有限单元法基础介绍实用教案

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1、会计学1有限单元法基础有限单元法基础(jch)介绍介绍第一页，共41页。2022-4-8n解答(jid)：n根据材料力学公式， ，其中 ， 为矩形截面的惯性矩，代入已知条件，计算结果为：n问题：第1页/共41页第二页，共41页。2022-4-8Definition历史典故历史典故结构分析的有限元方法是在二十世纪五十年代到二十世纪六十年代由一批学术结构分析的有限元方法是在二十世纪五十年代到二十世纪六十年代由一批学术界和工业界的研究者创立界和工业界的研究者创立(chungl)(chungl)的。的。有限元分析理论现在已成为悬索桥和蒸汽锅炉进行手算评核的基础。有限元分析理论现在已成为悬索桥和蒸汽锅炉

2、进行手算评核的基础。第2页/共41页第三页，共41页。2022-4-8非变形体（刚体(gngt)）变形体第3页/共41页第四页，共41页。2022-4-8双向拉索悬索桥发动机有限元模型(mxng)齿轮接触(jich)有限元分析汽车碰撞实验模拟（福特）第4页/共41页第五页，共41页。2022-4-8Definition第5页/共41页第六页，共41页。2022-4-8思路(sl)n标准化（研究力学理论：任意复杂问题标准化分解，单元建模有限种标准单元类型）n规范化（前处理：CAD几何、力学建模、求解、后处理显示）n计算机程序化 （标准程序、模块）n应用的规模化、普及性（可求解大型计算问题108-

3、1010DOF)技术路线第6页/共41页第七页，共41页。2022-4-8物理系统物理系统(xtng) 几何体几何体 载荷载荷结构结构热热电磁电磁第7页/共41页第八页，共41页。2022-4-8Definition真实真实(zhnsh)系统系统有限元模型有限元模型第8页/共41页第九页，共41页。2022-4-8单元单元(dnyun)单元单元载荷节点节点力约束第9页/共41页第十页，共41页。2022-4-8自由度自由度(DOFs) 用于描述一个物理用于描述一个物理(wl)场的响应特性。场的响应特性。结构结构(jigu) DOFs 结构结构 位移位移 热热 温度温度 电电 电位电位 流体流体

4、 压力压力 磁磁 磁通磁通 参数参数 自由度自由度ROTZUYROTYUXROTXUZ第10页/共41页第十一页，共41页。2022-4-8载荷载荷(zi h)、约束和力等信息是通过单元之间的公共节点传递的。、约束和力等信息是通过单元之间的公共节点传递的。 分离但节点重叠的单元分离但节点重叠的单元(dnyun)A和和B之间无法进行信息传递之间无法进行信息传递（需进行节点合并处理）（需进行节点合并处理）具有公共节点的单元之具有公共节点的单元之间存在信息传递间存在信息传递 .AB.AB.1 node2 nodes第11页/共41页第十二页，共41页。2022-4-8节点自由度是随连接该节点节点自由

5、度是随连接该节点 单元类型单元类型(lixng) 变化的。变化的。JIIJJKLILKIPOMNKJIL三维杆单元三维杆单元 (铰接铰接(jioji)UX, UY, UZ三维梁单元三维梁单元二维或轴对称实体单元二维或轴对称实体单元UX, UY三维四边形壳单元三维四边形壳单元三维实体热单元三维实体热单元TEMPJPOMNKJIL三维实体结构单元三维实体结构单元UX, UY, UZ,ROTX, ROTY, ROTZUX, UY, UZUX, UY, UZ,ROTX, ROTY, ROTZ第12页/共41页第十三页，共41页。2022-4-8三大(sn d)方面三大方程即： =E E 弹性模量第13

6、页/共41页第十四页，共41页。2022-4-8第14页/共41页第十五页，共41页。2022-4-8LessonObjectivesProcedure1. .2. .3. . 第15页/共41页第十六页，共41页。2022-4-8第16页/共41页第十七页，共41页。2022-4-8尺寸、节点数目、位置等，找出单元节点力和节点位移关系式，应用几何方程和物理方程建立力和位移的方程式，从而导出单元刚度矩阵。n计算等效节点力n作用在单元边界上的表面力、体积力或集中力都需要等效地移到节点上去，即用等效力来替代所有作用在单元上的力。第17页/共41页第十八页，共41页。2022-4-8Definiti

7、on第18页/共41页第十九页，共41页。2022-4-8第19页/共41页第二十页，共41页。2022-4-8 eeBDD B21010100(1)/2EDLessonObjectives第20页/共41页第二十一页，共41页。2022-4-8第21页/共41页第二十二页，共41页。2022-4-8第22页/共41页第二十三页，共41页。2022-4-8第23页/共41页第二十四页，共41页。2022-4-8第24页/共41页第二十五页，共41页。2022-4-8第25页/共41页第二十六页，共41页。2022-4-8珩架水平(shupng)杆单元n杆单元两端各有一个水平节点位移 和 ，两端

8、节点力分别为 和 。n杆的受力情况分为两种情况考虑：q ，此时j点被固定；q ，此时i点被固定。 第26页/共41页第二十七页，共41页。2022-4-8n ，j 点被固定时；n单元应变(yngbin)： n单元应力：n（材料力学中以拉应力为正，而有限元中，以向右的节点力为正）n单元左端节点力：n单元右端节点力：n ，i点被固定时，与上状态相反，因此n单元左端节点力：n单元右端节点力：,0iijuu u0,ijjuuu第27页/共41页第二十八页，共41页。2022-4-8n把以上两种结果叠加起来(q li)，得到左、右两端都有位移情况下单元节点力： 写成矩阵(j zhn)形式： 称为单元刚度

