D21导数的概念第9次课

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1、一、引例一、引例二、导数的定义二、导数的定义三、导数的几何意义三、导数的几何意义四、函数的可导性与连续性的关系四、函数的可导性与连续性的关系五、单侧导数五、单侧导数第一节第一节导数的概念导数的概念 第二章 二、导数的定义二、导数的定义定义定义1 . 设函数)(xfy 在点0 x0limxx00)()(xxxfxfxyx0lim)()(0 xfxfy0 xxx存在,)(xf并称此极限为)(xfy 记作:;0 xxy; )(0 xf ;dd0 xxxy0d)(dxxxxf即0 xxy)(0 xf xyx0limxxfxxfx)()(lim000hxfhxfh)()(lim000则称函数若的某邻域内

2、有定义 , 在点0 x处可导可导, 在点0 x的导数导数. 0limxx00)()(xxxfxf运动质点的位置函数)(tfs so0t)(0tf)(tft在 时刻的瞬时速度0t lim0ttv)()(0tftf0tt 曲线)(:xfyC在 M 点处的切线斜率xyo)(xfy CNT0 xMx lim0 xxk)()(0 xfxf0 xx )(0tf )(0 xf 说明说明: 在经济学中, 边际成本率,边际劳动生产率和边际税率等从数学角度看就是导数.例例1. 设)(0 xf 存在, 求极限.2)()(lim000hhxfhxfh解解: 原式0limhhhxf2)(0)(0 xfhhxf2)( 0

3、)(0 xf)(210 xf )(210 xf )x(f0 )( 2 )(0hhxf)(0 xf解解: 因为例例2. 设)(xf 存在, 且, 12)1 () 1 (lim0 xxffx求).1 (f xxffx2)1 () 1 (lim0所以. 2) 1 ( fxfxfx2) 1 ()1 (lim0)() 1 ()(1 (lim210 xfxfx1) 1 (21f三、三、 导数的几何意义导数的几何意义xyo)(xfy CT0 xM曲线)(xfy 在点),(00yx的切线斜率为)(tan0 xf 若,0)(0 xf曲线过上升;若,0)(0 xf曲线过下降;xyo0 x),(00yx若,0)(0

4、 xf切线与 x 轴平行,称为驻点驻点;),(00yx),(00yx0 x若,)(0 xf切线与 x 轴垂直 .曲线在点处的),(00yx切线方程切线方程:)(000 xxxfyy法线方程法线方程:)()(1000 xxxfyy)0)(0 xfxyo0 x,)(0时 xf1111例例3. 问曲线3xy 哪一点有垂直切线 ? 哪一点处的切线与直线131xy平行 ? 写出其切线方程.解解:)(3xy3231x,13132x,0 xy0 x令,3113132x得,1x对应,1y则在点(1,1) , (1,1) 处与直线131xy平行的切线方程分别为),1(131xy) 1(131xy即023 yx故

5、在原点 (0 , 0) 有垂直切线处可导在点xxf)(四、四、 函数的可导性与连续性的关系函数的可导性与连续性的关系定理定理1.处连续在点xxf)()(xf设0)(,xxf在讨论解解:)(lim0 xfx又xfxfx)0()(lim0例例4.所以 )(xf0 x在处连续. 即)(xf0 x在处可导 .xxx1sinlim20)0(0fxxx1sinlim000,1sin2xxx0,0 x处的连续性及可导性. xxxx120sinlim0)0( f在点0 x的某个右右 邻域内五、五、 单侧导数单侧导数)(xfy 若极限xxfxxfxyxx)()(limlim0000则称此极限值为)(xf在 处的

6、右右 导数导数,0 x记作)(0 xf即)(0 xfxxfxxfx)()(lim000(左)(左左)0( x)0( x)(0 xf0 x例如例如,xxf)(在 x = 0 处有,1)0(f1)0(fxyoxy 定义定义2 . 设函数有定义,存在,定理定理2. 函数在点0 x)(xfy ,)()(00存在与xfxf且)(0 xf. )(0 xf)(0 xf 存在)(0 xf)(0 xf简写为在点处右右 导数存在0 x定理定理3. 函数)(xf)(xf在点0 x必 右右 连续.(左左)(左左)若函数)(xf)(af)(bf与都存在 , 则称)(xf显然:)(xf在闭区间 a , b 上可导,)(b

7、aCxf在开区间 内可导,),(ba在闭区间 上可导.,ba可导的充分必要条件是且 判断可导性不连续, 一定不可导.直接用导数定义;看左右导数是否存在且相等.思考与练习思考与练习1. 函数 在某点 处的导数)(xf0 x)(0 xf )(xf 区别:)(xf 是函数 ,)(0 xf 是数值;联系:0)(xxxf)(0 xf 注意注意:有什么区别与联系 ? )()(00 xfxf？与导函数2. 设)(0 xf 存在 , 则._)()(lim000hxfhxfh3. 已知,)0(,0)0(0kff则._)(lim0 xxfx)(0 xf 0k4. 若),(x时, 恒有,)(2xxf问)(xf是否在

8、0 x可导?解解:由题设)0(f00)0()(xfxfx0由夹逼准则0)0()(lim0 xfxfx0故)(xf在0 x可导, 且0)0( f5. 设0,0,sin)(xxaxxxf, 问 a 取何值时,)(xf 在),(都存在 , 并求出. )(xf 解解:)0(f00sinlim0 xxx1)0(f00lim0 xxaxa故1a时,1)0( f此时)(xf 在),(都存在, )(xf0,cosxx0,1x显然该函数在 x = 0 连续 .)(xf在 0 x处连续, 且xxfx)(lim0存在， 证明:)(xf在0 x处可导.证证：因为xxfx)(lim0存在， 则有0)(lim0 xfx又

9、)(xf在0 x处连续,0)0(f所以xxfx)(lim0即)(xf在0 x处可导.6. 设xfxfx)0()(lim0)0(f 故7.7.设)(xf在2x处连续,且, 32)(lim2xxfx求. )2(f 解解:)2(f)(lim2xfx)2()()2(lim2xxfxx02)2()(lim)2(2xfxffx2)(lim2xxfx38.8.设)(0 xf 存在,求.)()(lim0200 xxfxxxfx解解: : 原式=xxfxxxfx )()(lim02002)( xx2)( xx)(0 xf 9.9.若0) 1 (f且) 1 (f 存在 , 求.tan) 1(e)cos(sinli

10、m20 xxxfxx解解: 1)cos(sinlim20 xxx原式 =220)cos(sinlimxxxfx且0) 1 (f联想到凑导数的定义式220(sincos )limxfxxx1cossin2xx1cossin2xx) 1 (f) 1 (f )211 ( ) 1 (21f x10.10.设1eelim)() 1() 1(2xnxnnbaxxxf,试确定常数a , b. )(xf 解解: :)(xf1x,bxa 1x, ) 1(21ba1x,2x,1时x;)(axf时，1x.2)(xxf) 1 ()1 ()1 (fff) 1 () 1 (ff得处可导，在利用1)(xxf即ba1) 1(21ba2a使 f (x) 处处可导,并求, 1,2ba2) 1 ( f1,21,2)(xxxxf)(xf 是否为连续函数 ?判别判别:,1时x,)(axf时，1xxxf2)(ba1) 1(21ba2a存在) 1 (f