第三章静电场中的电介质习题及答案

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1、 第三章 静电场中的电介质一、判断题1、当同一电容器内部充满同一种均匀电介质后，介质电容器的电容为真空电容器的倍。2、对有极分子组成的介质，它的介电常数将随温度而改变。3、在均匀介质中一定没有体分布的极化电荷。（内有自由电荷时，有体分布）4、均匀介质的极化与均匀极化的介质是等效的。5、在无限大电介质中一定有自由电荷存在。6、如果一平行板电容器始终连在电源两端，则充满均匀电介质后的介质中的场强与真空中场强相等。7、在均匀电介质中，如果没有体分布的自由电荷，就一定没有体分布的极化电荷。8、在均匀电介质中，只有为恒矢量时，才没有体分布的极化电荷。 =恒矢量 9、电介质可以带上自由电荷，但导体不能带上

2、极化电荷。10、电位移矢量仅决定于自由电荷。11、电位移线仅从正自由电荷发出，终止于负自由电荷。12、在无自由电荷的两种介质交界面上，线不连续。(其中，为自由电荷产生的电场，为极化电荷产生的电场)13、在两种介质的交界面上，当界面上无面分布的自由电荷时，电位移矢量的法向分量是连续的。14、在两种介质的交界面上，电场强度的法向分量是连续的。15、介质存在时的静电能等于在没有介质的情况下，把自由电荷和极化电荷从无穷远搬到场中原有位置的过程中外力作的功。16、当均匀电介质充满电场存在的整个空间时，介质中的场强为自由电荷单独产生的场强的分之一。二、选择题1. 一平行板真空电容器，充电到一定电压后与电源

3、切断，把相对介质常数为的均匀电介质充满电容器。则下列说法中不正确的是：（A） 介质中的场强为真空中场强的倍。（B） 介质中的场强为自由电荷单独产生的场强的倍。（C） 介质中的场强为原来场强的倍。（D） 介质中的场强等于真空中的场强。D2. 如果电容器两极间的电势差保持不变，这个电容器在电介质存在时所储存的自由电荷与没有电介质（即真空）时所储存的电荷相比(A)增多 （B）减少 （C）相同 （D）不能比较A3. 在图中，A是电量的点电荷，B是一小块均匀的电介质，都是封闭曲面，下列说法中不正确的是：（A）（B）（C）（D）D4. 在均匀极化的电介质中，挖出一半径为r，高度为h的圆柱形空腔，圆柱的轴平

4、行于极化强度垂直，当hr时，则空腔中心的关系为：（A）（B）（C）（D）C5. 在均匀极化的，挖出一半径为r，高度为h的圆柱形空腔，圆柱的轴平行于极化强度垂直，当hr时，则空腔中心的关系为：（A）（B）（C）（D）B6. 一个介质球其内半径为R，外半径为R+a，在球心有一电量为的点电荷，对于RrR1时E=0 当时所以当时所以13、今有A、B、C三导体板互相平行地放置，AB、BC之间的距离均为d.BC之间充满相对介电常数为的介质，AB之间为真空，今使B板带+Q，试求各导体板上的电荷分布。忽略边缘效应。解：A、B板和B、C板各组成电容器，其电容分别为 取垂直B板的圆柱形高斯面，如图所示，根据高斯定

5、理得由D的法线连续性 D1=D2=D得 再根据 得由此可得AB之间和BC之间的电势差为 A、B极板所带电量为B、C极板所带电量为由电荷守恒定律知A 、C板的内侧带-Q/2 电荷，外侧带Q/2电荷。B板两侧各带Q/2电荷。14、在一块均匀的瓷质大平板表面处的空气中，电场强度为E的大小为220V/cm，其方向是指向瓷板且与它的表面法线成角。设瓷板的相对介电常数，求：（1）瓷板中的场强；（2）瓷板表面上极化电荷面密度。 解：均匀极介板内无极化电荷，设表面上极化电荷的面密度为，如图13-1所示。在板内，极化电荷产生的电场强度为式中为表面外法线方向上的单位矢量 根据场强叠加原理，板内的电场强度为以上三者

