有限元有限元动力学基本原理实用教案

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1、会计学1有限元有限元动力学基本原理有限元有限元动力学基本原理第一页，共48页。 在前面的介绍中，我们均假设作用在弹性体（或结在前面的介绍中，我们均假设作用在弹性体（或结构）上的载荷与时间无关，与此相应的，位移、应力构）上的载荷与时间无关，与此相应的，位移、应力及应变等也都和时间无关，即前面介绍的全部内容皆及应变等也都和时间无关，即前面介绍的全部内容皆称结构静力学有限元方法称结构静力学有限元方法(fngf)(fngf)。但工程实际中还。但工程实际中还存在着另外一类载荷与时间有关的动载荷作用于结构存在着另外一类载荷与时间有关的动载荷作用于结构或弹性体，此时，相应的位移、应力、应变等都与时或弹性体，

2、此时，相应的位移、应力、应变等都与时间有关，而且必须考虑惯性力和加速度等因素，这类间有关，而且必须考虑惯性力和加速度等因素，这类分析或问题，成为动力学分析。分析或问题，成为动力学分析。 对于质点对于质点弹簧系统的振动，大家比较熟悉，例如弹簧系统的振动，大家比较熟悉，例如一个自由度为一个自由度为n n的质点的质点弹簧振系，其动平衡方程为弹簧振系，其动平衡方程为 PKCM&第五章第五章 有限元动力学分析有限元动力学分析(fnx)(fnx)基本原理基本原理 第1页/共48页第二页，共48页。上式中每一项的含义上式中每一项的含义(hny)(hny)不同不同 为弹性力K 为阻尼力C?&M对于对于(duy

3、)(duy)单元体而言，可以得到类似的上述单元体而言，可以得到类似的上述方程方程 eeeeeeepkcm&第五章第五章 有限元动力学分析有限元动力学分析(fnx)(fnx)基基本原理本原理 第2页/共48页第三页，共48页。 单元质量矩阵根据其形成过程分为一致质量阵和集中质量单元质量矩阵根据其形成过程分为一致质量阵和集中质量阵，各有自身阵，各有自身(zshn)(zshn)的优点和缺点。的优点和缺点。1.1.一致一致(yzh)(yzh)质质量矩阵量矩阵一、单元一、单元(dnyun)(dnyun)质量矩质量矩阵的计算阵的计算 在离散后的结构中，取出一个单元，根据达朗贝尔原在离散后的结构中，取出一个

4、单元，根据达朗贝尔原理，单位体积上作用的惯性力为：理，单位体积上作用的惯性力为： 惯性力是分布力，按分布力向节点等效的原则和实施惯性力是分布力，按分布力向节点等效的原则和实施过程，有：过程，有： eetNNttq222222第3页/共48页第四页，共48页。一、单元质量矩阵一、单元质量矩阵(j (j zhn)zhn)的计算的计算 1.1.一致一致(yzh)(yzh)质量矩阵质量矩阵于是于是(ysh)(ysh)，令令 eVTVeTTVeqdVNNdVtNNdVqNR 22 VTedVNNm第4页/共48页第五页，共48页。一、单元质量一、单元质量(zhling)(zhling)矩矩阵的计算阵的计

5、算 1.1.一致一致(yzh)(yzh)质质量矩阵量矩阵 的计算式是通式，并因为计算质量矩阵和刚度的计算式是通式，并因为计算质量矩阵和刚度矩阵使用的形状函数一致，因此被称为一致质量阵矩阵使用的形状函数一致，因此被称为一致质量阵。em2.2.集中质量集中质量(zhling)(zhling)矩阵矩阵 在工程实际中，为了求解方便，有人把单元质量平在工程实际中，为了求解方便，有人把单元质量平均分到单元的各个节点上，如平面三角形单元的质量均分到单元的各个节点上，如平面三角形单元的质量可分配为：可分配为：VkjidVmmm3第5页/共48页第六页，共48页。一、单元质量矩阵一、单元质量矩阵(j (j zh

