高三数学 理二轮复习：专题十三　直线与圆的方程 Word版含解析

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1、 专题十三直线与圆的方程(见学生用书P80)(见学生用书P80)1与直线AxByC0平行和垂直的直线系方程可分别设为AxBym0(mC)，BxAyn02点P(x0，y0)到直线l：axbyc0的距离公式：d.两平行直线axbyc10与axbyc20间的距离公式：d.3圆的标准方程：(xa)2(yb)2r2；圆的一般方程：x2y2DxEyF0，其中D2E24F0.4直线与圆、圆与圆的位置关系的判定常用几何法，即分别比较圆心到直线的距离与半径的大小或圆心距与半径的和(或差)的大小来判定(见学生用书P81)考点一直线的倾斜角考点精析1牢记倾斜角的取值范围和经过两点的直线的斜率公式，特别要注意倾斜角为

2、的直线斜率不存在2求解直线的倾斜角和斜率与三角函数的交汇问题时，要注意三角公式的熟练变形和运用，尤其要注意有关角的取值范围例 11(20xx长郡模拟)已知直线的倾斜角为，且sin ，则此直线的斜率是()A. BC D考点：直线的斜率；同角三角函数间的基本关系；直线的倾斜角分析：由已知中直线的倾斜角为，且sin ，我们分倾斜角为锐角和钝角两种情况进行讨论，根据同角三角函数关系，我们求出的余弦值和正切值，即可得到直线的斜率解析：已知直线的倾斜角为，且sin ，当为锐角时，cos ，tan ；当为钝角时，cos ，tan .故直线的斜率是.答案：D点评：本题考查的知识点是直线的斜率，同角三角函数的基

3、本关系，直线的倾斜角，本题易忽略倾斜角可能为钝角的情况，而错选A.规律总结直线的倾斜角与斜率，一般在高考中较少直接考查，但作为直线方程的基础知识，仍然是高考重点考查对象，因此，我们必须熟练掌握它变式训练【11】 (1)直线x(a21)y10的倾斜角的取值范围是()A. B.C. D.(2)已知点A(2，3)，B(3，2)，直线l过点P(1，1)且与线段AB有交点，则直线l的斜率k的取值范围为_解析：(1)将直线方程变形为yx，直线的斜率k.a211，01.1k0，即1tan 0.0)，若圆C上存在点P，使得APB90，则m的最大值为()A7 B6C5 D4解析：圆C：(x3)2(y4)21的圆

4、心C(3，4)，半径为1.圆心C到O(0，0)的距离为5，圆C上的点到点O的距离的最大值为6.再由APB90，以AB为直径的圆和圆C有交点，可得POABm，故有m6.答案：B【32】 (20xx全国卷)已知过点A(0，1)且斜率为k的直线l与圆C：(x2)2(y3)21交于M，N两点(1)求k的取值范围；(2)若12，其中O为坐标原点，求|MN|.解析：(1)由题设，可知直线l的方程为ykx1.因为l与C交于两点，所以1.解得k.所以k的取值范围为.(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)将ykx1代入方程(x2)2(y3)21，整理得(1k2)x24(1k)x70.所以x1x2，x1x2，

5、x1x2y1y2(1k2)x1x2k(x1x2)18.由题设可得812，解得k1，所以l的方程为yx1.故圆心C在l上，所以|MN|2.专题规律总结直线与直线位置关系的判断方法(1)平行：当两条直线l1和l2的斜率存在时，l1l2k1k2；如果直线l1和l2的斜率都不存在，那么它们都与x轴垂直，则l1l2.(2)垂直：垂直是两直线相交的特殊情形，当两条直线l1和l2的斜率存在时，l1l2k1k21；若两条直线l1，l2中的一条斜率不存在，另一条斜率为0时，则它们垂直(3)相交：两直线相交的交点坐标可由方程组的解求得【易错提示】判断两条直线的位置关系时要注意的两个易错点：一是忽视直线的斜率不存在

