西安交大教授谈如何学好高等数学

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1、为什么要学习高等数学为什么要学习高等数学 高等数学是高等学校许多专业学生必修高等数学是高等学校许多专业学生必修的重要基础理论课程。的重要基础理论课程。数学主要是研究现数学主要是研究现实世界中数量关系与空间形式。实世界中数量关系与空间形式。 在现实世界中，一切事物都发生变化，在现实世界中，一切事物都发生变化，并遵循量变到质变的规律，并遵循量变到质变的规律，凡是研究量的凡是研究量的大小，量的变化，量与量之间关系以及这大小，量的变化，量与量之间关系以及这些关系的变化，就少不了高等数学。些关系的变化，就少不了高等数学。 数学不但研究数量关系与空间形式，还数学不但研究数量关系与空间形式，还研究现实世界的

2、任何关系和形式。因此，研究现实世界的任何关系和形式。因此，数学的研究对象是抽象的关系与形式，数数学的研究对象是抽象的关系与形式，数学研究的是各种抽象的学研究的是各种抽象的“数数”和和“形形”的模的模式式结构。结构。 恩格斯说：恩格斯说：“要辩证而又唯物地了解自然，要辩证而又唯物地了解自然，就必须掌握数学就必须掌握数学”。英国著名哲学家培根说：。英国著名哲学家培根说：“数学是打开科学大门的钥匙数学是打开科学大门的钥匙”。 数学数学如今已经越来越被人们认为是在科学如今已经越来越被人们认为是在科学发展中具有高度重视课程。它不仅发展中具有高度重视课程。它不仅是各专业是各专业的后继课程所必需。而且它本身

3、就是科学思维，的后继课程所必需。而且它本身就是科学思维，逻辑分析的素质逻辑分析的素质*训练。训练。通俗地说数学是通俗地说数学是思维方法的体操。思维方法的体操。 自然科学各学科数学化的趋势，社会科学自然科学各学科数学化的趋势，社会科学各部门定量化的要求，使许多学科都在直接各部门定量化的要求，使许多学科都在直接间接地，或先或后地经历着一场数学化的进间接地，或先或后地经历着一场数学化的进程。程。 联合国教科文组织在一份调查报告中强调联合国教科文组织在一份调查报告中强调指出：指出：“目前科学研究工作的特点之一是各目前科学研究工作的特点之一是各门学科的数学化门学科的数学化”。“反过来科学技术的发展，反过

4、来科学技术的发展，又成为数学产生和发展的源泉与动力。又成为数学产生和发展的源泉与动力。” 数学有一个特殊的位置，它是一个专门数学有一个特殊的位置，它是一个专门的领域，但又为其他科学领域提供思维的的领域，但又为其他科学领域提供思维的工具。工具。 在在常量数学时期常量数学时期, ,即即“初等数学初等数学”时期时期，在，在这个时期里，数学已由具体的阶段过渡到抽这个时期里，数学已由具体的阶段过渡到抽象的阶段，并逐渐形成一门独立的、演绎的象的阶段，并逐渐形成一门独立的、演绎的科学。科学。数学的发展的几个主要阶段数学的发展的几个主要阶段 算术、初等几何、初等代数、三角学等算术、初等几何、初等代数、三角学等

5、都已成为独立的分支都已成为独立的分支这个时期的基本成这个时期的基本成果就构成现在中学课程的主要内容。果就构成现在中学课程的主要内容。 在在变量数学时期变量数学时期, ,即即“高等数学高等数学”时期时期。这个。这个时期以时期以17世纪中叶笛卡儿的解析几何的诞生世纪中叶笛卡儿的解析几何的诞生为起点为起点, ,在这一时期用运动和变化的观点来在这一时期用运动和变化的观点来探究事物变化和发展的规律。探究事物变化和发展的规律。 变量与函数的概念进入了数学，随后产生变量与函数的概念进入了数学，随后产生了微积分。这个时期基本成果是解析儿何、了微积分。这个时期基本成果是解析儿何、微积分、线性代数、微分方程等，微