6、n)zhn)的计算的计算 2.2.集中质量集中质量(zhling)(zhling)矩矩阵阵单元质量单元质量(zhling)(zhling)矩阵为矩阵为：kkjjiiemmmmmmdiagm3.3.常用单元的一致质量矩阵常用单元的一致质量矩阵一次杆单元一次杆单元 21126222121212121ldxAdxAdxNNAmllTle第6页/共48页第七页，共48页。一、单元质量矩阵一、单元质量矩阵(j (j zhn)zhn)的计算的计算 3.3.常用单元常用单元(dnyun)(dnyun)的一致质的一致质量矩阵量矩阵二次杆单元二次杆单元 16888418143042242221222121212

7、22121AldxAdxNNAmTlTle第7页/共48页第八页，共48页。一、单元质量矩阵一、单元质量矩阵(j zhn)(j zhn)的计算的计算 3.3.常用常用(chn yn)(chn yn)单元的一单元的一致质量矩阵致质量矩阵三次三次(sn (sn c)c)梁单元梁单元2222422313221561354313422135422156420llllllllllllAlme第8页/共48页第九页，共48页。一、单元质量一、单元质量(zhling)(zhling)矩阵的计算矩阵的计算 3.3.常用单元常用单元(dnyun)(dnyun)的一的一致质量矩阵致质量矩阵三角形平面三角形平面(p

8、ngmin)(pngmin)问题单元问题单元20210201021010201010212称对tme第9页/共48页第十页，共48页。一、单元一、单元(dnyun)(dnyun)质量矩质量矩阵的计算阵的计算 3.3.常用常用(chn yn)(chn yn)单元的一致单元的一致质量矩阵质量矩阵矩形矩形(jxng)(jxng)平面平面问题单元问题单元4042040204102040102042010204020102049称对abtme第10页/共48页第十一页，共48页。二、单元阻尼二、单元阻尼(zn)(zn)矩阵矩阵的计算的计算 阻尼矩阵阻尼矩阵(j zhn)(j zhn)非常复杂，主要是阻尼

9、本身的复非常复杂，主要是阻尼本身的复杂性引起的，一般均为假设，如阻尼力正比于单元的杂性引起的，一般均为假设，如阻尼力正比于单元的运动速度，此时得到的阻尼矩阵运动速度，此时得到的阻尼矩阵(j zhn)(j zhn)正比于单元正比于单元质量矩阵质量矩阵(j zhn)(j zhn)；也可以假设阻尼力正比于单元的；也可以假设阻尼力正比于单元的应变速度，此时得到的阻尼矩阵应变速度，此时得到的阻尼矩阵(j zhn)(j zhn)则正比于单则正比于单元刚度矩阵元刚度矩阵(j zhn)(j zhn)，还有一些其他类型的假设，如，还有一些其他类型的假设，如上述两者的组合，分别有：上述两者的组合，分别有： eee

10、eeeekmckcmc第11页/共48页第十二页，共48页。二、单元阻尼矩阵二、单元阻尼矩阵(j zhn)(j zhn)的计算的计算 对于组合阻尼，如已知结构对于组合阻尼，如已知结构(jigu)(jigu)的阻尼比及结的阻尼比及结构构(jigu)(jigu)的固有频率，其计算方法有：的固有频率，其计算方法有：2222)(2)(2ijiijjjiijijji如果如果(rg(rgu)u)jijiji22ji则则第12页/共48页第十三页，共48页。1.1.结构结构(jigu)(jigu)无阻尼自由振动的运无阻尼自由振动的运动方程动方程三、机械结构三、机械结构(jigu)固有频固有频率与振型率与振型

