【创新方案】高考数学 理一轮突破热点题型：第2章 第3节　函数的奇偶性与周期性

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1、 第三节函数的奇偶性与周期性考点一函数奇偶性的判断 例1(1)若函数f(x)3x3x与g(x)3x3x的定义域均为R，则()Af(x)与g(x)均为偶函数 Bf(x)为偶函数，g(x)为奇函数Cf(x)与g(x)均为奇函数 Df(x)为奇函数，g(x)为偶函数(2)下列函数：f(x)；f(x)x3x；f(x)ln(x)；f(x)ln.其中奇函数的个数是()A1 B2 C3 D4自主解答(1)由f(x)3x3xf(x)可知f(x)为偶函数，由g(x)3x3x(3x3x)g(x)可知g(x)为奇函数(2)f(x)的定义域为1,1，又f(x)f(x)0，则f(x)既是奇函数又是偶函数；f(x)x3x

2、的定义域为R，又f(x)(x)3(x)(x3x)f(x)，则f(x)x3x是奇函数；由xx|x|0知f(x)ln(x)的定义域为R，又f(x)ln (x)lnln(x)f(x)，则f(x)ln(x)为奇函数；由0，得1x1，即f(x)ln的定义域为(1,1)，又f(x)lnln1lnf(x)，则f(x)为奇函数答案(1)B(2)D【互动探究】 若将本例(2)中对应的函数改为“f(x)”，试判断其奇偶性解：函数f(x)的定义域为1，不关于原点对称，函数f(x)既不是奇函数，也不是偶函数【方法规律】判断函数奇偶性的方法(1)判断函数的奇偶性，首先看函数的定义域是否关于原点对称；在定义域关于原点对称

3、的条件下，再化简解析式，根据f(x)与f(x)的关系作出判断(2)分段函数指在定义域的不同子集有不同对应关系的函数，分段函数奇偶性的判断，要分别从x0或x0来寻找等式f(x)f(x)或f(x)f(x)成立，只有当对称的两个区间上满足相同关系时，分段函数才具有确定的奇偶性判断下列各函数的奇偶性：(1)f(x)(x1) ；(2)f(x)；(3)f(x)解：(1)由得，定义域为(1,1，关于原点不对称，故f(x)为非奇非偶函数(2)由得，定义域为(1,0)(0,1)x20，|x2|2x，f(x).又f(x)f(x)，函数f(x)为奇函数(3)显然函数f(x)的定义域为(，0)(0，)，关于原点对称当

4、x0时，x0，则f(x)(x)2xx2xf(x)；当x0时，x0，则f(x)(x)2xx2xf(x)；综上可知，对于定义域内的任意x，总有f(x)f(x)成立，函数f(x)为奇函数考点二函数奇偶性的应用 例2(1)(20xx湖南高考)已知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(1)g(1)2，f(1)g(1)4，则g(1)等于()A4 B3 C2 D1 (2)(20xx重庆高考)已知函数f(x)ax3bsin x4(a，bR)，f(lg(log210)5，则f(lg(lg 2)()A5 B1 C3 D4(3)已知函数yf(x)是R上的偶函数，且在(，0上是减函数，若f(a)f(2)，则实数a

5、的取值范围是_自主解答(1)由已知得f(1)f(1)，g(1)g(1)，则有解得g(1)3.(2)f(x)ax3bsin x4， f(x)a(x)3bsin(x)4，即f(x)ax3bsin x4， 得f(x)f(x)8，又lg(log210)lglg(lg 2)1lg(lg 2)，f(lg(log2 10)f(lg(lg 2)5，又由式知f(lg(lg 2)f(lg(lg 2)8，5f(lg(lg 2)8，f(lg(lg 2)3.(3)yf(x)是R上的偶函数，且在(，0上是减函数，函数yf(x)在0，)上是增函数当a0时，由f(a)f(2)可得a2，当a0时，由f(a)f(2)f(2)，可

6、得a2.所以实数a的取值范围是(，22，)答案(1)B(2)C(3)(，22，)【互动探究】若本例(3)中的f(x)为奇函数，求实数a的取值范围解：因为f(x)为奇函数，且在(，0上是减函数，所以f(x)在R上为减函数又f(a)f(2)，故a2，即实数a的取值范围为(，2【方法规律】与函数奇偶性有关的问题及解决方法(1)已知函数的奇偶性，求函数值将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解(2)已知函数的奇偶性求解析式将待求区间上的自变量，转化到已知区间上，再利用奇偶性求出，或充分利用奇偶性构造关于f(x)的方程(组)，从而得到f(x)的解析式(3)已知函数的奇偶性，求函数解析式中参数的值常

7、常利用待定系数法：利用f(x)f(x)0得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程求解(4)应用奇偶性画图象和判断单调性利用奇偶性可画出另一对称区间上的图象及判断另一区间上的单调性1若定义在R上的偶函数f(x)和奇函数g(x)满足f(x)g(x)ex，则g(x)()Aexex B.(exex)C.(exex) D.(exex)解析：选Df(x)g(x)ex， f(x)g(x)ex.又f(x)f(x)，g(x)g(x)，f(x)g(x)ex.由得解得g(x)(exex)2(20xx杭州模拟)设f(x)为定义在R上的奇函数当x0时，f(x)2x2xb(b为常数)，则f(1)()A3

