.9c，试求:(1) 实验室中观察者观察到的两束电子之间的相对速度；(2) 相对于一束电子静止的观察者观察的另一束电子的速度。解：(1)实验室系统中，电子束相对速度为0.9c+0.9c=1.8c, 相对于一束电子静止的系统中，相对速度 u %代入v 0.9c 得:vcu 0.994c 19、设有一随时间变化的电场E Eo coswt，试求它在电导率为 ，介电常数为的导体中，弓I起的传导电流和位移电流振幅之比，从而讨论在什么情况下，传 导电流起主要作

43、用，什么情况下位移电流其主要作用知传导电流为：j i ， 位移电流为：jD一 E0 coswtwsin wtE0.tw时，传导电流20、已知矢势 A 5(x2 y2 z2)i ，求 B，若 A A 5j 6k否对应同一电磁场解：21、电荷-e固定在球坐标的原点，另一电荷Z轴上运动，其方程Z ae bt，其BA (i j k) 5x2 y2 z2 ixyz10zj 10yk而A一 i 一 j 一 k 5 x2 y2z2 i5j 6k10zjxyz矢势A与A为同一电磁场。10yk A中a、b均为常数，试求：(1) 此电荷系统的电矩;(2) 辐射场强；(3) 辐射平均功率解：(1)=ezk eae

44、btez(ez为Z轴正方向的单位矢量)crrcSincrB B亠P Sin4b to eab e (2)4-0H 2p Sin4 o c2b teab e2c rrcSin(3)辐射功率P为:2b t- E0H dsS22,4e a b22、矢势Byi，A Bxj，其中B。为常数，它们对应着同一磁场，因此,求式中的标量函数解:A AByiBxj，Bxy f z23、已知时变电磁场 E E0coskz wt i, B B0 cos kz wt j，试从电磁场方程求常数E与B之间满足的关系i -jkE0 cos kzwt itBo cos kz wt j由(1)式得：xyz即：kE0sin kz

45、wt jB0 sin kzwt wjE。wBok24、有一带电粒子在原点附近作简谐振动，且ZZei t ZZ0、w为常数，设Z0、wC试求电偶极矩和辐射场。解：实际上此带电粒子在原点附近作简谐振动构成一个简单的振荡电偶极子系3、填空题:解：一般情况下，电磁场的基本方程是麦克斯韦方程组:BE3 t,1HDJ, 2tD,3B0.4统，这个系统的的电偶极矩为：P 知 一ikRoe4 Riwt .I QZ QZe k.偶极矩产生的辐射J x dVi 0 k ikRe n4 RP -4若取球坐标原点在电荷分布区内,有:1B 4 c3R-P eikR sin e振荡ikR旦P4 R_ 13 e0C3R并以P方向为极轴，则可得，B沿纬线上振荡。w2Qz。 ikR .3 e sin e4 0C3RikRP n4、选择题:3e24C3