11、 机械结构的振动固有频率和振型问题，在有限元方法求解机械结构的振动固有频率和振型问题，在有限元方法求解释，对应的数学问题既是矩阵的特征值和特征向量问题。关释，对应的数学问题既是矩阵的特征值和特征向量问题。关于矩阵的特征值及特征向量问题，是矩阵理论中比较于矩阵的特征值及特征向量问题，是矩阵理论中比较(bjio)(bjio)热门的研究领域，下面我们仅简单地罗列以下常见热门的研究领域，下面我们仅简单地罗列以下常见方法的名称，具体的方法求解步骤，可以参考有关书籍，有方法的名称，具体的方法求解步骤，可以参考有关书籍，有大量的软件保重均包含求解特征值和特征向量的软件程序。大量的软件保重均包含求解特征值和特

12、征向量的软件程序。 结构在无外力作用时，得到的是自由振动，此时阻尼影结构在无外力作用时，得到的是自由振动，此时阻尼影响不大，结构的自由振动可简化为：响不大，结构的自由振动可简化为： 0KM 第13页/共48页第十四页，共48页。1.1.结构无阻尼自由结构无阻尼自由(zyu)(zyu)振动的运动振动的运动方程方程三、机械结构三、机械结构(jigu)固有频率固有频率与振型与振型设结构设结构(jigu)(jigu)作作简谐运动简谐运动 tsin0代入无阻尼振动方程，可得代入无阻尼振动方程，可得 002MK上式解存在的条件为上式解存在的条件为 02MK这是计算方法中最典型的特征值问题。这是计算方法中最

13、典型的特征值问题。2.2.矩阵迭代法矩阵迭代法 这种方法用于求解基频或最高阶频是很有效的，并且这种方法用于求解基频或最高阶频是很有效的，并且能得到相应的特征向量。能得到相应的特征向量。 020MK将无阻尼自由振动方程改写为将无阻尼自由振动方程改写为第14页/共48页第十五页，共48页。三、机械三、机械(jxi)结构固有频率与结构固有频率与振型振型 0201KM即有即有 020S迭代迭代(di (di di)di)步骤步骤 )0(令令 )1(2)1()0(S代入代入2.2.矩阵矩阵(j (j zhn)zhn)迭代法迭代法 ）（和12)1(求得求得 )2(2)2(1）（S再代入再代入 )1(2)1

14、(iiiS）（以此类推以此类推 )1(kk）（收敛条件收敛条件第15页/共48页第十六页，共48页。2.2.矩阵矩阵(j (j zhn)zhn)迭代法迭代法三、机械结构三、机械结构(jigu)固有频率固有频率与振型与振型 330352023300020001KM例题：已知一振动系统的质量矩阵例题：已知一振动系统的质量矩阵(j zhn)(j zhn)、刚、刚度矩阵度矩阵(j zhn)(j zhn)用迭代法计算其最高阶固有频率用迭代法计算其最高阶固有频率和振型。和振型。3/10002/100011M解：解：第16页/共48页第十七页，共48页。2.2.矩阵矩阵(j (j zhn)zhn)迭代法迭代

15、法三、机械结构三、机械结构(jigu)固有频率固有频率与振型与振型 1105 . 15 . 210231SMS 在开始迭代时，需选取初始迭代向量，可以按经验在开始迭代时，需选取初始迭代向量，可以按经验(jngyn)(jngyn)估计，也可以用静力学特性的位移值，选得合适估计，也可以用静力学特性的位移值，选得合适可以减少迭代时间。先假设：可以减少迭代时间。先假设： T111)0(于是有于是有 0011111105 . 15 . 21023)0(S第17页/共48页第十八页，共48页。2.2.矩阵矩阵(j (j zhn)zhn)迭代法迭代法三、机械结构三、机械结构(jigu)固有频率固有频率与振型

16、与振型 T0011)1(2)1(推得推得 031130011105 . 15 . 21023)1(S继续继续(jx)(jx)迭迭代代 T03/113)2(2)2(推得推得 1 . 05 . 016 . 303/111105 . 15 . 21023)2(S继续迭代继续迭代第18页/共48页第十九页，共48页。2.2.矩阵矩阵(j (j zhn)zhn)迭代法迭代法三、机械三、机械(jxi)结构固有频率结构固有频率与振型与振型 如此继续迭代如此继续迭代(di di)(di di)，经过，经过1010次迭代次迭代(di di)(di di)，可得，可得 20467. 069300. 01386.