6、积分、线性代数、微分方程等，就是现今就是现今高等院校中的基础课程。高等院校中的基础课程。 在在现代数学时期，现代数学时期，这个时期始于这个时期始于1919世纪中叶世纪中叶直到现在。在这个阶段，数学研究的对象被推直到现在。在这个阶段，数学研究的对象被推广，这相应地引起了量的关系和空间形式在概念广，这相应地引起了量的关系和空间形式在概念本身的重大突破。本身的重大突破。 现代数学不仅研究各种变化着的量的关系，现代数学不仅研究各种变化着的量的关系，而且研究各种量之间的可能关系和形式。而且研究各种量之间的可能关系和形式。 数学基础学科数学基础学科之间、数学和物理等其他学之间、数学和物理等其他学科之间科之

7、间相互交叉和渗透相互交叉和渗透，形成了许多边缘学形成了许多边缘学科和综合性学科。科和综合性学科。 集合论、集合论、计算数学、电子计算机等的出现计算数学、电子计算机等的出现和发展构成了现在丰富多彩、渗透到各个科和发展构成了现在丰富多彩、渗透到各个科学技术部门的现代数学。学技术部门的现代数学。 高等数学课教学的特点高等数学课教学的特点 (1) 课堂大。课堂大。高等数学一般都是一个系同高等数学一般都是一个系同年级的几个小班合班上课。教师授课的基点，年级的几个小班合班上课。教师授课的基点，只能照顾大多数，不可能给跟不上、听不全只能照顾大多数，不可能给跟不上、听不全懂的少数同学细讲、重复讲。懂的少数同学

8、细讲、重复讲。 (2) 时间长时间长, ,连贯性强。连贯性强。高等数学每上一次课，高等数学每上一次课，一般都是连续讲授两节一般都是连续讲授两节。而且各章的内容有很而且各章的内容有很强的连贯性。强的连贯性。 (3) 概念多，概念多，进度快。进度快。由于高等数学的内容由于高等数学的内容极为丰富极为丰富, ,而学时又有限，因此平均每一大节而学时又有限，因此平均每一大节课要讲授教材的课要讲授教材的8至至10页（有时还更多）页（有时还更多）, ,老师老师的讲课主要是讲重点、难点、疑点，讲思路。的讲课主要是讲重点、难点、疑点，讲思路。讲概念多，推理多，举例也较少。讲概念多，推理多，举例也较少。 高等数学的

9、主要学习内容高等数学的主要学习内容 高等数学高等数学的内容为两部分，即微积分学的内容为两部分，即微积分学和线性代数、空间解析几何。但和线性代数、空间解析几何。但主要是微主要是微积分学和线性代数。积分学和线性代数。 微积分学研究的对象是函数，而微积分学研究的对象是函数，而极限则极限则是微积分学的基础，也是最主要的推理方法。是微积分学的基础，也是最主要的推理方法。与微积分创立密切相关的科学技术问题，与微积分创立密切相关的科学技术问题， 从数学角度归纳起来有四类：从数学角度归纳起来有四类： 第一类第一类是，在已知是，在已知变速运动的变速运动的路程为时间路程为时间的函数时，求的函数时，求瞬时速度瞬时速

10、度和和加速度加速度； 第二类第二类是，求已知是，求已知曲线的切线曲线的切线； 第三类第三类是，求给定是，求给定函数的最大值与最小值函数的最大值与最小值； 第四类第四类是，求给定是，求给定曲线长曲线长；求已知；求已知平面曲平面曲线围成的面积线围成的面积；求已知；求已知曲面围成的体积曲面围成的体积；求；求物体的重心；已知变速运动物体的速度、加物体的重心；已知变速运动物体的速度、加速度，求速度，求物体运动的路程与时间的关系物体运动的路程与时间的关系等。等。 第一类、第二类问题为第一类、第二类问题为微分学的基本内容，微分学的基本内容，属于求函数的导数问题。属于求函数的导数问题。第三类问题为第三类问题为

