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1、 时间：45分钟满分：100分班级：_姓名：_学号：_得分：_一、选择题(本大题共6小题，每小题6分，共36分，在下列四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1(20xx江西红色六校联考)设f(x)lg(a)是奇函数，则使f(x)0的x的取值范围是()A(1,0)B(0,1)C(，0)D(，0)(1，)解析：因为函数f(x)lg(a)为奇函数，且在x0处有定义，故f(0)0，即lg(2a)0，a1.故函数f(x)lg(1)lg.令f(x)0，得01，即x(1,0)答案：A2(20xx诸城模拟)定义域为(，0)(0，)的函数f(x)不恒为0，且对于定义域内的任意实数x，y都有f(xy)成立，则f(
2、x)()A是奇函数，但不是偶函数B是偶函数，但不是奇函数C既是奇函数，又是偶函数D既不是奇函数，又不是偶函数解析：令xy1，则f(1)，f(1)0.令xy1，则f(1)，f(1)0.令y1，则f(x)，f(x)f(x)f(x)是奇函数又f(x)不恒为0，f(x)不是偶函数故选A.答案：A3(20xx江西盟校二联)函数f(x)是周期为4的偶函数，当x0,2时，f(x)x1，则不等式xf(x)0在1，3上的解集为()A(1,3)B(1,1)C(1,0)(1,3)D(1,0)(0,1)解析：f(x)的图象如图所示当x(1,0)时，由xf(x)0，得x(1,0)；当x(0,1)时，由xf(x)0，得x
3、；当x(1,3)时，由xf(x)0，得x(1,3)x(1,0)(1,3)，故选C.答案：C4设f(x)是定义在R上的周期为3的周期函数，如图表示该函数在区间(2,1上的图象，则f(2 011)f(2 012)()A3B2C1D0解析：由于f(x)是定义在R上的周期为3的周期函数，所以f(2 011)f(2 012)f(67031)f(67131)f(1)f(1)，而由图象可知f(1)1，f(1)2，所以f(2 011)f(2 012)123.答案：A5设偶函数f(x)满足f(x)2x4(x0)，则不等式f(x2)0的解集为()Ax|x4Bx|x4Cx|x6Dx|x2解析：当x0时，令f(x)2
4、x40，所以x2.又因为函数f(x)为偶函数，所以函数f(x)0的解集为x|x2将函数yf(x)的图象向右平移2个单位即得函数yf(x2)的图象，故f(x2)0的解集为x|x4答案：B6(20xx辽宁大连)设函数f(x)(xR)满足f(x)f(x)，f(x)f(2x)，且当x0,1时，f(x)x3.又函数g(x)|xcos(x)|，则函数h(x)g(x)f(x)在，上的零点个数为()A5B6C7D8解析：根据题意，函数yf(x)是周期为2的偶函数，且当0x1时，f(x)x3，则当1x0时，f(x)x3，且g(x)|xcos(x)|，所以当x0时，f(x)g(x)当x0时，若0x，则x3xcos
5、(x)，即x2|cos(x)|.同理可以得到在区间，0)，(，1，(1，上的关系式都是上式，在同一坐标系中作出所得关系式等号两边函数的图象，如图所示，有5个根所以共有6个答案：B二、填空题(本大题共4小题，每小题6分，共24分，把正确答案填在题后的横线上)7(20xx金华十校模拟)已知函数f(x1)为奇函数，函数f(x3)为偶函数，f(0)1，则f(8)_.解析：由yf(x1)为奇函数得f(x1)f(x1)，由yf(x3)为偶函数得f(x3)f(x3)，则f(8)f(53)f(53)f(2)f(11)f(11)f(0)1.答案：18(20xx山东滨州一模)已知定义在R上的函数yf(x)满足以下