8、B1 C1 D3解析：选A因为f(x)为定义在R上的奇函数，所以f(0)2020b0，解得b1.所以当x0时，f(x)2x2x1，所以f(1)f(1)(21211)3.考点三函数的周期性 例3定义在R上的函数f(x)满足f(x6)f(x)当3x1时，f(x)(x2)2；当1x3时，f(x)x.则f(1)f(2)f(3)f(2 012)() A335 B338 C1 678 D2 012 自主解答由f(x6)f(x)可知，函数f(x)的周期为6，所以f(3)f(3)1，f(2)f(4)0，f(1)f(5)1，f(0)f(6)0，f(1)1，f(2)2，所以在一个周期内有f(1)f(2)f(6)1

9、210101，所以f(1)f(2)f (2 012)f(1)f(2)335112335338.答案B【方法规律】函数周期性的判定判断函数的周期只需证明f(xT)f(x)(T0)便可证明函数是周期函数，且周期为T，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题，是高考考查的重点问题设f(x)是定义在R上且周期为2的函数，在区间1,1上，f(x)其中a，bR.若ff，则a3b的值为_解析：因为f(x)是定义在R上且周期为2的函数，所以ff，且f(1)f(1)，故ff，所以a1，即3a2b2.由f(1)f(1)，得a1，即b2a.由得a2，b4，从而a3b10.答案：10高频考点考点四 函数性质的综合应用

10、1高考常将函数的单调性、奇偶性及周期性相结合命题，以选择题或填空题的形式考查，难度稍大，为中高档题2高考对函数性质综合应用的考查主要有以下几个命题角度：(1)单调性与奇偶性相结合；(2)周期性与奇偶性相结合；(3)单调性、奇偶性与周期性相结合例4(1)(20xx北京高考)下列函数中，既是偶函数又在区间(0，)上单调递减的是()Ay ByexCyx21 Dylg|x| (2)(20xx南昌模拟)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x4)f(x)，且在区间0,2上是增函数，则()Af(25)f(11)f(80)Bf(80)f(11)f(25)Cf(11)f(80)f(25)Df(25)f(80)

11、f(11)(3)(20xx浙江高考)设函数f(x)是定义在R上的周期为2的偶函数，当x0,1时，f(x)x1，则f_.自主解答(1)A中y是奇函数，A不正确；B中yexx是非奇非偶函数，B不正确；C中yx21是偶函数且在(0，)上是单调递减的，C正确；D中ylg|x|在(0，)上是增函数，D不正确故选C.(2)f(x)满足f(x4)f(x)，f(x8)f(x)，函数f(x)是以8为周期的周期函数，则f(25)f(1)，f(80)f(0)，f(11)f(3)由f(x)是定义在R上的奇函数，且满足f(x4)f(x)，得f(11)f(3)f(1)f(1)f(x)在区间0,2上是增函数，f(x)在R上

12、是奇函数，f(x)在区间2,2上是增函数，f(1)f(0)f(1)，即f(25)f(80)f(11)(3)fff1.答案(1)C(2)D(3)函数性质综合应用问题的常见类型及解题策略(1)函数单调性与奇偶性的综合注意函数单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性(2)周期性与奇偶性的综合此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解(3)单调性、奇偶性与周期性的综合解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解1函数f(x)是周期为4的偶函数，当x0,2时，f(x)x1，则不等式xf(x)0在1,

13、3上的解集为()A(1,3) B(1,1)C(1,0)(1,3) D(1,0)(0,1)解析：选Cf(x)的图象如图当x(1,0)时，由xf(x)0得x(1,0)；当x(0,1)时，由xf(x)0得x(1,3)故x(1,0)(1,3)2(20xx潍坊模拟)已知函数f(x1)是定义在R上的奇函数，若对于任意给定的不相等实数x1、x2，不等式(x1x2)f(x1)f(x2)0恒成立，则不等式f(1x)0的解集为_解析：f(x1)是定义在R上的奇函数，f(x1)f(x1)，令x0，则f(1)0.又(x1x2)f(x1)f(x2)0，f(x)在R上单调递减，f(1x)0f(1)，1x1，解得x0，不等

14、式f(1x)0的解集为(，0)答案：(，0)3(20xx丽水模拟)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x4)f(x)，且在区间0,2上是增函数若方程f(x)m(m0)在区间8,8上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，则x1x2x3x4_.解析：f(x)为奇函数并且f(x4)f(x)f(x4)f(4x)f(x)，即f(4x)f(x)，且f(x8)f(x4)f(x)，即yf(x)的图象关于x2对称，并且是周期为8的周期函数f(x)在0,2上是增函数，f(x)在2,2上是增函数，在2,6上为减函数，据此可画出yf(x)的图象，其图象也关于x6对称，x1x212，x3x44，x1x2x3x48.答

15、案：8课堂归纳通法领悟1条规律奇、偶函数定义域的特点奇、偶函数的定义域关于原点对称函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要不充分条件2个性质奇、偶函数的两个性质(1)若奇函数f(x)在x0处有定义，则f(0)0.(2)设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上：奇奇奇，奇奇偶，偶偶偶，偶偶偶，奇偶奇3条结论与周期性和对称性有关的三条结论(1)若对于R上的任意x都有f(2ax)f(x)或f(x)f(2ax)，则yf(x)的图象关于直线xa对称 (2)若对于R上的任意x都有f(2ax)f(x)，且f(2bx)f(x)(其中ab)，则yf(x)是以2(ba)为周期的周期函数 (3)若对于定义域内的任意x都有f(xa)f(xb)(ab)，则函数f(x)是周期函数，其中一个周期为T2|ab|.