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1、 【名师面对面】20xx届数学一轮知识点讲座：考点50几何证明选讲（解析版）加（*）号的知识点为了解内容，供学有余力的学生学习使用一.考纲目标平行线截线段成比例定理和相似三角形的判定定理；圆的几何性质和直线与圆的位置关系.二.知识梳理1平行线等分线段定理如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等论1：经过三角形一边的中心与另一边平行的直线必平分第三边推论2：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰2平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例3相似三角形的判定
2、(1)定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形(2)预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似(3)判定定理1：两角对应相等，两三角形相似(4)判定定理2：两边对应对应成比例且夹角相等，两三角形相似(5)判定定理3：三边对应成比例，两三角形相似4直角三角形相似的判定定理1：如果两个直角三角形有一个锐角角对应相等，那么它们相似定理2：如果两个直角三角形的两条直角边边对应成比例，那么它们相似定理3：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似5相似三角形的性质(1)相
3、似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比(2)相似三角形周长的比等于相似比(3)相似三角形面积的比等于相似比的平方(4)相似三角形外接圆的直径比、周长比等于相似比，外接圆的面积比等于相似比的平方6直角三角形的射影定理定理：直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的比例中项7圆周角定理圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半8圆心角定理圆心角的度数等于它所对弧的度数推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90的圆周角所对的弦是直径9圆内接四边
4、形的性质与判定(1)性质定理1：圆的内接四边形的对角互补(2)性质定理2：圆内接四边形的外角等于它的内对角(3)判定定理：如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆(4)判定定理的推论：如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆10圆的切线的性质与判定(1)性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径(2)推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点(3)推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心(4)判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线11弦切角定理弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角12与圆有关的比例线段(1)相交弦定理圆内的两条相交弦，
5、被交点分成的两条线段长的积相等，如上图，弦AB与CD相交于P点，则PAPBPCPD文字叙述从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等图形表示如图，O的割线PAB与PCD，则有：PAPBPCPD.(2)切割线定理文字叙述从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项图形表示如上图，O的切线PA，切点为A，割线PBC，则有PA2PBPC. (3)切线长定理从圆外一点引圆的两条切线，它们的长度相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角三精选例题例1.如图18，O和O相交于A，B两点，过A作两圆的切线分别交两圆于C，D两点，连结DB并延长交O
6、于点E.证明：(1)ACBDADAB；(2)ACAE.图18证明：(1)由AC与O相切于A，得CABADB，同理ACBDAB，所以ACBDAB.从而，即ACBDADAB.(2)由AD与O相切于A，得AEDBAD，又ADEBDA，得EADABD.从而，即AEBDADAB.结合(1)的结论，得ACAE.例2.如图17，AB是圆O的直径，D，E为圆O上位于AB异侧的两点，连结BD并延长至点C，使BDDC，连结AC，AE，DE.求证：EC.图17证明：如图，连结OD，因为BDDC，O为AB的中点，所以ODAC，于是ODBC.因为OBOD，所以ODBB.于是BC.因为点A，E，B，D都在圆O上，且D，E
7、为圆O上位于AB异侧的两点，所以E和B为同弧所对的圆周角，故EB.所以EC.例3.如图16所示，点D在O的弦AB上移动，AB4，连结OD，过点D作OD的垂线交O于点C，则CD的最大值为_图16解析 因为CD，且OC为O的半径，是定值，所以当OD取最小值时，CD取最大值显然当ODAB时，OD取最小值，故此时CDAB2，即为所求的最大值例4. 正方形ABCD的边长为1，点E在边AB上，点F在边BC上，AEBF.动点P从E出发沿直线向F运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点P第一次碰到E时，P与正方形的边碰撞的次数为()A16 B14 C12 D10解析 取单位长度为7的正方形
8、，(1)直接作出图形可得到结果，如图所示，(2)建立坐标系，取正方形边长为7分单位，计算7次可得第7次时该点的横坐标与E点相同，根据对称性应选择14次例5如图13，ACB90，CDAB于点D，以BD为直径的圆与BC交于点E，则()ACECBADDB BCECBADABCADABCD2 DCEEBCD2解析 本题考查了平面几何圆与三角形，特别是重点考查了射影定理等知识对于A，CECBCD2ADDB；对于B，CECBCD2AC2ADAB；对于C，CD2ADDBADAB；对于D，ED2CEEBCD2.例6. 如图13，过点P的直线与O相交于A，B两点若PA1，AB2，PO3，则O的半径等于_图13
9、解析 设圆的半径为r，由圆的割线定理可得，PAPB(POr)(POr)，把 PA1，PB123，PO3代入求解得39r2，r.例7.如图16，D，E分别为ABC边AB，AC的中点，直线DE交ABC的外接圆于F，G两点若CFAB，证明：(1)CDBC；(2)BCDGBD.证明：(1)因为D，E分别为AB，AC的中点，所以DEBC.又已知CFAB，故四边形BCFD是平行四边形，所以CFBDAD.而CFAD，连结AF，所以四边形ADCF是平行四边形，故CDAF.因为CFAB，所以BCAF，故CDBC.(2)因为FGBC，故GBCF.由(1)可知BDCF，所以GBBD.而DGBEFCDBC，故BCDG
10、BD.例8.如图15，在圆O中，直径AB与弦CD垂直，垂足为E，EFDB，垂足为F，若AB6，AE1，则DFDB_.图15解析 本题考查了射影定理的知识，解题的突破口是找出直角三角形内的射影定理连接AD，在RtABD中，DEAB，所以DE2AEEB5，在RtEBD中，EFDB，所以DE2DFDB5.例9.如图13所示，已知AB和AC是圆的两条弦，过点B作圆的切线与AC的延长线相交于点D.过点C作BD的平行线与圆相交于点E，与AB相交于点F，AF3，FB1，EF，则线段CD的长为_图13解析 本题考查选修41几何证明选讲中圆的性质，考查推理论证及运算求解能力，中档题由相交弦的性质可得|AF|FB
11、|EF|FC|，|FC|2，又FCBD，即BD，由切割定理得|BD|2|DA|DC|4|DC|2，解之得|DC|.例10.如图，D、E分别是ABC的边AB、AC上的点，DEBC且2，那么ADE与四边形DBCE的面积比是()A. B.C.D.答案C解析DEBC，ADEABC，2，2，SADESABC，S四边形DEBCSABC，故选C.例11.如图所示，在ABCD中，BC24，E、F为BD的三等分点，则BMDN()A6B3C2D4答案A 解析E、F为BD的三等分点，四边形为平行四边形，M为BC的中点，连CF交AD于P，则P为AD的中点，由BCFDPF及M为BC中点知，N为DP的中点，BMDN1266，故选A.
最新高考数学理一轮知识点专题讲座：几何证明选讲含答案