6、的情况，二是忽视两直线重合的情况解答这类试题时要根据直线方程中的系数分情况进行讨论，求出结果后再回代到直线方程中进行检验，这样能有效地避免错误圆的方程的求法(1)几何法，即通过研究圆的性质进而求出圆的基本量：如圆中弦所在的直线与圆心和弦中点的连线相互垂直；设圆的半径为r，弦长为|AB|，弦心距为d，则r2d2等(2)代数法，即设出圆的方程，用待定系数法求解在求圆的方程时，要根据具体的条件选用合适的方法，但一般情况下，应用几何法运算较简捷求圆的弦长的方法(1)直接求出直线与圆的交点坐标，利用两点间的距离公式求得；(2)不求交点坐标，利用一元二次方程根与系数的关系得出，即设直线的斜率为k，直线与圆

7、联立消去y后得到的方程的两根为x1、x2，则弦长d|x1x2|；(3)利用半弦长、弦心距及半径构成的直角三角形来求(见学生用书P83)例 1已知曲线C：y与直线l：yxm仅有一个公共点，求m的范围考场错解：曲线C：y可化为x24y220，联立得：5x28mx4m2200，由0，得m5.专家把脉：方程与原方程并不等价，应加上y.对症下药：原方程的对应曲线应为椭圆的上半部分(如图)结合图形易求得m的范围为m5或2m2.例 2直线l：yk(x5)与圆O：x2y216相交于A、B两点，当k变动时，弦AB的中点M的轨迹方程考场错解：易知直线恒过定点P(5，0)，再由OMAP，得：222，x2y2(x5)

8、2y225，整理得：y2.专家把脉：求动点轨迹时应注意它的完备性与纯粹性对症下药：本题中注意到点M应在圆内，故易求得轨迹为圆内的部分，y2，此时0x1，圆心到直线axby1的距离d1，所以直线axby1与圆O相交故选B.答案：B3(20xx四川卷)设mR，过定点A的动直线xmy0和过定点B的直线mxym30交于点P(x，y)，则|PA|PB|的取值范围是()A，2 B，2C，4 D2，4解析：由题意可知，动直线xmy0经过定点A(0，0)，动直线mxym30即m(x1)y30，经过定点B(1，3)，动直线xmy0和动直线mxym30始终垂直，又P是两条直线的交点，PAPB，|PA|2|PB|2

9、|AB|210.由基本不等式可得|PA|2|PB|2(|PA|PB|)22(|PA|2|PB|2)，即10(|PA|PB|)220，可得|PA|PB|2.答案：B4(20xx湖南卷)在等腰直角三角形ABC中，ABAC4，点P是边AB上异于A，B的一点光线从点P出发，经BC，CA反射后又回到点P(如图)，若光线QR经过ABC的重心，则AP等于()A2 B1C. D.解析：建立如图所示的坐标系，可得B(4，0)，C(0，4)，故直线BC的方程为xy4，ABC的重心为.设P(a，0)，其中0a0，b0)始终平分圆x2y24x2y80的周长，则ab的取值范围是()A. B.C(0，8 D8，)解析：由

10、x2y24x2y80化成标准形式为(x2)2(y1)213，所以圆心坐标为(2，1)若直线1(a0，b0)始终平分圆的周长，则直线1(a0，b0)必过点(2，1)，所以1.由12，得ab8，当且仅当，即a4，b2时取等号故ab的取值范围是8，)答案：D8(20xx湖南卷)若圆C1：x2y21与圆C2：x2y26x8ym0外切，则m()A21 B19 C9 D11解析：由C1：x2y21，得圆心C1(0，0)，半径为1，由圆C2：x2y26x8ym0，得(x3)2(y4)225m，圆心C2(3，4)，半径为.圆C1与圆C2外切，1，解得m9.答案：C9(20xx安徽卷)过点P(，1)的直线l与圆

11、x2y21有公共点，则直线l的倾斜角的取值范围是()A. B.C. D.解析：由题意可得，要求的直线的斜率存在，设为k，则直线方程为y1k(x)，即kxyk10.根据直线和圆有交点、圆心到直线的距离小于或等于半径可得1，即3k22k1k21，解得0k，故直线l的倾斜角的取值范围是.答案：D10(20xx江西卷)在平面直角坐标系中，A、B分别是x轴和y轴上的动点，若以AB为直径的圆C与直线2xy40相切，则圆C面积的最小值为()A. B.C(62) D.解析：AB为直径，AOB90，O点必在圆C上，由O向直线做垂线，垂足为D，则当D恰为圆与直线的切点时，此时圆C的半径最小，即面积最小此时圆的直径