11、导数导数的应用的应用，也是微分学的主要内容。第四类问，也是微分学的主要内容。第四类问题属于题属于积分学的中心问题。积分学的中心问题。怎样才能学好高等数学怎样才能学好高等数学 要学好高等数学，首先要了解高等数学的要学好高等数学，首先要了解高等数学的特点，特点，高等数学具有三个显著的特点：高等数学具有三个显著的特点：高度的抽象性，严谨的逻辑性高度的抽象性，严谨的逻辑性，广泛的应用性。广泛的应用性。 (1) 高度的抽象性。高度的抽象性。数学的抽象性在高等数学的抽象性在高等数学中非常突出。我们运用抽象的数字，概数学中非常突出。我们运用抽象的数字，概念来表达客观变化的事物和规律，却并不打念来表达客观变化

12、的事物和规律，却并不打算每次都把它同具体的对象联系起来。算每次都把它同具体的对象联系起来。 (2) 严谨的逻辑性。严谨的逻辑性。数学的每一个定义，数学的每一个定义，定理，只有当它已经从逻辑的推论上严格地定理，只有当它已经从逻辑的推论上严格地被证明了的时候，才能在数学中成立。而且被证明了的时候，才能在数学中成立。而且每门课的各章节之间又有很强的连贯性。每门课的各章节之间又有很强的连贯性。 (3) 广泛的应用性。广泛的应用性。高等数学广泛的应用性高等数学广泛的应用性是很明显的。是很明显的。 一、数列的极限一、数列的极限若数列若数列 nx及常数及常数 a ，当当n 趋向于无穷大时趋向于无穷大时,趋向

13、于趋向于a 时，则称时，则称 xn 以以a为极限，记作为极限，记作 nxnnnnxaxa,lim让我们来看一些实例：让我们来看一些实例：怎样来严格地刻画这个概念呢？怎样来严格地刻画这个概念呢？若数列若数列 nx及常数及常数 a 有下列关系有下列关系 :此时也称数列此时也称数列收敛收敛 , 否则称为否则称为数列数列发散发散。几何解释几何解释 :axan)(Nn 即nxU a( ,) )(Nn aaa)(1Nx2Nx0, ,N正数当当 n N 时时, 总有总有axn记作记作axnnlim或或nxa n() 则称该数列则称该数列nx的极限为的极限为 a ,时的时的无穷小量无穷小量 。定义定义1 .

14、若若0 xx 时时 , 函数函数( )0 ,f x 则称函数则称函数)(xf0 xx x) (或为当为当x) (或0无穷小量的运算和比较无穷小量的运算和比较*设设 , 对同一自变量的变化过程为无穷小对同一自变量的变化过程为无穷小, 且且lim,0, )0(C,1 是 的高阶无穷小 是 的低阶无穷小 是 的同阶无穷小 是 的等价无穷小实际上，整个微、积分可以说就是无穷小量的分析。实际上，整个微、积分可以说就是无穷小量的分析。, ()nxan 0nxa若若则则就是无穷小量无穷小量 。定义定义:)(xfy 在在0 x的某邻域内有定义的某邻域内有定义 , , )()(lim00 xfxfxx则称函数则

15、称函数.)(0连续在xxf设函数设函数且且)(xfy xoy0 xxxy,0 xxx有有函数的增量：函数的增量：yf xf x0( )() )()(00 xfxxf当当,0 xxx为无穷小量时，为无穷小量时，yf xf x0( )() 也为无穷小量时，也为无穷小量时， 则称函数则称函数.)(0连续在xxf)()(lim00 xfxfxx)()(lim000 xfxxfx0lim0yx)()()(000 xfxfxf左连续右连续函数函数0 x)(xf在点在点连续有下列连续有下列等价命题等价命题:,0,0当xxx0时, 有0yf xf x( )() 曲线曲线)(:xfyC在在 M 点处的点处的切线

16、切线割线割线 M N 的极限位置的极限位置 M T(当 时) xyo)(xfy CNT0 xMx 割线割线 M N 的斜率的斜率tan)()(0 xfxf0 xx 切线切线 MT 的斜率的斜率tanktanlim lim0 xxk)()(0 xfxf0 xx 四、导数四、导数so0t)(0tf)(tft瞬时速度瞬时速度tt v0lim ftft0( )() tt0 切线斜率切线斜率xyo)(xfy CNT0 xMx lim0 xxk)()(0 xfxf0 xx 所求量为函数增量与自变量增量之比的极限所求量为函数增量与自变量增量之比的极限 .变化率问题变化率问题类似问题还有:加速度角速度线密度电

