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1、第三节函数的奇偶性与周期性总纲目录教材研读1.函数的奇偶性考点突破2.奇（偶）函数的性质3.周期性考点二函数周期性的判断与应用考点二函数周期性的判断与应用考点一函数奇偶性考点三函数性质的综合问题考点三函数性质的综合问题1.函数的奇偶性函数的奇偶性教材研读教材研读奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么函数f(x)是偶函数关于y轴对称奇函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)=-f(x),那么函数f(x)是奇函数关于原点对称2.奇奇(偶偶)函数的性质函数的性质(1)奇(偶)函数的定义域关于原点对称.(2)奇函数在关于原点
2、对称的区间上的单调性相同,偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反.(3)在公共定义域内(i)两个奇函数的和是奇函数,两个奇函数的积是偶函数.(ii)两个偶函数的和、积都是偶函数.(iii)一个奇函数,一个偶函数的积是奇函数.(4)若函数f(x)是奇函数且在x=0处有定义,则f(0)=0.与函数奇偶性有关的结论与函数奇偶性有关的结论(1)如果函数f(x)是偶函数,那么f(x)=f(|x|).(2)既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型,即f(x)=0,xD,其中定义域D是关于原点对称的非空数集.(3)偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值,取最值时的自变量互为相反数;奇函数在关于原点
3、对称的区间上的最值互为相反数,取最值时的自变量也互为相反数.3.周期性周期性(1)周期函数周期函数:对于函数y=f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的任何值时,都有f(x+T)=f(x),那么就称函数y=f(x)为周期函数,称T为这个函数的周期.(2)最小正周期最小正周期:如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.有关周期函数的几个常用结论有关周期函数的几个常用结论周期函数y=f(x)满足:(1)若f(x+a)=f(x-a),则函数的周期为2|a|;(2)若f(x+a)=-f(x),则函数的周期为2|a|;(3)若f(x+
4、a)=-,则函数的周期为2|a|;(4)若f(x+a)=,则函数的周期为2|a|;(5)若函数f(x)的图象关于直线x=a与x=b对称,则函数f(x)的周期为2|b-a|;(6)若函数f(x)的图象既关于点(a,0)对称,又关于点(b,0)对称,则函数f(x)1( )f x1( )f x的周期是2|b-a|;(7)若函数f(x)的图象既关于直线x=a对称,又关于点(b,0)对称,则函数f(x)的周期是4|b-a|;(8)若函数f(x)是偶函数,其图象关于直线x=a对称,则其周期为2|a|;(9)若函数f(x)是奇函数,其图象关于直线x=a对称,则其周期为4|a|.1.(2018北京东城期末)下
5、列函数中为偶函数的是()A.y=(x-2)2B.y=|lnx|C.y=xcosxD.y=e-|x答案答案D偶函数需具备:定义域关于原点对称;满足f(-x)=f(x),只有D项符合,故选D.D2.(2017北京朝阳期中)下列四个函数中,在其定义域上既是奇函数又是单调递增函数的是()A.y=x-1B.y=tanxC.y=x3D.y=-2x答案答案CA.y=x-1是非奇非偶函数,不符合题意.B.y=tanx是奇函数,但在定义域上不是单调函数,不符合题意.C.y=x3是奇函数,在定义域上为增函数,符合题意.D.y=-是奇函数,在定义域上不是单调函数,不符合题意.故选C.2xC3.(2016北京东城二模
6、)已知函数g(x)=f(x)-x是偶函数,且f(3)=4,则f(-3)=()A.-4B.-2C.0D.4答案答案Bg(x)=f(x)-x是偶函数,g(x)=g(-x).Bg(3)=f(3)-3=4-3=1,g(-3)=f(-3)-(-3)=1.f(-3)=-2.4.(2018北京海淀期中)已知函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数,当0 x1时,f(x)=,则f+f(0)=.1x52答案答案-2解析解析函数f(x)是定义在R上的奇函数,f(0)=0,f=-f.函数f(x)的周期为2,f=f=2.f+f(0)=-2.5252521252-25.若函数f(x)=ax2+bx+3a+b是偶函数,
7、定义域为a-1,2a,则a=,b=.答案答案;013解析解析因为偶函数的定义域关于原点对称,所以a-1=-2a,解得a=.由函数f(x)=x2+bx+b+1为偶函数,结合偶函数图象的特点(图略),易得b=0.13136.(2015北京东城一模)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x0时,f(x)的解析式为,不等式f(x)0时,-x0,f(-x)=x2-4,又f(-x)=-f(x),f(x)=-x2+4;当x0时,f(x)=x2-40,-2x2,-2x0时,f(x)=-x2+40,x2,x2,不等式f(x)g(1),则x的取值范围是()A.(0,10)B.(10,+)C.D.(10,+)1,