6、关系如图13-2所示，由图可知极化电荷电密度为 图13-1 整理上式得 将已知数据代入式得 图13-2 15、在相对介电常数为的煤油中，离煤油表面深度h处，有一带正电的点电荷q，如将煤油看作为无限大均匀介质，：求（1）在煤油表面上，该电荷的正上方A点处的极化电荷面密度；（2）在煤油表面与点电荷相距r处的B点的极化电荷面密度；（3）煤油表面极化电荷的总量。解：（1）在点电荷q的周围将出现负的极化电荷，煤油表面出现正的极化电荷。（如图）在煤油表面A点，极化电荷面密度最大，随着离A的距离增加，极化电荷面密度迅速减少，A点附近的液面两边的场强法向分量，可用叠加原理求得在空气中在煤油中由边界条件，即，得

7、整理上式得2）同理，B点附近的液面两边场强法向分量为在空气中在煤油中由边界条件，得整理上式得 3）以A点为圆心，在液面上距A为处选一小圆环，设小圆环边缘离q的间距为r。显然，小圆环面积，小圆环上极化电荷为 所以16、两个相同的空气电容器，电容都是900uF，分别充电到900V电压后切断电源，若把一个电容器浸入煤油中，（煤油的介电常数=2.0），再将两电容并联。 （1）求一电容器浸入煤油过程中能量的损失； （2）求两电容器并联后的电压； （3）求并联过程中能量的损失。 （4）问上述损失的能量到那里去了？ 解：（1）电容器极板上的电量为 电容器在空气中的储蓄的能量为 能量损失为 （2）并联后总电容

8、为并联后总电量为 所以并联后电压为 （3）并联前的能量： 并联后的能量：并联过程中的能量损矢为 4）损失的能量转化为介质的动能，最后通过磨擦转化为热能（内能）。17、一平行板电容器的极板面积为S，间距为d（d2R2，在R1和之间的空间填满长为L、相对介电常数为的圆筒形均匀电介质，其余的容积是空气间隙，如图18-1所示。假设电容器两极与一电源相连而维持其电势差为U，试求将介质圆筒抽出该电容器所需作的机械功？解：把圆住形电容器看成两个电容器串联而成，如图18-2所示根据圆柱形电容器电容公式知，每个电容器电容为根据电容器串联性质得 图18-1所以，总电容为 图18-2当介质抽出距离时，如图18-3所

9、示，把电容器看作两个电容器并联，如图18-4所示其中所以 图18-3电容器储存的能量为由虚功原理得 图18-4外力作功为 = 另解：介质全部抽出时，电容器的能量为介质未抽出时，电容器的能量为根据功能关系知，全部抽出介质时，外力所作的机械功为19、一平行板电容器由两块平行的矩形导体平板构成，平板宽为b,面积为S，两板间距为d，设两极板间平行地放一块厚度为t、大小与极板相同、相对介电常数为的电介质平板，两极板所带的电量分别为+Q和-Q。现将介质平板沿其长度方向从电容器内往外拉，以至它只有长度为x的一段还留在两板之间。（1）问这时介质平板受到的电场力的方向如何？（2）试证明，这时介质平板受到的电力为

10、 其中（忽略边缘效应）解：（1）在电场中电介质被极化，其表面上产生极化电荷。在平行板电容器的边缘，由于边缘效应，电场是不均匀的，场强对电介质中正负电荷的作用力都有一个沿板面向右的分量，因此，电介质将受到一个向右的合力（2）电容器由两部分并联而成，这两部分的电容分别为电容器的电容为其中电容器所储蓄的静电能为量由虚功原理知，作用在介质片上的力为20、一半径为R的电介质球，球内均匀地分布着自由电荷，体密度为，设介质是线性、各向同性和均匀的，相对介电常数为，求（a）电介质球内的静电能；（b）这一带电系统的总静电能。解：（a）根据对称性和高斯定理得球内外的电位移矢量和电场强度分别为电介质球内的静电能为（

11、b）带电系统的总静电能为 21、平行板空气电容器两极板A、B相距为，竖直地插在相对介电常数为、密度为的均匀液态电介质中（如图21-1所示），两极板间保持着一定的电势差U，则液态电介质在两板间会上升一定高度h，若不计表面张力作用，试求作用在液体电介质表面单位面积上的平均牵引力T和液面上升的高度h。解：带电的平行板电容器插入液态电介质中使液体沿与平板电容器两板的分界面产生极化电荷，在静电吸引力作用下液体被吸上来，直至液体重力与静电吸引力平衡为止。如图21-2所示，高度为h的液态电介质所受到的重力为电容器是由两部分并联组成，设介质进入极板间的高度为时，两部分的电容分别为 ， 电容器的电容为电容器储能