6、三个条件：对于任意的xR，都有f(x1)；函数yf(x1)的图象关于y轴对称；对于任意的x1，x20,1，且x1x2，都有f(x1)f(x2)，则f()，f(2)，f(3)从小到大的关系是_解析：由得f(x2)f(x11)f(x)，所以函数f(x)的周期为2.因为函数yf(x1)的图象关于y轴对称，将函数yf(x1)的图象向右平移一个单位即得yf(x)的图象，所以函数yf(x)的图象关于x1对称；根据可知函数f(x)在0,1上为减函数，又结合知，函数f(x)在1,2上为增函数因为f(3)f(21)f(1)，在区间1,2上，12，所以f(1)f()f(2)，即f(3)f()f(2)答案：f(3)
7、f()f(2)9(20xx银川质检)已知定义在R上的偶函数满足：f(x4)f(x)f(2)，且当x0,2时，yf(x)单调递减，给出以下四个命题：f(2)0；x4为函数yf(x)图象的一条对称轴；函数yf(x)在8,10上单调递增；若方程f(x)m在6，2上的两根为x1，x2，则x1x28.以上命题中所有真命题的序号为_解析：令x2，得f(2)f(2)f(2)，即f(2)0.又函数f(x)是偶函数，故f(2)0，正确；根据f(2)0可得f(x4)f(x)，所以函数f(x)的周期是4，由于偶函数的图象关于y轴对称，故x4也是函数yf(x)的图象的一条对称轴，正确；根据函数的周期性可知，函数f(x
8、)在8,10上单调递减，不正确；由于函数f(x)的图象关于直线x4对称，故如果方程f(x)m在区间6，2上的两根为x1，x2，则4，即x1x28，正确故真命题的序号为.答案：10(20xx济宁高三一模)已知定义域为R的函数f(x)既是奇函数，又是周期为3的周期函数，当x(0，)时，f(x)sinx，则函数f(x)在区间0,6上的零点个数是_解析：由f(x)是定义域为R的奇函数，可知f(0)0.因为f(x3)f(x)，所以f(3)0.令x，得f()f()，所以f()0.又当x(0，)时，f(x)sinx，所以f(1)0，f(2)f(31)f(1)f(1)0，则f(x)在区间0,3上的零点有5个由
9、周期性可知，f(x)在区间(3,6上有4个零点，故f(x)在区间0,6上的零点个数是9.答案：9三、解答题(本大题共3小题，共40分，11、12题各13分，13题14分，写出证明过程或推演步骤)11(能力题)设函数f(x)的定义域为R，对于任意的实数x，y，都有f(xy)f(x)f(y)，当x0时，f(x)0，求证：(1)f(x)为奇函数；(2)f(x)在(，)上是减函数证明：(1)令xy0，得f(0)f(0)f(0)，f(0)0.再令yx，得f(0)f(x)f(x)，f(x)f(x)，f(x)为奇函数(2)设x1、x2(，)且x1x2，则x2x10，当x0时，f(x)0，f(x2x1)0.又
10、对于任意的实数x，y都有f(xy)f(x)f(y)且f(x)为奇函数，f(x2x1)fx2(x1)f(x2)f(x1)f(x2)f(x1)f(x2)f(x1)0，f(x)在(，)上是减函数12(20xx广东六校联考)已知定义域为R的函数f(x)是奇函数(1)求a，b的值；(2)若对任意的tR，不等式f(t22t)f(2t2k)0恒成立，求k的取值范围解：(1)因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)0，即0b1，所以f(x)，又由f(1)f(1)知a2.(2)由(1)知f(x)，易知f(x)在(，)上为减函数又因f(x)是奇函数，从而不等式：f(t22t)f(2t2k)0等价于f(t22t)f(2t2k)f(k2t2)，因f(x)为减函数，由上式推得：t22tk2t2，即对tR有：3t22tk0，从而412k0k.13(能力题)设函数f(x)的定义域关于原点对称，且满足f(x1x2)；存在正常数a，使f(a)1.求证：(1)f(x)是奇函数；(2)f(x)是周期函数，并且有一个周期为4a.解：(1)不妨令xx1x2，则f(x)f(x2x1)f(x1x2)f(x)f(x)是奇函数(2)要证f(x4a)f(x)，可先计算f(xa)，f(x2a)，f(xa)fx(a)，(f(a)1)f(x2a)f(xa)a.f(x4a)f(x2a)2af(x)故f(x)是以4a为周期的周期函数
高考一轮作业：23函数的奇偶性与周期性含答案
