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1、第三章习题参考解答3.1 求下列信号展开成傅里叶级数，并画出响应相应的幅频特性曲线。 (b) (c) (1) -2 - 0 2 (d)题图3.1 (a)解 (a)解 (b) 解 (c) X 1/T -2 - 0 2 （b）解 (d) (a) (b) (c) (d) - (e) (f) 1 ( 题图3.23.2 求题图3.2所示信号的傅里叶变换。解 (a)解 (b)设，由傅氏变换的微积分性质知：解 (c) 利用傅氏变换性质知：解 (d) 或 解 (e) 解 (f) 3.3 若已知，试求下列信号的傅里叶变换。(1) 解(2) 解(3) 解(4) 解(5) 解(6) 解 令则有：, ，3.4 在题图
2、3.2(b)中取，将进行周期为的周期延拓，得到周期信号，如题图3.4(a)所示；取的个周期构成截取函数，如题图3.4(b)所示。(1) 求周期信号傅里叶级数系数；(2) 求周期信号的傅里叶变换；(3) 求截取信号的傅里叶变换。 - (a) - - (b) 题图3.4解 (1)设单个三角波脉冲为，其傅里叶变换根据傅里叶级数和傅里叶变换之间的关系知：(2) 由周期信号的傅里叶变换知： (3)因为 3.5 绘出下列信号波形草图，并利用傅里叶变换的对偶性，求其傅里叶变换。(1) (2) 提示：参见脉冲信号和三角波信号的傅里叶变换解(1) ， 根据对偶知： A - 解(2) - 3.6 已知的波形如题图
3、3.6(a)所示，(1) 画出其导数及的波形图；(2) 利用时域微分性质，求的傅里叶变换； (3) 求题图3.6(b)所示梯形脉冲调制信号的频谱函数。 1 -2 - 0 2 (a) 题图3.6 1 -2 2 (b) 解(1)及的波形如下： - -2 0 2 2 -2 - 0 (2)(3) 3.7 求下列频谱函数的傅里叶逆变换。(1)解(2) 解(3) 解(4) 解(5) 解 (3.7.5.1)又 (3.7.5.2)由(3.7.5.1)、(3.7.5.2)式可知：(6) 解*3.8 设输入信号为，系统的频率特性为，求系统的零状态响应。解 1 - 0 题图3.93.9 理想低通滤波器的幅频特性为矩
4、形函数，相频特性为线性函数，如题图3.9所示。现假设输入信号为的矩形脉冲，试求系统输出信号。 解利用傅里叶变换的对称性，可以求得该系统的冲激响应为：，令得：其中： 3.10 在题图3.10(a)所示系统中，采样信号如图(b) 所示，是一个正负交替出现的冲激串，输入信号的频谱如图(c)所示。(1) 对于，画出和的频谱；(2) 对于，确定能够从中恢复的系统。 (a) (1) - -2 2 (b) 1 - 0 (c) 1 - - (d)题图3.10 解(1)由此可以绘出及的频谱图如下： 2 1/Ts -3 - 0 2 1/Ts -3 - 0 2 Ts - (2) 从的频谱可以看出，由恢复的系统如图所
5、示: (a) 1 -2 0 2 (b) 1 -5 -3 3 5 (c) 1 -3 3 (d)题图3.113.11 在题图3.11(a)所示系统中，已知输入信号的傅里叶变换如题图(b)所示，系统的频率特性和分别如图(c)和图(d)所示，试求输出的傅里叶变换。解：参见题图的标注。 1/2 -5 -3 3 5 1/2 -7 -5 -3 3 5 7 1/4 -8 -6 -2 2 6 8 1/4 -2 2 *3.12 在题图3.12(a)所示的滤波器中，。如果滤波器的频率特性函数满足： (，为常数)则称该滤波器为信号的匹配滤波器。(1) 若为图(b)所示的单个矩形脉冲，求其匹配滤波器的频率特性函数；(2
6、) 证明图(c)所示系统是单个矩形脉冲的匹配滤波器；(3) 求单个单个矩形脉冲匹配滤波器的冲激响应，并画出的波形；(4) 求单个单个矩形脉冲匹配滤波器的输出响应，并画出的波形。 (a) 滤波器 1 (b) + - (c) 理想积分器延时 题图3.12解 (1)解 (2) 参见图(c)标注.又，即与（）中有相同的函数形式。解 (3)，解 (4)(取) 为一三角波*3.13 求题3.1中和的功率谱密度函数。解 (1)参见3-1题。首先推出周期信号功率谱密度函数的表达式：周期信号的傅里叶变换为： 其中是傅里叶级数展开式系数。考虑截取信号：根据频域卷积定理，截取信号的傅里叶变换为： 当时，趋向于集中在
7、处，其他地方为零值，所以功率谱密度函数为： 由于，所以： 由此可求题给信号的功率谱密度函数： 解 (2)*3.14 求题3.2中和的能量谱密度函数。解设的能量谱密度函数为，。设的能量谱密度函数为，。*3.15 信号的最高频率为500Hz，当信号的最低频率分别为0，300Hz，400Hz时，试确定能够实现无混叠采样的最低采样频率，并解释如何从采样后信号中恢复。解(1) ，所以 (2) ，取当代入式中可知，只有当不等式才能成立：，所以采样频率只能取Hz。(3) ， 当代入式中可知，当不等式成立：，所以最低采样频率。*3.16 正弦信号的振幅电平为V，现采用12位的量化器进行舍入式量化，求量化误差的方均根值和量化信噪比。解 ，；，；，； 0 1 2 0 1 2 *3.17 绘出，的波形，并证明它们在0，1区间上是相互正交的。解 由三角函数和符号函数的意义可绘出的波形如图所示。显然： 即在0，1区间上满足正交的定义。*3.18 求信号的自相关函数。解 当： 当：
信号分析第三章答案