12、为 由虚功原理知，静电力作功为 图21-1根据平衡条件得 整理上式介质的高度为 图21-2作用在液态电介质表面单位面积上的平均牵引力为22、当用高能电子轰击一块有机玻璃时，电子渗入有机玻璃并被内部玻璃所俘获。例如，当一个0.5的电子束轰击面积为25cm2、厚为12mm的有机玻璃板（相对介电常数）达1s，几乎所有的电子都渗入表面之下约57mm的层内。设这有机玻璃板的两面都与接地的导体板接触，忽略边缘效应，并设陷入的电子在有机玻璃中均匀分布，如图22-1所示。（1）求带电区的极化电荷的密度；（2）求有机玻璃表面的极化电荷密度；（3）画出D、E、（电势）作为电介质内部的位置函数的图形；（4）求带电层

13、中心的电势；（5）求在两接地导体板之间的没有电荷区域内的场强；（6）求这有机玻璃板里贮存的静电能。解（1）由电流强度定义知 带电区电荷体密度为 图22-1如图22-2所示在带电区内作柱形高斯面，坐标原点在对称中心，由高斯定理得层内任一点处的值为 图22-2取，得带电层表面处的极化强度为带电层表面极化电荷面密度为（2）作一个包围带电层的柱形高斯面，如图22-2所示，由高斯定理得有机玻璃表面的极化电荷面密度为(3)带电层内任一点电势为带电层外任一点电势为随x变化规律曲线如图22-3所示图22-3（4）取x=0代入式得，带电层中心处的电势为(5)由式得带电层外的场强为(6)有机玻璃内贮存的静电能为2

14、3、在一无限大均匀介质内，挖出一无限长圆柱形真空区，圆柱形的横截面半径为R。设介质内场强E均匀，且与圆柱形轴线垂直，求圆柱形轴线上的一点的场强。 解：介质在与真空的分界面上出现极化电荷，轴线上一点O的场强是介质中场强和极化电荷在轴线上O点的场强的矢量和。极化电荷面密度为 （为极化强度，n为表面法线方向）如图所示，取一宽度为的无限长带电线，其上电荷线密度为 该带电线在轴线上产生的场强为极化电荷在轴线上产生的场强为所以轴线上一点的总场强为24、一平行板电容器两极板间距为d，其间放置一块厚度为t的介质平板，板面与极板成倾角，介质的相对介电常数为，若两极分别带上面密度为的电荷，试求两极板间的电势差。（

15、设倾角为较小，边缘效应可以忽略）解：设两极板的边长为和的长方形，建立坐标如图所示，上、下两板一小面积构成平行板电容器，该电容器看成由两个电容器串联而成，其中一个是空气，另一个是介质，每个电容器中电容分别为根据电容器串联性质得式中为极板面积 极板上电量为极板间的电势差为 图24-125、半径为R1的半导体球，一半浸没在相对介电常数为的半无限而均匀的液体介质中，另一半露在真空中，若此导体球所带的电量为Q，（1）证明：导体球外任一点的电场强度均沿求的径向；（2）求出导体球表面上的面电荷分布解：（1）如果导体球外任一点的电场强度不沿径向则上半球和下半球表面电荷分布将不均匀。它们在球心处产生的合场强不为

16、零，这与导体球内场强为零相矛盾。故球外任一点的场必沿径向（2）导体球与无限远处构成球形电容器如图所示根据球形电容器的电容公式有：当时根据上式得半球形电容器的电容为：本题中的球形电容器可看作是两个半球形电容器并联而成。其中一个是空气，别一个是介质，每个半球形电容器电容为根据电容并联性质得，电容器的总电容，总电压分别为两个半球形电容器所带电量分别为两个半球表面上的电荷面密度分别为26、两导体球，半径均为R，球心间距为d，有一均匀电场E0，其方向垂直于两球心的联线，假设Rd，球两球之间的相互作用力。解： 图26-1 图26-2设导体球表面的感应电荷为余弦分布，如图26-1所示，在球内产生的附加电场为