9、矩阵。 n单元轴力可写为： 称为单元应力矩阵。 第28页/共41页第二十九页，共41页。2022-4-8n实际，节点(ji din)i和j 除了水平位移外，还可以产生垂直位移(但在小变形下，垂直节点(ji din)位移对杆内力无影响）。引入垂直节点(ji din)位移 ，和垂直节点(ji din)力 ，单元刚度矩阵扩展为： 或称为(chn wi)单元刚度矩阵。 节点力，节点位移第29页/共41页第三十页，共41页。2022-4-8n倾斜(qngxi)单元刚度矩阵为正交矩阵(j zhn)，其中 局部坐标 , 与整体坐标x,y之间的位移 与 之间存在如下变换关系： 式中，转换矩阵第30页/共41页

10、第三十一页，共41页。2022-4-8n局部坐标系中节点(ji din)力 与整体坐标系中节点(ji din)力 之间的关系为：其中(qzhng)，i点 节点力 得出：n局部坐标系中节点力其反映单元节点位移与单元节点力关系，称为单元刚度方程。将上式记为，j点 节点力 i点 节点位移，j点 节点位移第31页/共41页第三十二页，共41页。2022-4-8q刚度系数Kij的意义是节点(ji din)j的单位节点(ji din)位移在节点(ji din)i上产生的节点(ji din)力 从一个珩架中取一节点(ji din)i，设环绕该点有三个单元，即ij、im、ip。该节点(ji din)承受水平和

11、垂直载荷分别为Xi和Yi，即n节点平衡方程与整体刚度矩阵第32页/共41页第三十三页，共41页。2022-4-8n根据(gnj)力的平衡原理，节点受力平衡方程为： 杆单元ij在节点(ji din)i的节点(ji din)力为： 其它单元施于结点i的节点力为： 其它节点都有以上平衡方程，对于全部节点i1,2,N的结构,得到2N阶线性方程组 其中，为全部节点位移组成的列阵；，为全部节点载荷组成的列阵；，为整体刚度矩阵。第33页/共41页第三十四页，共41页。2022-4-8n总体(zngt)刚度矩阵的合成采用大域变换矩阵法把单元(dnyun)刚度矩阵合成结构整体刚度矩阵。结构总体刚度矩阵 与单元刚

12、度矩阵 之间的关系为K 其中， 为单元大域变换矩阵，对平面珩架结构，单元自由度m=4,节点自由度h2，整个结构有n个节点，则该单元大域变换矩阵为m(hn)维。其中ij单元假定为全局单元编号中第3个，其大域变换矩阵为第34页/共41页第三十五页，共41页。2022-4-8n总体(zngt)结构的载荷矢量、位移矢量与单元载荷矢量、位移矢量之间的关系为：n边界条件的处理(chl)q边界条件指结构边界上所受到的外加约束。q边界上的节点通常有两种情况：n一种可以自由变形，如图中5、6、7、8；如果节点3作用外载荷Q，可以令该点的载荷为Q；n另一种边界上的节点，已经规定了节点的位移数值。 如： 第35页/

13、共41页第三十六页，共41页。2022-4-8n把结构平衡方程组重新排列，得到(d do)如下方程： 式中， 是已知节点(ji din)位移， 是未知节点(ji din)位移； 相应地， 是已知节点载荷， 是未知支点反力。 只要已给出的位移 足以阻止结构的刚体移动，则子矩阵 将是非奇异的，可以解出未知的节点位移： 进而求出未知支点反力： 但在有限单元法中，未知量的个数通常有几百个，甚至几十万个，一般利用计算机求解。第36页/共41页第三十七页，共41页。2022-4-8n结构动力学问题(wnt)有限元方法n运动状态中各节点的动力平衡方程为： 式中， 分别(fnbi)为惯性力、阻尼力和动力载荷，

14、 为弹性力。 q弹性矢量可用节点位移 和刚度矩阵 表示为：Kq根据达朗贝尔原理，可用质量矩阵 和节点加速度 表示惯性力如下：q设结构具有粘滞阻尼，可用阻尼矩阵 和节点速度 表示阻尼力如下：q得到运动方程：即第37页/共41页第三十八页，共41页。2022-4-8n单自由(zyu)度系统的阻尼n单自由(zyu)度系统的自由(zyu)振动方程为： 式中， 质量； 阻尼(zn)系数； 为刚度系数； 为位移。q两边除以m,得到：q设初始条件为：当t=0时， 符合这些初始条件的解为：系统的自振频率为 ，其振幅随着时间而逐渐衰减。 其中， 称为阻尼比， 为系统的自振频率（角频率）。 大多数结构的阻尼比都比

15、较小，较多为 ，阻尼对结构自振频率的影响是很小的，通常取 。第38页/共41页第三十九页，共41页。2022-4-8n结构(jigu)自振频率与振型n结构(jigu)自由振动方程为： 实际中，阻尼对结构自振频率和振型影响(yngxing)不大，因此可忽略阻尼力，得到无阻尼自由振动方程：q设结构作简谐运动： 对于每个自振频率，可确定一组各节点的振幅值它们之间应保持固定的比值，但绝对值可以任意变化，它们构成一个矢量，称为特征矢量，在工程上通常称为结构的振型。代入上式得到方程： 在自由振动时，结构中各节点的振幅 不全为零，所以结构自振频率方程为： 上式是关于 的n次代数方程，可求出结构的自振频率：第39页/共41页第四十页，共41页。2022-4-8第40页/共41页第四十一页，共41页。