17、42047. 0693. 011105 . 15 . 21023)10(S 2047. 06930. 0120467. 069300. 01)10()11(推得推得 T205. 0693. 01386. 4)11(2)11(2于于是是第19页/共48页第二十页，共48页。2.2.矩阵矩阵(j (j zhn)zhn)迭代法迭代法三、机械结构三、机械结构(jigu)固有频固有频率与振型率与振型 得到的固有频率得到的固有频率(pnl)(pnl)是最高阶频率是最高阶频率(pnl)(pnl)，因为，因为振型的变化是：振型的变化是：205. 0693. 01符号变化两次，振系是符号变化两次，振系是3 3自

18、由度，因此，得到的是第自由度，因此，得到的是第3 3阶频阶频率和振型。率和振型。 在工程实际中，人们一般关心的主要是结构的低阶在工程实际中，人们一般关心的主要是结构的低阶频率。因此，在进行迭代过程中作适当的变换，使频率。因此，在进行迭代过程中作适当的变换，使矩阵不按矩阵不按 为特征值进行迭代，而是按为特征值进行迭代，而是按 为特为特征值进行迭代，从而得到征值进行迭代，从而得到 的最大值，也是的最大值，也是 的最小值。的最小值。22/12/12第20页/共48页第二十一页，共48页。 KMMK01 MK1两边两边(lingbin)(lingbin)同左乘同左乘 ，得到，得到2.2.矩阵矩阵(j

19、(j zhn)zhn)迭代法迭代法三、机械结构三、机械结构(jigu)固有频固有频率与振型率与振型 在计算过程中，引入参数在计算过程中，引入参数21 将其代入无阻尼自由振动运动方程，则有将其代入无阻尼自由振动运动方程，则有 1K T MKT1令第21页/共48页第二十二页，共48页。三、机械结构三、机械结构(jigu)固有频固有频率与振型率与振型2.2.矩阵矩阵(j (j zhn)zhn)迭代法迭代法依次依次(yc)(yc)类类推推 采用前述的迭代步骤，用采用前述的迭代步骤，用 代替代替 ，即可得到，即可得到 值值 T S ) 1 () 1 ()0(T ) 1(1)(iiiT）（直到直到 ）（

20、1)(-kk停止迭代停止迭代）（ 121i得得到到 ) 1( i此时为低阶特性此时为低阶特性第22页/共48页第二十三页，共48页。三、机械结构三、机械结构(jigu)固有频率固有频率与振型与振型2.2.矩阵矩阵(j (j zhn)zhn)迭代法迭代法 330352023300020001KM例题例题(lt)(lt)：已知一振动系统的质量矩阵、刚度矩：已知一振动系统的质量矩阵、刚度矩阵用迭代法计算其最高阶固有频率和振型。阵用迭代法计算其最高阶固有频率和振型。 6/115 . 115 . 15 . 111111K解：解：第23页/共48页第二十四页，共48页。三、机械三、机械(jxi)结构固有频

21、率结构固有频率与振型与振型2.2.矩阵矩阵(j (j zhn)zhn)迭代法迭代法 5 . 5315 . 4313211MKT于是于是(ys(ysh)h) 6 . 14 . 1161115 . 5315 . 431321)0(T仍选仍选 T111)0(第24页/共48页第二十五页，共48页。三、机械三、机械(jxi)结构固有频率与结构固有频率与振型振型2.2.矩阵矩阵(j (j zhn)zhn)迭代法迭代法6287. 14433. 11773. 8629. 1443. 11768. 8628. 1442. 116 . 8继续继续(jx)(jx)迭代迭代从而得到从而得到 T629. 1443.

