八年级数学第十二章数的开方教案华东师大版华师版八上第12章数的开方教案

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1、第12章 数的开方12.1平方根与立方根（1）知识技能目标1.从实际问题的需要出发，引进平方根概念，体现从实际到理论、具体到抽象这样一个一般的认识过程，培养学生辩证唯物主义观点；2.从求二次幂的平方运算引出求平方根的运算，突出平方运算和开平方运算的互逆性；3.扣住定义去思考问题，重视解题技巧；4.以旧引新，以新带旧，从旧知识引进新知识，讲新知识时尽可能复习一些旧知识 教学重点与难点通过实际问题的研究，认识平方根；正确区分平方根与算术平方根的关系；会用计算器求任意正数的算术平方根。教学过程一、创设情境问题1 要剪出一块面积为25 cm2的正方形纸片，纸片的边长应是多少？问题2 已知圆的面积是16

2、cm2，求圆的半径长(学生探索，回答问题)二、探究归纳问题1解 设正方形纸片的边长为xcm，依题意有：x225，求出满足x225的x值，就可得正方形纸片的边长因5225，(-5)225，故满足x225的x的值可以是5，也可以是5，但正方形边长只能取正值所以x5答 正方形纸片的边长为5cm这个问题实质上就是要找一个数，这个数的平方等于25问题2解 设圆的半径为R cm，依题意有：R2=16，即R2=16，求出满足R216的R的值即可求出圆的半径因4216，(4)216，故满足R216的R的值为4或4，但圆的半径只能取正值所以数R4答 圆的半径为4cm这个问题实质上就是要找一个数，这个数的平方等于

3、16刚才具体的二个例子，从数学意义上都是要解决这样一个共同的问题：已知某数的平方，要求这个数用式子来表示就是如果x2a，求x的值概括 如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根(square root)（也叫a的二次方根）在上述例1问题中，因为5225，所以5是25的一个平方根又因为(5)25225，所以5也是25的一个平方根这就是说，25的平方根有两个：5与5在上述例2问题中，因为4216，所以4是16的一个平方根又因为(4)24216，所以4也是16的一个平方根这就是说，16的平方根有两个： 4与4所以，根据平方根的意义，我们可以利用平方来检验或寻找一个数的平方根三、实践应用例1 求

4、100的平方根解 因为102100，(-10)2100，除了10和10以外，任何数的平方都不等于100，所以100的平方根是10和10，也可以说，100的平方根是10.学生试一试：(1) 144的平方根是什么？(2) 0的平方根是什么？(3)的平方根是什么？(4)4有没有平方根？为什么？请学生也编三道求平方根的题目，并给出解答与同学交流，你发现了什么？1平方根的性质：问(1) 正数的平方根是什么？问(2) 0的平方根是什么？问(3) 负数有平方根吗？为什么？请同学概括数的平方根的性质答 一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0有一个平方根，它是0本身；负数没有平方根2.一个非负数a的平方根的表

5、示法3.开平方求一个数a(a0)的平方根的运算，叫做开平方 例2 将下列各数开平方：(1)49， (2)1.69分析 开方运算就是求平方根，我们可以通过平方运算来解决例3 下列各数有平方根吗？如果有，求出它的平方根；如果没有，请说明理由(1)64；(2)0；(3)(4)2分析 因为只有正数和零才有平方根，所以首先应观察所给出的数是否为正数或0四、交流反思1.一般地，如果a，那么叫做a的平方根(也叫a的二次方根)当a0时，a有一个平方根，就是它本身；负数没有平方根2.求一个数a的平方根的运算，叫做开平方，平方和开平方运算有区别又有联系区别在于，平方运算中，已知的是底数和指数，求的是幂；而在开平方

6、运算中，已知的是指数和幂，求的是底数在平方运算中的底数可以是任意数，平方的结果是唯一的；在开平方运算中，被开方数必须是非负数，开平方的结果不一定是唯一的3.平方和开平方运算又有联系，二者互为逆运算4.求一个数的平方根，可以通过平方运算来解决五、作业P4 1 12.1平方根与立方根（2）知识技能目标1.引导学生建立清晰的概念系统，在学生正确理解平方根的概念的意义和平方根的表示方法基础上，专门讨论算术平方根的概念及其表示方法；2.对于表示的算术平方根中的a的条件和的本身的意义作合理性的说明，例如：面积为a(a0)的正方形的边长为，从而直观形象地说明算术平方根约定的合理性；3.针对性的、有梯度的、形