8、101010,10D答案答案D解析解析g(x)=f(|x|),g(-x)=f(|-x|)=f(|x|)=g(x),g(x)为偶函数.又f(x)在(0,+)上为增函数,g(x)在(-,0)上为减函数,在(0,+)上为增函数,当|x|越大时,g(x)越大,若g(lgx)g(1),则|lgx|1.lgx1或lgx10或0 x0时,f(x)=ex,则f(-1)=()A.B.-C.eD.-e1e1e答案答案D函数f(x)是奇函数,f(-1)=-f(1)=-e.D1-3函数f(x-1)是R上的奇函数,x1,x2R,(x1-x2)f(x1)-f(x2)0,则f(1-x)0的解集是()A.(-,0)B.(0,
9、+)C.(-,2)D.(2,+)答案答案C由于函数f(x-1)是R上的奇函数,故有f(-x-1)=-f(x-1),令x=0,则有f(-1)=-f(-1),于是有f(-1)=0.x1,x2R,(x1-x2)f(x1)-f(x2)0,则函数f(x)在R上单调递减,不等式f(1-x)0等价于f(1-x)-1,解得x2,故选C.C典例典例3(1)设f(x)是定义在R上的周期为3的函数,当x-2,1)时,f(x)=则f=()A.0B.1C.D.-1(2)设定义在R上的函数f(x)满足f(x+2)=f(x),且当x0,2)时,f(x)=2x-x2,则f(0)+f(1)+f(2)+f(2016)=.242,
10、 20,01,xxxx 5212考点二函数周期性的判断与应用考点二函数周期性的判断与应用答案答案(1)D(2)1008解析解析(1)因为f(x)是周期为3的周期函数,所以f=f=f=4-2=-1,故选D.(2)f(x+2)=f(x),函数f(x)的周期T=2,又当x0,2)时,f(x)=2x-x2,所以f(0)=0,f(1)=1,所以f(0)=f(2)=f(4)=f(2016)=0,f(1)=f(3)=f(5)=f(2015)=1.故f(0)+f(1)+f(2)+f(2016)=1008.5213212212规律总结规律总结判断函数周期性的几个常用结论若对于函数f(x)定义域内的任意一个x都有
11、:(1)f(x+a)=-f(x)(a0),则函数f(x)必为周期函数,2|a|是它的一个周期;(2)f(x+a)=(a0,f(x)0),则函数f(x)必为周期函数,2|a|是它的一个周期;(3)f(x+a)=-(a0,f(x)0),则函数f(x)必为周期函数,2|a|是它的一个周期.1( )f x1( )f x2-1已知f(x)是定义在R上的偶函数,并且满足f(x+2)=,当2x3时,f(x)=x,则f(105.5)=.1( )f x答案答案2.5解析解析由f(x+2)=得f(x+4)=f(x+2)+2)=f(x),f(x)是以4为周期的周期函数.f(105.5)=f(264+1.5)=f(1
12、.5)=f(-2.5+4)=f(-2.5).f(x)为偶函数,且当2x3时,f(x)=x,f(105.5)=f(-2.5)=f(2.5)=2.5.1( )f x1(2)f x11( )f x2.5考点三函数性质的综合问题考点三函数性质的综合问题典例典例4(2016北京东城(上)期中)定义在R上的函数f(x)满足f(-x)=f(x),对于任意x1,x20,+),0(x2x1),则()A.f(-1)f(-2)f(3)B.f(3)f(-1)f(-2)C.f(-2)f(-1)f(3)D.f(3)f(-2)f(-1)2121()()f xf xxx答案答案D解析解析由f(-x)=f(x)得f(x)为偶函
13、数,所以f(-2)=f(2),f(-1)=f(1),对于任意x1,x20,+),0,所以当x0时,f(x)为减函数,所以f(3)f(2)f(1),即f(3)f(-2)f(-1),故选D.2121()()f xf xxxD方法技巧方法技巧(1)利用函数性质求值的关键是利用函数的奇偶性、对称性以及函数的周期性将自变量转化到指定区间内,然后代入函数解析式求值;(2)利用函数性质解不等式问题,主要利用函数的奇偶性与单调性等将函数值的大小关系转化为自变量之间的大小关系求解.3-1(2016广东广州模拟)已知f(x)在R上是奇函数,且满足f(x+4)=f(x),当x(0,2)时,f(x)=2x2,则f(7)=()A.-2B.2C.-98D.98答案答案A因为f(x+4)=f(x),所以函数f(x)的周期为4,所以f(7)=f(7-8)=f(-1),又因为f(x)为奇函数,且当x(0,2)时,f(x)=2x2,所以f(7)=f(-1)=-f(1)=-2,故选A.A答案答案x|-1x0或0 x13-2(2015北京房山期末)已知奇函数f(x)在(0,+)上为增函数,且f(1)=0,则不等式0的解集为(-1,0)(1,+),f(x)0的解集为(-,-1)(0,1),由0等价于或解得-1x0或0 x1.( )f xx0,( )0 xf x0,( )0,xf xx|-1x0或或0 x1
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