22、11114. 01)4(42）（第25页/共48页第二十六页，共48页。三、机械三、机械(jxi)结构固有频率与结构固有频率与振型振型3.3.用滤波法计算用滤波法计算(j sun)(j sun)最低最低n n阶特阶特征对征对 工程中关心的不仅是最低阶特征工程中关心的不仅是最低阶特征(tzhng)(tzhng)对，而是最低阶对，而是最低阶的的n n阶特征阶特征(tzhng)(tzhng)对，这是仅用迭代法不行，可用滤波法对，这是仅用迭代法不行，可用滤波法。4.4.行列式搜索法行列式搜索法 这一方法利用特征值分离定理，通过对称矩阵的这一方法利用特征值分离定理，通过对称矩阵的三角分解计算矩阵的行列式

23、值，用加速割线法求出三角分解计算矩阵的行列式值，用加速割线法求出靠近下一个未知特征值的移动，然后用移位逆迭代靠近下一个未知特征值的移动，然后用移位逆迭代求特征向量。求特征向量。第26页/共48页第二十七页，共48页。三、机械三、机械(jxi)结构固有频率与结构固有频率与振型振型5.5.广义广义(gungy)(gungy)雅雅克比法克比法 广义雅克比法通过广义雅克比旋转矩阵把刚度矩广义雅克比法通过广义雅克比旋转矩阵把刚度矩阵和质量矩阵同时阵和质量矩阵同时(tngsh)(tngsh)变换成对角矩阵，然变换成对角矩阵，然后求得特征值和特征向量，当矩阵阶数不高时，求后求得特征值和特征向量，当矩阵阶数不

24、高时，求解速度较快。解速度较快。6.6.子空间迭代法法子空间迭代法法 子空间迭代法是瑞利子空间迭代法是瑞利- -李兹法和同时逆迭代法结李兹法和同时逆迭代法结合的产物，用于仅求解工程问题的低阶固有特征合的产物，用于仅求解工程问题的低阶固有特征对，求解速度非常快。对，求解速度非常快。第27页/共48页第二十八页，共48页。三、机械结构三、机械结构(jigu)固有频率固有频率与振型与振型7.7.兰索斯法兰索斯法 兰索斯法也是迭代法的一种，这是目前求解低阶特征值兰索斯法也是迭代法的一种，这是目前求解低阶特征值和特征向量速度最快的一种，有兴趣的同学可以参阅和特征向量速度最快的一种，有兴趣的同学可以参阅振

25、动与冲击振动与冲击(chngj)(chngj)杂志杂志19871987年第年第3 3期上吴立系老师期上吴立系老师的文章的文章“求解大型稀疏对称矩阵广义特征值问题的求解大型稀疏对称矩阵广义特征值问题的LanczosLanczos方法及通用程序方法及通用程序”。8.8.奇异刚度奇异刚度(n d)(n d)矩阵矩阵的处理的处理 采用移轴技术，在弹性位能中加入部分给定的动能采用移轴技术，在弹性位能中加入部分给定的动能，以便使刚度矩阵成为正定矩阵，关键在移轴系数的，以便使刚度矩阵成为正定矩阵，关键在移轴系数的确定。确定。第28页/共48页第二十九页，共48页。四、机械结构动力四、机械结构动力(dngl)

26、响应响应的计算的计算 机械结构机械结构(jigu)(jigu)的动力响应计算是结构的动力响应计算是结构(jigu)(jigu)动力学的动力学的另一个主要问题，最常用的方法有振型叠加法和直接积分法另一个主要问题，最常用的方法有振型叠加法和直接积分法。1.1.振型叠加法振型叠加法 设结构设结构(jigu)(jigu)的运动的运动方程为方程为 )(tPKCM 并设已求得其无阻尼自由振动的频率和振型，记并设已求得其无阻尼自由振动的频率和振型，记 为第为第i i阶固有振型，则有振型的线性叠加来表示运动阶固有振型，则有振型的线性叠加来表示运动状态的结构位移为状态的结构位移为 i0 )()()(022011