17、，则附加电场与外电场抵消（不考虑另一导体球感应电荷影响），使球内场强为零满足静电平衡条件。由此得在球外可将余弦分布的带电球壳等视为偶极子，如图26-2所示，其电偶极矩为电偶极子处产生场强电偶极子中具有的电势能（之间的相互作用能）为两球间的相互作用力为27、一半径为R的导体球浮在某种介质溶液中，导体球的质量密度为，介质溶液的相对介电常数为，质量密度为，且，试用计算必须在此导体球上放置多少电量的电荷，才能使它正好有一半浸没在介质溶液中。解：设导体球放置电量为Q的电荷时，它正好一半浸没在介质溶液中。导体球在介质溶液中受到三个力的作用即导体球自身的重力、导体球受到的浮力和极化电荷对它的吸力，如图27-

18、1所示，处于平衡状态时，有导体球所受浮力为导体球所受到的重力为 图27-1为了球极化电荷对导体球的吸力为，先求极化电荷密度，导体球表面各介质表面电荷分布如图27-2所示，作球面为高斯面，根据高斯定理得 图27-2 在介质交界面上有由、式得极化电荷密度为极化电荷为半球面分布，在球心处产生的场为极化电荷对导体球的吸力为将、式代入式得整理得28、有一半径为a,相对介电常数为的均匀介质小球，与另一半径为b，电势为的导体小球相距为r(ra、b)。求介质小球受力的近似表达式。 解：设导体球带电量为，由高斯定理得 导体球的电势为由此得导体球所带电量为导体球在介质球处产生的场可视为匀强场，即在介质球心处产生的

19、场强为介质球在均匀外场作用下发生极化，设极化强度为，极化电荷为余弦分布，即极化电荷在介质球内产生的场强为介质球内总场强为介质极化强度为所以介质球的等效电偶极矩为介质球的等效电偶极矩与外场之间的相互作用能为介质球外场中所受的力为29、两均匀带有等量异号电荷的无限大平面导体板之间放一均匀的介质球，球的半径为R极化率为 ，求球内的场强，假定介质球离两平板都相当远，球处在场中时，带电板上的电荷仍然均匀分布，因此，自由电荷单独产生的场仍是均匀场。解法1：分步极化法设想介质球的极化是分若干阶段进行的，最终达到静电平衡。在介质球刚放在电场中瞬时，极化电荷尚未形成，因而介质球内的场强就是外场，它使球均匀极化，

20、极化强度为由引起的极化电荷在球内所产生的附加场强为附加电场引起的附加极化，附加的极化强度为附加的极化强度产生的附加场强为附加场强又引起新的附加极化，这样的过程一步一步继续下去，在第n步，附加极化强度为于是介质球内的场强等于自由电荷的场强和附加场强之总和，即根据 得以上能求得正确结果是因为均匀球内部的场是均匀的，而且介质的极化率应比较小，同时极化不影响自由电荷的分布。解法2：均匀的介质球在均匀电场中的极化是均匀的，而均匀极化的介质球表面的极化面电荷在球内单独产生的场强为即是与极化强度的方向相反的均匀电场，若介质中的场强为，则于是所以30、半径为a金属球，带有电量q0，球外紧贴一层厚度为b，相对介

21、电常数为的均匀固体电介质，固体电介质外充满相对介电常数为的均匀气体电介质，假定，讨论下列各问题：电位移矢量，电场强度，极化强度，电荷分布，电势。解：（1）空间各点的电位移矢量由球对称，作高斯面，用介质中的高斯定理可求出空间各点的电位移矢量在金属球内，在固体介质内，在气体介质内，（2）空间各点的电场强度在金属球内，在固体介质内，在气体介质内，（3）空间各点的极化强度在金属球内，在固体介质内，在气体介质内（4）电荷分布在金属球表面上自由电荷分布在固体介质与金属球的交界面上极化电荷分布在两种介质的交界面上极化电荷分布（5）空间各点的电势金属球的电势为固体介质中任一点的电势为气体介质中任一点的电势为各

22、物理量分布情况如图所示。31、设有一驻极体（具有永久极化的特殊介质）制成的球，半径为 R，其永久极化强度为P0为恒量，若取的方面为z轴，试求z轴上的电位移矢量，设原点在球心上。解：均匀极化的介质球在Z轴上所产生的场强，在球内和球外分别为在球内由 关系得在球外由 （球外为真空）关系得计算结果表明：即使没有自由电荷，也不为零，说明与极化电荷并不是无关系的。与的关系如图所示。设空间为两种不同的均匀电介质所充满，两种介质的交界面是一个平面，在交界面上有一个电量量q的点电荷，试求空间各点的电场强度和电移矢量。解：由于点电荷位于界面上，在两介质的交界面上，电场强度只有切向分量，即，因而，除点电荷所在处外，

