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1、例例1、在等比数列中，填空：、在等比数列中，填空：(1) 1， ， ， ， 中第中第 15 项是项是 _(2) 2，2 ，4，4 ， 中第中第 _ 项是项是 32(3) 第第 7 项为项为 ，公比为，公比为 ，则第一项为，则第一项为 _(4) a 1 = 2 且且 a 5 = 162，则，则 q = _4121 81 221001101 14219100003例例2、已知数列、已知数列 a n 中，中，a 1 = 2 且且 a n + 1 2a n = 0，(1) 求证：求证： a n 是等比数列；是等比数列；(2) 求通项公式。求通项公式。解解: (1) 由题由题 a n + 1 = 2a
2、n 21 nnaa故故 a n 是公比为是公比为 2 的等比数列的等比数列(2) 由由 a 1 = 2 且公比且公比 q = 2 a n = (2 ) 2 n 1= 2 n 故故 a n 的通项公式为的通项公式为 a n = 2 n 例例3、在、在 8 和和 5832 之间插入之间插入 5 个数，使它们成等比数列，个数，使它们成等比数列，求这求这 5 个数。个数。mnmnaaq 由由题题解解 :7298583217 q3 q故所求数为故所求数为 24，72，216，648，1944 或或 24，72， 216，648， 1944例例4、公差不为零的等差数列的第二、三、六项成等比数、公差不为零的
3、等差数列的第二、三、六项成等比数列，求公比列，求公比 q ,qaaqa333,:由由题题设设三三数数为为解解3aqaqaa,36aaaa33333623 即即0342 qq q 1故故 q = 3想一下：本题还又没有其他解法？.3,22,33,42727.27.2722aaaABCD等比数列的第 项为（ ） 14814.,2,8naaqaa在等比数列中，求与的等比中项。等差数列的性质：.其中*)1() (,nmaanm dm nN从而有:()nmaadmnnm 若则2.,mnpqmnpqaaaa特例:若则+2 ,2mnpmnpaaa请把这些性质类比到等比数列等比数列的性质：.212.,3.2
4、,n mnmmnpqmnpaa qmnpqaaaamnpaaa 若则若则 类比等差中项的概念，你能说出什么类比等差中项的概念，你能说出什么是等比中项吗？是等比中项吗？思考：思考： 如果在如果在a与与b中间插入一个数中间插入一个数G，使使a, G，b成等比数列成等比数列，那么称这个数，那么称这个数G为为a与与b的等比中项的等比中项. 即即 abG (a,b同号同号) abGabGGbaG2 是不是任意两个数都存在等比中项？2反之，若反之，若即即a,G,b成等比数列成等比数列.a, G, b成等比数列成等比数列,2abG 则则,GbaG abG (ab0) 讲解范例讲解范例:例例1. 三个数成等比
5、数列，它的和为三个数成等比数列，它的和为14，它们的积为它们的积为64，求这三个数，求这三个数.例2、等比数列 an 中， a 4a 7 = 512，a 3 + a 8 = 124, 公比q为整数，求a10法一法一：直接列方程组求：直接列方程组求 a 1、q法二法二：由：由 a 4 a 7 = a 3 a 8 = 5120512124323 aa412833 aa或或 128441288383aaaa或或 公比公比 q 为整数为整数 128483aa3241285 q2 q a 10 = a 3q 10 3= 4(-2) 7= 51223, ,a b cacbn要证明 个数成等比数列 只要证要
6、证 个数成等比数列要用定义式 211,nnnnnaaaaa 数列满足那么是等比数列吗？等 比 数 列 的 单 调 性10,1,naqa则10,01,naqa则10,1,naqa则10,01,naqa则 递 增 递 增 递 减 递 减10,naqa 不论 为何值,如果则为摆动数列不论 为何值,如果则为11,naqa 常数数列思考思考:通项为通项为an2n1的数列的图象与的数列的图象与函数函数 y2x1的图象有什么关系？的图象有什么关系？讲解范例讲解范例:例例4.已知已知an、bn是项数相同的等比数是项数相同的等比数列，求证列，求证an bn是等比数列是等比数列.思考思考:2. 已知已知an，bn
7、是项数相同的等比数列，是项数相同的等比数列， 是等比数列吗？是等比数列吗？ nnba1. an是等比数列，是等比数列，C是不为是不为0的常数，的常数，数列数列can是等比数列吗？是等比数列吗？例例4.已知已知an、bn是项数相同的等比数是项数相同的等比数列，求证列，求证an bn是等比数列是等比数列. 等比数列的公比为求的值165341.,11,18,naq aaa aq 312106562,16,2 ,.在等比数列中求与nnaaa aaaa 2610345234563.,(1)2,16,(2)8,在等比数列中若求若求naaaaa a aa a a a a .324202,3.nnaaaaa1
8、已知为等比数列，求的通项公式 110D 90C 90-B 110-A) (S aa a2-a . 21037n为的 的等比中是为等差数列，其公差为已知9值值项，则项，则与与且且， 5 .D 6 .C 7 .B 8 .A) (k24S-S2d1,anaS. 3k2k1nn ，则，则，公差公差项和，若项和，若的前的前为等差数列为等差数列设设思考题：.有 个数，前 个成等比数列，且它们的乘积为，后 个数成等差数列，且它们的和为 ，求这 个数。14321631249 6 4 2，思考案： ，答，题 1231233.,7,8,在等比数列中求nnaaaaa a aa 课堂练习：.在等比数列中+求公比283
9、71,12,8,naa aaaq 243546352.225,.在正项等比数列中，求的值naa aa aa aaa课堂小结课堂小结1. 等比中项的定义；等比中项的定义；2. 等比数列的性质；等比数列的性质；3. 判断数列是否为等比数列的方法判断数列是否为等比数列的方法数数 列列等等 差差 数数 列列等等 比比 数数 列列关关 系系 式式性性 质质中中 项项 构造三数构造三数 构造四数构造四数 a，a+d，a+2da, aq, aq2或者或者 a-d，a，a+daqaqa，或或a-3d，a-d，a+d， a+3d33aqaqqaqa，an=am +(n-m) dan=amqn-mm+n=p+q an+am=ap+aqm+n=p+q anam=apaq2cabcb,a, 则等差中项则等差中项成等差数列，成等差数列，若若acbcb,a, 则等比中项则等比中项成等比数列，成等比数列，若若
山东省沂水县高二数学《等比数列》课件