27、0tztztznn第29页/共48页第三十页，共48页。四、机械结构动力四、机械结构动力(dngl)响响应的计算应的计算1.1.振型叠加法振型叠加法令令 n020100 )()()(21tztztzzn则则 z0 z 0z&0 )(000tPzKzCzM )(0000000tPzKzCzMTTTT IMT00 2222100nTdiagK nnTdiagC222221100第30页/共48页第三十一页，共48页。四、机械结构动力响应四、机械结构动力响应(xingyng)的计算的计算1.1.振型叠加法振型叠加法于是于是(ysh)(ysh)，振动方程，振动方程解耦为解耦为 )(2)(2)(2022

28、02222222101211111tpzzztpzzztpzzzTnnnnnnnTT&M&)()()(21tztztzn，依次用求解常微分方程的方法依次用求解常微分方程的方法(fngf)(fngf)可以得到解可以得到解：再代回再代回 z0可以得到问题的解。可以得到问题的解。第31页/共48页第三十二页，共48页。四、机械结构动力四、机械结构动力(dngl)响应响应的计算的计算1.1.振型叠加法振型叠加法 通常情况下，高阶振型对动力响应影响较小，因此，只通常情况下，高阶振型对动力响应影响较小，因此，只取最低的取最低的3 35 5阶（阶（1010）阶振型就可以得到）阶振型就可以得到(d do)(d

29、 do)满意满意精度的动力响应。精度的动力响应。2.2.直接直接(zhji)(zhji)积分积分法法对于动力学方程对于动力学方程 )(tPKCM 假设已知其初始条件假设已知其初始条件 000 如果将求解时间如果将求解时间T T等分成等分成n nT T个时间区间个时间区间 ，并能，并能通过前若干个时刻的解来确定下一时刻的解，就通过前若干个时刻的解来确定下一时刻的解，就可获得问题的解，直接积分法可以解决这一问题可获得问题的解，直接积分法可以解决这一问题。t第32页/共48页第三十三页，共48页。四、机械四、机械(jxi)结构动力响应结构动力响应的计算的计算2.2.直接直接(zhji)(zhji)积

30、分积分法法 直接积分中对动力学方程是逐步地进行数值积分的直接积分中对动力学方程是逐步地进行数值积分的，“直接直接”的意思是指：进行数值积分前没有进行把的意思是指：进行数值积分前没有进行把方程变为另一种形式的变换。方程变为另一种形式的变换。 直接积分有两个假设，一个是动力学方程的解只在直接积分有两个假设，一个是动力学方程的解只在相隔相隔 的一些离散时间区间上满足方程，而不要求的一些离散时间区间上满足方程，而不要求在任意时刻都满足方程；另一个是假设位移速度和加在任意时刻都满足方程；另一个是假设位移速度和加速度在每一个时间区间速度在每一个时间区间 内按一定的规律变化。内按一定的规律变化。tt 直接直

31、接(zhji)(zhji)积分法有中心差分法、积分法有中心差分法、HouboltHoubolt法、法、Wilson- Wilson- 法、法、NewmarkNewmark和龙格和龙格- -库塔法。库塔法。第33页/共48页第三十四页，共48页。四、机械结构动力四、机械结构动力(dngl)响应响应的计算的计算2.2.直接直接(zhji)(zhji)积分积分法法中心中心(zhngxn)(zhngxn)差差分法分法对于加速度对于加速度 ttttttt212 上式的误差为上式的误差为 高阶小量高阶小量2t对于速度对于速度 tttttt21方程在方程在t t时刻为时刻为 ttttPKCM 将速度和加速度