12、是O到直线的距离为，则圆C的面积为：.答案：A11(20xx山东卷)一条光线从点(2，3)射出，经y轴反射后与圆(x3)2(y2)21相切，则反射光线所在直线的斜率为()A或 B或C或 D或解析：光线从点(2，3)射出，经y轴反射后与圆(x3)2(y2)21相切，由对称性可知，反射光线所在直线是过点(2，3)关于y轴的对称点(2，3)向圆所作的切线，设切线的斜率为k，则切线的方程为yk(x2)3，由圆心(3，2)到切线的距离等于半径1，得1，解得k或k，故选D.答案：D12(20xx全国卷)已知三点A(1，0)，B(0，)，C(2，)，则ABC外接圆的圆心到原点的距离为()A. B.C. D.

13、解析：(方法1)A(1，0)，B(0，)，C(2，)，ABBCAC2，即ABC为等边三角形，ABC外接圆圆心即为ABC的重心取BC的中点D，连接AD，则AD是ABC的边BC上的中线，在AD上取点G使AGAD，则G是ABC的重心所以G，所以|OG|.故选B.(方法2)易知ABC是等边三角形， ABC外接圆圆心即为ABC的重心由重心坐标公式得，ABC的重心G的坐标为，即G，故|OG|.故选B.答案：B13(20xx重庆卷)已知圆C1：(x2)2(y3)21，圆C2：(x3)2(y4)29，M、N分别是圆C1、C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|PN|的最小值为()A54 B.1C62 D.解

14、析：如图圆C1关于x轴的对称圆的圆心坐标A(2，3)，半径为1，圆C2的圆心坐标为(3，4)，半径为3，|PM|PN|的最小值为圆A与圆C2的圆心距减去两个圆的半径和，即：1354.答案：A二、填空题14(20xx江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，以点(1，0)为圆心且与直线mxy2m10(mR)相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为_解析：设圆的半径为r，根据圆与直线相切的关系得，r，当m0时，1无最大值，且10时，m212m(当且仅当m1时取“”)，所以r.综上可知r最大值为2.所以半径最大的圆的标准方程为(x1)2y22.答案：(x1)2y2215(20xx湖南卷)若直线3x4y50与

15、圆x2y2r2(r0)相交于A，B两点，且AOB120(O为坐标原点)，则r_.解析：如图因为AOB120，所以AOD60.在RtAOD中，OA2ODr，又因为OD1，所以r2.答案：2三、解答题16(20xx全国卷)已知点P(2，2)，圆C：x2y28y0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点(1)求M的轨迹方程；(2)当|OP|OM|时，求l的方程及POM的面积解析：(1)圆C的方程可化为x2(y4)216，所以圆心为C(0，4)，半径为4.设M(x，y)，则(x，y4)，(2x，2y)由题设知0，故x(2x)(y4)(2y)0，即(x1)2(y3)22.

16、由于点P在圆C的内部，所以M的轨迹方程是(x1)2(y3)22.(2)由(1)可知M的轨迹是以点N(1，3)为圆心，为半径的圆由于|OP|OM|，故O在线段PM的垂直平分线上，又P在圆N上，从而ONPM.因为ON的斜率为3，所以l的斜率为，故l的方程为yx.又|OM|OP|2，O到l的距离为，|PM|，所以POM的面积为.17(20xx江苏卷)如图，在平面直角坐标系xOy中，点A(0，3)，直线l：y2x4.设圆C的半径为1，圆心在l上(1)若圆心C也在直线yx1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；(2)若圆C上存在点M，使MA2MO，求圆心C的横坐标a的取值范围解析：(1)联立得解得圆心C(3，2)若k不存在，不合题意；若k存在，设切线为：ykx3，可得圆心到切线的距离dr，即1，解得k0或k，则所求切线为y3或yx3.(2)设点M(x，y)，由MA2MO，知：2，化简得：x2(y1)24，点M的轨迹为以(0，1)为圆心，2为半径的圆，可记为圆D，又点M在圆C上，圆C与圆D的关系为相交或相切，1|CD|3，其中|CD|，13，解得0a2.4.