17、流强度是速度增量与时间增量之比的极限是转角增量与时间增量之比的极限是质量增量与长度增量之比的极限是电量增量与时间增量之比的极限曲线的切线方程曲线的切线方程xyo)(xfy CNT0 xMx由直线的点斜式方程知由直线的点斜式方程知()tan ()()()00000yyk xxxxfxxx函数的极大值与极小值函数的极大值与极小值(1) )(xf “左左正正右右负负” ,;)(0取极小值在则xxf(2) )(xf “左左负负右右正正” ,.)(0取极大值在则xxf所以函数取得极值的必要条件是所以函数取得极值的必要条件是0fx0() ,)(0的某邻域内连续在设函数xxf内有导数,0时由小到大通过当xx

18、且在空心邻域经济学的厂商理论里有一个称为经济学的厂商理论里有一个称为“边际边际”的概念。的概念。 设某厂商在组织生产时追求利润极大。令他达到设某厂商在组织生产时追求利润极大。令他达到利润极大时的生产量为利润极大时的生产量为q，产品的市场价格为产品的市场价格为p,故他故他的收入为的收入为p q。设他生产设他生产q 的成本为的成本为c (q),则他的利润则他的利润为为( )( )F qpqc q q0( )F q 当他生产当他生产q0使其使其达到利润极大达到利润极大时，他的时，他的边际利润必为零，边际利润必为零，即即0( )|( )0q qFqpc q 1. 曲边梯形的面积曲边梯形的面积设曲边梯形

19、是由连续曲线设曲边梯形是由连续曲线)0)()(xfxfy，轴及x以及两直线以及两直线bxax,所围成所围成 , 求其面积求其面积 A .矩形面积矩形面积ahhaahb梯形面积梯形面积)(2bah?A)(xfy 1) 化整为另化整为另. 在区间在区间 a , b 中中任意任意插入插入 n 1 个分点个分点nnaxxxxxb0121 用直线用直线ixx 将曲边梯形分成将曲边梯形分成 n 个小曲边梯形个小曲边梯形;2) 以常代变以常代变.iiixx1, 在第在第i 个窄曲边梯形上个窄曲边梯形上任取任取并以此小并以此小作以作以iixx1, 为底为底 ,if () 为高的小矩形为高的小矩形,梯形面积近似

20、代替相应梯形面积近似代替相应窄曲边梯形面积窄曲边梯形面积,iA得得iiiiiiAfxxxx1()() in,(1,2, ) 1xix1ixxabyoi if () niiAA1 niiifx1() 4) 取极限取极限. 令令ii nx1max, 则曲边梯形面积则曲边梯形面积niiAA01lim niiifx01lim() xabyo1xix1ixi解决步骤解决步骤:1) 化整为另化整为另. .2) 以常代变以常代变. .iiitt1, 任任取取,)(代替变速以iv得得iiisvt()in(1, 2, ) 设某物体作直线运动设某物体作直线运动,vv tC TT12( ),且且v t ( )0,

21、求在运动时间内物体所经过的路程求在运动时间内物体所经过的路程 s.已知速度已知速度将它将它在每个小段上在每个小段上isin(1, 2,)iittin1,(1, 2,), ,1,21个分点中任意插入在nTTn 个小段个小段物体经物体经过的路程为过的路程为分成分成niiissvt1() 4) 取极限取极限 .niiisvt01lim() ii nt1(max) 上述两个问题的共性上述两个问题的共性: 解决问题的方法步骤相同，即解决问题的方法步骤相同，即 :“化整为另化整为另 , 以常代变以常代变 , 近似和近似和 , 取极限取极限 ” 所求量极限结构式相同所求量极限结构式相同: 特殊乘积和式的极限