32、的差分格式代入方程，可以得到将速度和加速度的差分格式代入方程，可以得到第34页/共48页第三十五页，共48页。四、机械四、机械(jxi)结构动力响应结构动力响应的计算的计算2.2.直接直接(zhji)(zhji)积分法积分法 ttttttCtMtMtKPCtMt)211()2()211(222中心中心(zhngxn)(zhngxn)差差分法分法显然，求解显然，求解 ，需要，需要2 2个初始条件个初始条件 和和 tt tt t我们有初始条件我们有初始条件 ，根，根据据 000 、 tttttt-00202121 第35页/共48页第三十六页，共48页。四、机械结构动力四、机械结构动力(dngl)

33、响应响应的计算的计算2.2.直接直接(zhji)(zhji)积分法积分法中心中心(zhngxn)(zhngxn)差差分法分法可以解得可以解得 02002 ttt注意，有注意，有 02002 ttt于是，可以求得方程的解。归纳起来后，中心差分法的计于是，可以求得方程的解。归纳起来后，中心差分法的计算步骤为算步骤为2 2大步，大步，9 9小步。小步。第36页/共48页第三十七页，共48页。四、机械结构动力响应四、机械结构动力响应(xingyng)的计算的计算2.2.直接直接(zhji)(zhji)积分法积分法中心中心(zhngxn)(zhngxn)差差分法分法第一步：初始计算第一步：初始计算230

34、212012211aaaatata1.1.形成形成 CKM、2.2.计算初始值计算初始值 000 、3.3.选取时间步长选取时间步长 , ,并计算积分常数并计算积分常数 crttt ,4.4.计算计算 0300- att5.5.形成有效质量阵形成有效质量阵: : CaMaM106.6.做三角分解做三角分解: : TLDLM 第37页/共48页第三十八页，共48页。四、机械结构动力四、机械结构动力(dngl)响响应的计算应的计算2.2.直接直接(zhji)(zhji)积分法积分法中心中心(zhngxn)(zhngxn)差差分法分法第二步：对每一时间步长第二步：对每一时间步长 tttttCaMaM

35、aKPP)()(1027.7.计算在时刻计算在时刻t t的有效载荷的有效载荷8.8.求解在时刻求解在时刻 的位移的位移 tt tttTPLDL9.9.如果需要，计算时刻如果需要，计算时刻 的速度和加速度的速度和加速度 tt )()2(10tttttttttttaa 第38页/共48页第三十九页，共48页。四、机械结构动力响应四、机械结构动力响应(xingyng)的计算的计算2.2.直接直接(zhji)(zhji)积分法积分法中心中心(zhngxn)(zhngxn)差差分法分法说明：说明：1. 1. 的取的取值值t 是结构最高频率对应的周期，是最小周期是结构最高频率对应的周期，是最小周期。crt

36、ncrTtt2.2.求解方程是显式差分，对于对角线质量阵和求解方程是显式差分，对于对角线质量阵和无阻尼振动求解很方便，可以直接求解，不需无阻尼振动求解很方便，可以直接求解，不需进行三角分解。进行三角分解。第39页/共48页第四十页，共48页。四、机械结构四、机械结构(jigu)动力响动力响应的计算应的计算2.2.直接直接(zhji)(zhji)积分积分法法中心中心(zhngxn)(zhngxn)差差分法分法例题：一个二自由度振动系统，其动力方程为：例题：一个二自由度振动系统，其动力方程为：100422610022121&已知该系统的自由振动周期为已知该系统的自由振动周期为 ，试用中心差，试用中

37、心差分法求解步长为分法求解步长为 和和 时，方程的解时，方程的解。8 . 22T102Tt 210Tt 解：取解：取1212个步长的系统响应，假设个步长的系统响应，假设 0,000100004226100221 计算计算 0 第40页/共48页第四十一页，共48页。四、机械四、机械(jxi)结构动力响应结构动力响应的计算的计算2.2.直接直接(zhji)(zhji)积分法积分法中心中心(zhngxn)(zhngxn)差差分法分法考虑考虑 ，有，有 0392. 01,5 .25279. 128. 021,8 .12)28. 0(12302120aaaaaa 1000 28. 0t因而有因而有 3