23、分界面上无极化电荷分布，在点电荷与介质的“交界面”上，将出现极化电荷，这个极化电荷是与点电荷重合在一起的点电荷，设极化电荷的电量为，由于电量为的点电荷激发的电场具有球对称性，其场强为由物态方程，得由介质中的高斯定理，得由此得即于是32、研究介质的介电性与导电性，电阻和电容的关系。设想在两导体之间充满某种各向同性的均匀电介质，其相对介电常数为 ，使两导体带等量异号的电荷，如图（a）所示，试求这导体组的电容。另一是作为电阻使用，设想在导体之间充满某种各向同性的，均匀的欧姆导电介质，其电导率为v使两导体之间维持一恒定的电势差，其值与这两导体作电容器时的电势差相等，如图（b）如示，试求这导体组的电阻。

24、解：在第一种情况中，两导体构成两个等势面，其间存在静电场，两导体间的电势差为导体上的电量为导体组的电容为在第二种情况中，两导体也构成两个等势面，其间存在稳恒电场，两导体间的电势差为而电流由欧姆定律，导体组的电阻为比较两个结果得一切实际的电介质总有一定的电导率，任何导体也都具有介电常数。其实际介质中的电容与相应电阻之间满足上式关系。33、两块大金属板相距（a+b)，其间充满两种均匀导电介质，介质的介电常数和导电率分别为，厚度分别为a和b，如图（a）。在t=0时刻，突然将一恒定的电压U加于两电极间，求两介质中的电场，电流密度及交界面上的电荷分布随时间的变化。解：当两极板间加上电压后，就在其间形成电

25、场，假定介质的极化过程十分迅速，在介质中立刻建立起静电场，但在两种介质的交界面上，尚无面分布的自由电荷，因此在交界面上，静电场满足电位移矢量法向边界条件，即或但由上两式解得 图（a） 由于介质有导电性，在电场作用下会形成电流。在t=0时刻，两种介质中的电流密度各为由于 ，于是在两种介质的交界面上会积累起电荷，积累起来的电荷所造成的附加电场必定削弱电流密度较大一方的电场，增强电流密度较小一方的电场。随着电荷积累的增多，电流密度大的一方电流逐渐减弱，小的一方电流逐渐增强，直到电流密度相等后，才达到稳定。设想在界面附近作一圆柱形的封闭曲面，使底面与交界面平行，如图（b）所示。把电流连续性方程应用于这

26、一封闭曲面，并注意到高斯定理，得 图（b） 或 但 消去得 令 上式变为解此方程得其中A为积分常数，可由初始条件求得。 ，得于是得同理电流密度为界面上的电荷密度为 图（C）达到稳定值。此时有 ，电流密度法向连续。 和时，D、E、j的空间分布如图(c)所示。34、计算把均匀的电介质插入带电平行电容器前后电容器的电容，极板上的电量，两极间的电势差，电容器的能量以及插入过程外力所作的功。假定介质片正好充满电容器介质的相对介电常数为。解：当介质片刚从电容器边缘插入电容器时，电容器边缘的电场分布发生的畸变，介质被极化，如图所示。如果没有外力作用于介质片使之徐徐移入电容器，则介质片在电场力的作用下将获得加

27、速度。当介质片正好全部进入电容器时，场的畸变消失，但介质片具有动能，介质片将在电容器中振荡，直到它的全部机械能消耗完为止。（1）保持电压恒定（电容器接在电池两端），设电容器极板的面积为S，两极之间的距离为L。电介质插入前有关物理量分别为电介质插入后有关物理量分别为电介质插入前后电容器极板上的电量和电容器的储能变化为在介质片插入电容器的过程中，电池作的功为即电池作的功为电容器所增加能量的两倍，其中一半用于增加电场能，一半为电场对于电介质板所作的机械功（2）保持电量恒定（充电后与电池切断）电介质插入前有关物理量分别为电介质插入后有关物理量分别为电介质插入前后电容器的储能变化为电场对于电介质板所作的机械功为