22、。特殊乘积和式的极限。线性代数线性代数线性方程组的基本问题：线性方程组的基本问题： 解线性方程组的基本方法是解线性方程组的基本方法是消去法，消去法，何时有无穷多解？何时有无穷多解？如何求出通解（全部解）？如何求出通解（全部解）？何时无解？何时无解？ 何时有解何时有解何时有唯一解？何时有唯一解？11 11221331121 1222233221 12233nnnnmmmmnnma xa xa xa xba xa xa xa xba xa xa xa xb 11121121222212nnmmm nmaaabaaabAaaab 将线性方程组简化和抽象为一个数组，将线性方程组简化和抽象为一个数组，称

23、为系数的增广矩阵。称为系数的增广矩阵。例如例如 求解线性方程组的解：求解线性方程组的解： 12312312312329223113660358xxxxxxxxxxxx 11292231136601358 12131423rrrrrr 1 1290 0770 312270 2717 解：解： 23123137rrrr 11290149001102717242rr11290149001100112134rrrr 10618014900110000313264rrrr 10012010500110000 1231251xxx 注意抓好六个环节的学习注意抓好六个环节的学习 (1) 预习。预习。为了提高

24、听课效果，在每次上高等为了提高听课效果，在每次上高等数学课前一天，对第二天教师要讲的内容先作数学课前一天，对第二天教师要讲的内容先作预习，即用少量的时间（例如，用讲课时间的预习，即用少量的时间（例如，用讲课时间的1010一一2020左右）自学教材。左右）自学教材。 (2) 听课。听课。课堂上听教师讲授是同学们进大学课堂上听教师讲授是同学们进大学学习获得知识的一个主要环节因此，应带着学习获得知识的一个主要环节因此，应带着充沛的精力、带着获取新知识的浓厚兴趣。充沛的精力、带着获取新知识的浓厚兴趣。带着预习中的疑点和难点，专心致志聆听教师带着预习中的疑点和难点，专心致志聆听教师是如何提出问题的？是如

25、何分析问题的？是如是如何提出问题的？是如何分析问题的？是如何解决问题的？要紧跟教师的思路，听问题，何解决问题的？要紧跟教师的思路，听问题，听方法，听思路，听关键。听方法，听思路，听关键。 (3) 记笔记。记笔记。由于高等数学教师讲课不是由于高等数学教师讲课不是“照本宣科照本宣科”教师主要是讲重点、讲难点、讲教师主要是讲重点、讲难点、讲疑点、讲思路，还要结合有关问题讲一些治疑点、讲思路，还要结合有关问题讲一些治学方法，和提出一些同学应注意的问题。学方法，和提出一些同学应注意的问题。而且有些内容、例子是教材上没有的因此记而且有些内容、例子是教材上没有的因此记好课堂笔记是学好高等数学的一个重要的学好

26、课堂笔记是学好高等数学的一个重要的学习环节。习环节。 (4) 复习。复习。学习包括学习包括“学学”与与习习”两个方面两个方面“学学”是为了获取知识，是为了获取知识，“习习是为了消化、掌握知是为了消化、掌握知识，识，学而不习，知识不易消化和掌握；习而不学，学而不习，知识不易消化和掌握；习而不学，知识不易丰富孔子说：知识不易丰富孔子说：“学而时习之学而时习之”。 (5) 做作业。做作业。要把高等数学学到手，认真、要把高等数学学到手，认真、及时完成教师布置的作业，也是一个十分重及时完成教师布置的作业，也是一个十分重要的学习环节。要的学习环节。 (6) 答疑。答疑。答疑也是大学学习的一个重要环答疑也是大学学习的一个重要环节。同学们在学习高等数学期间，在数学上遇节。同学们在学习高等数学期间，在数学上遇到疑问时到疑问时( (不管是听课、复习、作业中的）都不管是听课、复习、作业中的）都应该及时去请教教师，切勿应该及时去请教教师，切勿“拖欠拖欠”。 (7) 小结。小结。要自己动手，用自己的话来做要自己动手，用自己的话来做小结，总结最核心的基本内容。小结，总结最核心的基本内容。