7、式多样的课堂练习题，让学生在练习中巩固和加深知识的理解和掌握，促使学生尽快地把新知识纳入到自己原有的认知结构中教学重点与难点1.理解算术平方根的概念，掌握它的求法及表示方法；2.体会到平方根和算术平方根这两个概念的联系和区别，进一步熟练地进行平方根与算术平方根的运算；3.用计算器求一个非负数的算术平方根教学过程一、创设情境1.在(-5)2、-52、52中，哪个有平方根？平方根是多少？哪个没有平方根？为什么？2.0.49的平方根记作_；3. ；4.说出平方根的概念和性质二、探究归纳1.算术平方根：9的平方根是 ，9的正的平方根是 ，表示的意义是什么？正数a的正的平方根叫做a的算术平方根记作，读作

8、“a的算术平方根”这里应强调两点：(1)这里的不仅表示开平方运算，而且表示正值的根(2)这里中有两个“正”字，即被开方数必须为正，算术平方根也是正的0的平方根也叫做0的算术平方根，因此0的算术平方根是0即从以上可知，当a是正数或是0时，表示a的算术平方根例1 求100的算术平方根解 因为102=100，所以100的算术平方根是10即注意 100的平方根是10，而100的算术平方根是10例2 求下列各数的平方根和算术平方根：(1) 36 ； (2) 2.89 ； (3) 说明 求一个数的平方根时，根号前的“”号一定要写，它是区别平方根和算术平方根的主要特征例3 求下列各式的值：分析 (1)、(2

9、)、(3)题主要在于理解各题所表示的含义，是求平方根还是求算术平方根，第(4)、(5)题除了分清各题所表示含义之外，还有掌握好运算顺序2.用计算器求一个非负数的算术平方根例4 用计算器求下列各数的算术平方根：(1) 529； (2) 1225； (3) 44.81三、实践应用1.下列各式中哪些有意义？哪些无意义？2.求下列各数的平方根和算术平方根：3.求下列各式的值，并说明它们各表示的意义：4.用计算器计算：(1)；(2)；(3)（精确到0.01）四、交流反思1.平方根和算术平方根的区别：2.平方根和算术平方根的联系：五、作业P4 3 P7 412.1平方根与立方根（3）知识技能目标1.在学习

10、了平方根的概念的基础上学习立方根的概念，重点放在讨论立方的概念，立方根的个数的唯一性及立方根的求法；2.在学生对数的立方根的概念及个数的唯一性有了一定的理解的基础上，提出数的立方根与数平方根的区别；3.渗透特殊一般特殊的思想方法通过特例研究等式，运用归纳的思想方法，让学生理解“一个负数的立方根是它的绝对值的立方根的相反数”，运用这一关系式求一个负数的立方根教学重点与难点1.掌握立方根的概念，掌握由立方运算，求一个数的立方根的方法；2.明确立方根个数的性质，分清一个数的立方根与平方根的区别；3.会用计算器求数的立方根教学过程一、创设情境计算下列各题：强调指出 上述各题都是已知一个数，求这个数的立

11、方，即a3x其中，已知数a叫底数，它可为正数，也可为负数，也可是零；x叫做a的三次幂，同样可为正数，可为负数，也可是零这种运算是乘方运算，是已知底数、指数，求幂的运算问题 现有一只体积为216 cm3的正方体纸盒，它的每一条棱长是多少？分析 上面所提出的问题，实质上就是要找一个数，这个数的立方等于216解 设正方体纸盒的棱长为xcm，则，因为63216，所以x6答正方体的棱长应为6 cm二、探究归纳问 这个实际问题，在数学上提出怎样的一个计算问题？从这里可以抽象出一个什么数学概念？答 已知乘方指数和3次幂，求底数，也就是“已知某数的立方，求某数”即x3a，a是已知数，求x1.立方根的概念：如果