38、92. 001000392. 00028. 000t第41页/共48页第四十二页，共48页。四、机械四、机械(jxi)结构动力响应的结构动力响应的计算计算2.2.直接直接(zhji)(zhji)积分法积分法中心中心(zhngxn)(zhngxn)差分差分法法 8 .12005 .25000079. 110028 .12M ttttP8 .12005 .255 .212245100对每个时刻步长求解方程对每个时刻步长求解方程 tttP8 .12005 .25时间时间t2t3t4t5t6t7t8t9t10t11t12t100.030.170.491.021.702.402.913.072.772.

39、041.0220.391.452.834.145.025.264.904.173.372.782.542.60第42页/共48页第四十三页，共48页。四、机械结构四、机械结构(jigu)动力响应动力响应的计算的计算2.2.直接直接(zhji)(zhji)积分法积分法HouboltHoubolt法法 )291811(61)452(1222tttttttttttttttttttt 使用新的差分使用新的差分(ch (ch fn)fn)格式格式误差同样为误差同样为 的高阶小量的高阶小量2t ttttttttPKCM 方程在方程在t+ t+ 时刻为时刻为t第43页/共48页第四十四页，共48页。四、机械

40、结构动力四、机械结构动力(dngl)响响应的计算应的计算2.2.直接直接(zhji)(zhji)积分法积分法HouboltHoubolt法法将速度将速度(sd)(sd)和加速度和加速度(sd)(sd)的差分格式代入方程的差分格式代入方程，可以得到，可以得到 tttttttttCtMtCtMtCtMtPKCtMt22222)311()234()35()6112(显然，求解显然，求解 ，需要，需要3 3个初始条件个初始条件 、 和和 tt tt t tt2一般有初始条件一般有初始条件 ， 可用特殊的方法获得可用特殊的方法获得。 0 tt2、第44页/共48页第四十五页，共48页。四、机械结构四、机

41、械结构(jigu)动力响应动力响应的计算的计算2.2.直接直接(zhji)(zhji)积分积分法法HouboltHoubolt法法归纳归纳(gun)(gun)后，后，HouboltHoubolt法的计算法的计算步骤为：步骤为：第一步：初始计算第一步：初始计算922235611237063504322120aaaaaaaatatatata1.1.形成形成 CKM、2.2.计算初始值计算初始值 000 、3.3.选取时间步长选取时间步长 , ,并计算积分常数并计算积分常数 t第45页/共48页第四十六页，共48页。四、机械四、机械(jxi)结构动力响应结构动力响应的计算的计算4.4.使用特殊使用特

42、殊(tsh)(tsh)方方法计算：法计算： tt2、5.5.形成形成(xngchng)(xngchng)有效刚度阵有效刚度阵: : CaMaKK106.6.做三角分解做三角分解: : TLDLK 2.2.直接积分法直接积分法HouboltHoubolt法法第二步：对每一时间步长第二步：对每一时间步长 )()(27532642ttttttttttttttaaaCaaaMPP7.7.计算在时刻计算在时刻t+ t+ 的有效载荷的有效载荷8.8.求解在时刻求解在时刻 的位移的位移 tt tttTPLDLt第46页/共48页第四十七页，共48页。四、机械结构四、机械结构(jigu)动力响动力响应的计算应的计算2.2.直接直接(zhji)(zhji)积分法积分法9.9.如果需要，计算时刻如果需要，计算时刻 的速度和加速度的速度和加速度 tt ttttttttttttttttttaaaaaaaa2753126420 HouboltHoubolt法法说明说明(shum(shumng)ng)：1.1.方法无条件收敛方法无条件收敛2. 2. 时可获得静态解。时可获得静态解。 00MC、第47页/共48页第四十八页，共48页。