12、一个数的立方等于a，那么这个数就叫做a的立方根(cube root)（也叫做三次方根）试一试(1)27的立方根是什么？(2)27的立方根是什么？(3)0的立方根是什么？请学生也编三道求立方根的题目，并给出解答2.立方根的表示方法：3.开立方：求一个数的立方根的运算，叫做开立方开立方与立方也是互为逆运算，因此求一个数的立方根可以通过立方运算来求三、实践应用例1 求下列各数的立方根：(1)； (2)-125； (3)-0.008； (4)0根据上述练习提问：(1)一个正数有几个立方根？是否任何负数都有立方根？如都有，一个负数有几个立方根？0的立方根是什么？启发学生得出立方根的性质，并通过下表与平方

13、根的有关性质进行比较(2)一个数的平方根和一个数的立方根，有什么相同点和不同点？例2 用计算器求下列各数的立方根：(1)1331； (2)343； (3)9.263分析 用计算器求一个有理数的立方根，只需要直接按书写顺序按键若被开方数为负数，“”号的输入可以按，也可以按四、交流反思请思考下面的问题：1.什么叫一个数的立方根？怎样用符号表示数a的立方根？a的取值范围是什么？2.数a的立方根与数a的平方根有什么区别？3.求一个数的立方根，可以通过立方运算来求五、作业P7 1.2.512.2实数与数轴（1）知识技能目标1.了解实数的意义，能对实数进行分类；2.了解数轴上的点与实数一一对应，能用数轴上

14、的点来表示无理数；3.会比较两个实数的大小教学重点与难点1.通过探索，使学生从数和形两方面体会到无理数可以在数轴上找到一个对应点,从而认识到实数和数轴上的点一一对应；2.通过计算器辅助，能比较两个无理数的大小教学过程一、创设情境1.做一做：(1)用计算器求；(2)利用平方关系验算所得结果这里，我们用计算器求得=1.414213562，再用计算器计算1.414213562的平方，结果是1.999999999，并不是2，只是接近2这就是说，我们求得的的值，只是一个近似值2.如果用计算机计算，结果如何呢？阅读课本第15页的计算结果，在数学上已经证明，没有一个有理数的平方等于2，也就是说， 不是有理数

15、那么，是怎样的数呢？二、探究归纳1.回顾有理数的概念(1)有理数包括整数和分数；(2)任何一个分数写成小数形式，必定是有限小数或者无限循环小数2.无理数的概念与有理数比较, 计算结果是无限不循环小数，所以不是有理数类似地，、圆周率等也都不是有理数，它们都是无限不循环小数无限不循环小数叫做无理数有理数和无理数统称为实数三、实践应用1.试一试：你能在数轴上找到表示的点吗？如图，将两个边长为1的正方形分别沿它的对角线剪开，得到四个等腰直角三角形，即可拼成一个大正方形容易知道，这个大正方形的面积是2，所以大正方形的边长为这就是说，边长为1的正方形的对角线长是，利用这个事实，我们容易在数轴上画出表示的点

16、，如图所示：例1 试估计+与的大小关系说明：正实数的大小比较和运算,通常可取它们的近似值来进行提问：若将本题改为“试估计(+)与的大小关系” ，如何解答?例2 如果将所有的有理数都标到数轴上，那么数轴被填满了吗?如果再将所有的无理数都标到数轴上，那么数轴被填满了吗?答如果将所有的有理数都标到数轴上，数轴未被填满；如果再将所有无理数都标到数轴上，那么数轴被填满四、交流反思数轴上的任一点表示的数，不是有理数，就是无理数数学上可以说明，数轴上的任一点必定表示一个实数；反过来，每一个实数也都可以用数轴上的点来表示换句话说，实数与数轴上的点一一对应五、作业P11 1.2.312.2实数与数轴（2）知识技

17、能目标1.了解有理数的相反数和绝对值等概念、运算法则和运算律在实数范围内仍然适用； 2.能利用运算法则进行简单运算教学重点与难点有理数中的相反数、倒数和绝对值等概念与运算法则和运算律在实数范围内仍成立，让学生体会到这是一种知识的迁移教学过程一、创设情境1.复习提问：(1)用字母来表示有理数的乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律(2)用字母表示有理数的加法交换律和结合律(3)平方差公式？完全平方公式？(4)有理数的相反数是什么？不为0的数的倒数是什么？有理数的绝对值等于什么？ 二、探究归纳在实数范围内，有关有理数的相反数、倒数和绝对值等概念、大小比较、运算法则及运算律仍然适用三、实践应用例1 计算

18、：（结果精确到0.01）分析 对于实数的运算,通常可以取他们的近似值来进行解 用计算器求得0.778539072, 于是0.778539072, 所以1.5707963270.778539072 0.792257255四、交流反思1.一个数的绝对值就是这个数在数轴上表示的点到原点的距离；2.互为相反数的两数在数轴上表示的点在原点两侧且到原点的距离相等（除0以外）；3.从有理数扩大到实数，有理数的运算法则和运算律适用于实数五、作业1.借助计算器计算下列各题：(1)；(2)；(3)；(4).仔细观察上面几道题及其计算结果，你能发现什么规律？你能解释这一规律吗？与同学交流一下想法并用所发现的规律直接

19、写出下面的结果：单元复习（1）知识技能目标1.理解并掌握平方根和算术平方根、立方根的意义； 2.理解并掌握二次根式的意义和基本性质；3.掌握二次根式乘法和除法运算法则，并能熟练应用.教学重点与难点经历本章知识结构图的认识过程，体会数学知识的前后连贯性，体验综合应用学过的数学知识解决问题的方式和方法.教学过程一、创设情境本章知识结构如图所示：实数无理数实际问题平方立方平方根立方根算术平方根二、探究归纳1.平方根和算术平方根的意义：(1)如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根；(2)正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根；(3)一个正数有两个平方根，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没

20、有平方根.(4)求一个非负数的平方根的运算，叫做开平方，它与平方运算互为逆运算2.立方根的意义：(1)如果一个数的立方等于a，那么这个数就叫做a的立方根(2)求一个数的立方根的运算，叫做开立方，与立方运算互为逆运算(3)任何数都有立方根.三、实践应用例1 填空：(1)的平方根是 ，的算术平方根是 ；(2) 的平方等于，的算术平方根是 .解 (1)，3；(2)，.例2 已知，y是的正的平方根，求代数式的值.解 由题意可得 当时，当时，四、交流反思1.平方根和算术平方根、立方根的意义； 五、作业根据表格中所给信息填空；2. 将下列各数按从小到大的顺序重新排成一列：3.平方根等于本身的数是 ；立方根

21、等于本身的数是 ；算术平方根等于本身的数是 .单元复习（2）知识技能目标1.理解二次根式加减的实质就是合并同类二次根式.能熟练地进行二次根式的加减运算； 2.理解并掌握实数、无理数的意义，并能正确识别有理数和无理数；3.正确理解实数与数轴上的点的一一对应关系.教学重点与难点经历实数分类的复习过程，进一步体验数学中的分类和类比思想，从数轴上的点与实数的关系中体会数形结合是研究数学问题的重要方法.教学过程一、创设情境复习：1.无限不循环小数叫做无理数2有理数与无理数统称为实数3.实数与数轴上的点一一对应，即数轴上的任一点必定表示一个实数；反过来，每一个实数（有理数或无理数）也都可以用数轴上的点来表

22、示二、实践应用例1 对实数进行分类.解 例2 将下列实数按从小到大的顺序排列，并用“”连接.，0，.解 0例3 数a、b在数轴上的位置如图所示：化简：解 由图可得：-2a-1, 1b2，所以 a+10, b-10, a-b0，=-2三、交流反思1.无限不循环小数叫做无理数，有理数与无理数统称为实数；2.实数与数轴上的点一一对应，即数轴上的任一点必定表示一个实数；反过来，每一个实数（有理数或无理数）也都可以用数轴上的点来表示四、作业1.填空：若 ，则 ，的相反数是 ，的绝对值是 ，2.把下列各数填入相应的大括号内：，3，0，3.1415 , , , , , 1.121221222122221 （两个1之间依次多个2）(1)正数集合： ；(2)负数集合： ；(3)无理数集合： ；(4)非负数集合： .3.一个正方体的体积为285，求这个正方体的表面积（结果保留3个有效数字）.4.将下列实数按从小到大的顺序排列，并用“”连接.